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典例3(2024·连云港)在平面直角坐标系中,已知抛物线$y = ax^{2}+bx - 1(a,b$为常数,$a ＞ 0)$．
(1)若抛物线与$x$轴交于$A(-1,0)$,$B(4,0)$两点,求抛物线对应的函数表达式．
(2)如图,当$b = 1$时,过点$C(-1,a)$,$D(1,a + 2\sqrt{2})$分别作$y$轴的平行线,交抛物线于点$M$,$N$,连接$MN$,$MD$．求证：$MD$平分$\angle CMN$．
(3)当$a = 1$,$b\leqslant - 2$时,过直线$y = x - 1(1\leqslant x\leqslant3)$上一点$G$作$y$轴的平行线,交抛物线于点$H$．若$GH$的最大值为$4$,求$b$的值．
[思路点拨](1)将$A$,$B$两点的坐标代入抛物线对应的函数表达式中即可求解．(2)连接$CN$,根据题意,求得点$M$的坐标为$(-1,a - 2)$,点$N$的坐标为$(1,a)$,进而求出$CN = 2$,$CM = a-(a - 2)=2$,利用勾股定理求出$MN = DN$,再结合等腰三角形的性质及平行线的性质即可证明结论．(3)设点$G$的坐标为$(m,m - 1)$,则点$H$的坐标为$(m,m^{2}+bm - 1)$,$1\leqslant m\leqslant3$,当$a = 1$时,联立$y = x^{2}+bx - 1$,$y = x - 1$,求出$x_{2}=1 - b\geqslant3$,得到点$G$在点$H$的上方,设$GH = t$,故$t=-m^{2}+(1 - b)m$,其对称轴为直线$m=\frac{1 - b}{2}$,最后分$\frac{3}{2}\leqslant\frac{1 - b}{2}\leqslant3$和$\frac{1 - b}{2}＞3$两种情况讨论即可．
(1)若抛物线与$x$轴交于$A(-1,0)$,$B(4,0)$两点,求抛物线对应的函数表达式．
(2)如图,当$b = 1$时,过点$C(-1,a)$,$D(1,a + 2\sqrt{2})$分别作$y$轴的平行线,交抛物线于点$M$,$N$,连接$MN$,$MD$．求证：$MD$平分$\angle CMN$．
(3)当$a = 1$,$b\leqslant - 2$时,过直线$y = x - 1(1\leqslant x\leqslant3)$上一点$G$作$y$轴的平行线,交抛物线于点$H$．若$GH$的最大值为$4$,求$b$的值．
[思路点拨](1)将$A$,$B$两点的坐标代入抛物线对应的函数表达式中即可求解．(2)连接$CN$,根据题意,求得点$M$的坐标为$(-1,a - 2)$,点$N$的坐标为$(1,a)$,进而求出$CN = 2$,$CM = a-(a - 2)=2$,利用勾股定理求出$MN = DN$,再结合等腰三角形的性质及平行线的性质即可证明结论．(3)设点$G$的坐标为$(m,m - 1)$,则点$H$的坐标为$(m,m^{2}+bm - 1)$,$1\leqslant m\leqslant3$,当$a = 1$时,联立$y = x^{2}+bx - 1$,$y = x - 1$,求出$x_{2}=1 - b\geqslant3$,得到点$G$在点$H$的上方,设$GH = t$,故$t=-m^{2}+(1 - b)m$,其对称轴为直线$m=\frac{1 - b}{2}$,最后分$\frac{3}{2}\leqslant\frac{1 - b}{2}\leqslant3$和$\frac{1 - b}{2}＞3$两种情况讨论即可．
答案
典例3(1)$\because$抛物线$y=ax^{2}+bx - 1$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(4,0)$两点，$\therefore\begin{cases}a - b - 1 = 0,\\16a + 4b - 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4},\\b=-\frac{3}{4}.\end{cases}$$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{4}x - 1$.
(2)如图①，连接$CN$.$\because b = 1$，$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=ax^{2}+x - 1$.当$x=-1$时，$y=a - 2$，$\therefore$点$M$的坐标为$(-1,a - 2)$.当$x = 1$时，$y = a$，$\therefore$点$N$的坐标为$(1,a)$.$\because$点$C$的坐标为$(-1,a)$，$\therefore CN = 2$，$CM=a-(a - 2)=2$，$CM\perp CN$.在$Rt\triangle CMN$中，$CM = 2$，$CN = 2$，$\therefore MN=\sqrt{CM^{2}+CN^{2}}=2\sqrt{2}$.$\because$点$D$的坐标为$(1,a + 2\sqrt{2})$，$\therefore DN=a + 2\sqrt{2}-a=2\sqrt{2}$.$\therefore DN = MN$.$\therefore\angle NDM=\angle NMD$.$\because DN// CM$，$\therefore\angle NDM=\angle CMD$.$\therefore\angle NMD=\angle CMD$.$\therefore MD$平分$\angle CMN$.
(3)当$a = 1$时，抛物线对应的函数表达式为$y=x^{2}+bx - 1$.设点$G$的坐标为$(m,m - 1)$，则点$H$的坐标为$(m,m^{2}+bm - 1)$，$1\leqslant m\leqslant3$.$\because$过直线$y=x - 1(1\leqslant x\leqslant3)$上一点$G$作$y$轴的平行线，令$x^{2}+bx - 1=x - 1$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=1 - b$.$\because b\leqslant-2$，$\therefore x_{2}=1 - b\geqslant3$.$\therefore$点$G$在点$H$的上方（如图②）.设$GH = t$，则$t=-m^{2}+(1 - b)m$，其对称轴为直线$m=\frac{1 - b}{2}$，且$\frac{1 - b}{2}\geqslant\frac{3}{2}$.①当$\frac{3}{2}\leqslant\frac{1 - b}{2}\leqslant3$，即$-5\leqslant b\leqslant-2$时，由图③可知，当$m=\frac{1 - b}{2}$时，$t$取得最大值，为$\frac{(1 - b)^{2}}{4}=4$，解得$b=-3$或$b = 5$（不合题意，舍去）.②当$\frac{1 - b}{2}＞3$，即$b＜-5$时，由图④可知，当$m = 3$时，$t$取得最大值，为$-9 + 3 - 3b = 4$，解得$b=-\frac{10}{3}$（不合题意，舍去）.综上所述，$b$的值为$-3$.
