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11教材 P40T9 变式 [2025 郑州期末]如图 1，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。将图 1 简化为图 2，下列描述正确的是(
A.∠1 和∠2 是对顶角
B.∠2 和∠DOE 互余
C.∠COF 和∠DOF 互补
D.∠COE = ∠GOD
C
)A.∠1 和∠2 是对顶角
B.∠2 和∠DOE 互余
C.∠COF 和∠DOF 互补
D.∠COE = ∠GOD
答案
11 C
12[2024 北京顺义区二模]如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OC 平分∠AOE，∠BOD = 35°，则∠BOE 的度数为(
A.95°
B.100°
C.110°
D.145°
C
)A.95°
B.100°
C.110°
D.145°
答案
12 C 因为∠AOC=∠BOD,∠BOD=35°,所以∠AOC=35°。因为 OC 平分∠AOE,所以∠AOE=2∠AOC=2×35°=70°,所以∠BOE=180°-∠AOE=180°-70°=110°。
13[2025 枣庄期中]如图，将一副三角尺(直角顶点重合)摆放在桌面上，此时∠AOC = ∠BOD，得到此结论的依据是(
A.同角的余角相等
B.同角的补角相等
C.等角的余角相等
D.等角的补角相等
A
)A.同角的余角相等
B.同角的补角相等
C.等角的余角相等
D.等角的补角相等
答案
13 A 由三角尺,可得∠AOD=∠COB=90°,则∠AOD=∠AOC+∠COD=90°,∠COB=∠BOD+∠COD=90°,所以∠AOC,∠BOD 都与∠COD 互余,由同角的余角相等,可得∠AOC=∠BOD。
变式 [2025 武汉期末]如图，点 A，O，B 在同一条直线上，∠AOC = ∠BOC，若∠1 = ∠2，则图中互余的角共有(
A.2 对
B.3 对
C.4 对
D.5 对
C
)A.2 对
B.3 对
C.4 对
D.5 对
答案
变式 C 因为∠AOC=∠BOC,∠AOC+∠BOC=180°,所以∠AOC=∠BOC=90°,所以∠1+∠AOE=90°,∠2+∠COD=90°,又因为∠1=∠2,所以∠1+∠COD=90°,∠2+∠AOE=90°,所以互余的角共有4对。
14 [2024 遵义期末]如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，∠BOE 与∠BOD 互余，OF 平分∠AOE，∠COF = 34°，则∠BOD 的度数为(
A.22°
B.32°
C.34°
D.56°
A
)A.22°
B.32°
C.34°
D.56°
答案
14 A 因为∠BOE 与∠BOD 互余,所以∠BOE+∠BOD=90°,即∠DOE=90°,所以∠COE=180°-∠DOE=90°。因为∠COF=34°,所以∠EOF=90°-34°=56°。因为 OF 平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56°,所以∠AOC=∠AOF-∠COF=56°-34°=22°,所以∠BOD=∠AOC=22°。
15 [2025 聊城期末]若∠α 与∠β 互为余角，∠α 与∠γ 互为补角，∠β = $\frac{1}{3}$∠γ，则∠α 的度数为
45°
。答案
15 45° 由题意,得∠α+∠β=90°,∠α+∠γ=180°,所以∠γ-∠β=90°,(同一个锐角的补角比它的余角大90°)又因为∠β= $\frac{1}{3}$∠γ,所以∠γ- $\frac{1}{3}$∠γ=90°,解得∠γ=135°,所以∠α=180°-∠γ=180°-135°=45°。
16 教材 P35 思考·交流变式 如图，点 A，O，E 在同一条直线上，OB，OC，OD 都是射线，∠1 = ∠2，∠1 与∠4 互为余角。
（1）∠2 与∠3 有何关系？请说明理由。
（2）∠3 与∠4 有何关系？请说明理由。
（3）试说明：∠3 与∠AOD 互补。
（1）∠2 与∠3 有何关系？请说明理由。
（2）∠3 与∠4 有何关系？请说明理由。
（3）试说明：∠3 与∠AOD 互补。
答案
16 解:(1)∠2与∠3互余。理由如下:
由点 A,O,E 在同一条直线上,得∠1+∠2+∠3+∠4=180°。
由∠1与∠4互余,得∠1+∠4=90°,
所以∠2+∠3=90°,
所以∠2与∠3互余。
(2)∠3=∠4。理由如下:
由(1)知∠1+∠4=∠2+∠3。
因为∠1=∠2,所以∠3=∠4。
(3)由(2)知∠3=∠4。
因为等角的补角相等,∠4与∠AOD互补,
所以∠3与∠AOD互补。
由点 A,O,E 在同一条直线上,得∠1+∠2+∠3+∠4=180°。
由∠1与∠4互余,得∠1+∠4=90°,
所以∠2+∠3=90°,
所以∠2与∠3互余。
(2)∠3=∠4。理由如下:
由(1)知∠1+∠4=∠2+∠3。
因为∠1=∠2,所以∠3=∠4。
(3)由(2)知∠3=∠4。
因为等角的补角相等,∠4与∠AOD互补,
所以∠3与∠AOD互补。
17 [2025 南昌期中]如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 把∠BOD 分成两部分。
(1)∠AOD 的对顶角为
(2)若∠BOE = 28°，且∠AOC : ∠DOE = 5 : 3，求∠COE 的度数。
(1)∠AOD 的对顶角为
∠BOC
，∠AOE 的补角为∠BOE
；(2)若∠BOE = 28°，且∠AOC : ∠DOE = 5 : 3，求∠COE 的度数。
答案
17 解:(1)∠BOC ∠BOE
(2)因为∠AOC=∠BOD,∠AOC:∠DOE=5:3,
所以∠BOD:∠DOE=5:3。
设∠BOD=5x,则∠DOE=3x,
所以∠BOE=∠BOD-∠DOE=5x-3x=2x。
因为∠BOE=28°,所以2x=28°,所以x=14°,
所以∠DOE=3x=3×14°=42°,
所以∠COE=180°-∠DOE=180°-42°=138°。
(2)因为∠AOC=∠BOD,∠AOC:∠DOE=5:3,
所以∠BOD:∠DOE=5:3。
设∠BOD=5x,则∠DOE=3x,
所以∠BOE=∠BOD-∠DOE=5x-3x=2x。
因为∠BOE=28°,所以2x=28°,所以x=14°,
所以∠DOE=3x=3×14°=42°,
所以∠COE=180°-∠DOE=180°-42°=138°。
