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1. 已知$y = - \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$，则在平面直角坐标系中，点$P(x,y)$所在的象限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案
D
2. （2024·南通月考）若$x、y$都是实数，且$y - 4 = \sqrt{-(1 - 2x)^2}$，则$xy$的值为（ ）
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 不能确定
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 不能确定
答案
C
3. （2024·西安期中）已知等腰三角形的两边长分别为$a、b$，且$a、b$满足$\sqrt{2a - 3b + 5} + (3a - 2b - 10)^2 = 0$，则此等腰三角形的周长为________.
答案
22或23
4. 已知$m、x、y$是两两不相等的实数，且满足$\sqrt{m(x - m)} + \sqrt{m(y - m)} = \sqrt{x - m} - \sqrt{m - y}$，则$\frac{3x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + 5y^2}$的值为________.
答案
$\frac{1}{7}$ 解析：$\because$ $m$、$x$、$y$是两两不相等的实数且满足$\sqrt{m(x - m)} + \sqrt{m(y - m)} = \sqrt{x - m} - \sqrt{m - y}$，则$\begin{cases}m - y \geq 0, \\x - m \geq 0, \\m(y - m) \geq 0, \\m(x - m) \geq 0,\end{cases}$ $\therefore m = 0$，$x = -y$，$x \neq 0$，$y \neq 0$，$\therefore$ 原式$=\frac{3y^{2}-y^{2}-y^{2}}{y^{2}+y^{2}+5y^{2}}=\frac{1}{7}$。
5. 设$x、y$均为实数，且$y = \frac{\sqrt{x^2 - 3} + \sqrt{3 - x^2}}{\sqrt{1 - x}} + 2$，求$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$的值.
答案
由题意得，$x^{2}-3 \geq 0$，$3 - x^{2} \geq 0$，$1 - x ＞ 0$，解得$x = -\sqrt{3}$，则$y = 2$，$\therefore \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = -\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{7\sqrt{3}}{6}$。
6. 若$a ＜ 0,b ＞ 0$，则化简$2\sqrt{\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2}$的结果为（ ）
A. $a - 2b$
B. $2a - b$
C. $2b - a$
D. $b - 2a$
A. $a - 2b$
B. $2a - b$
C. $2b - a$
D. $b - 2a$
答案
C
7. （攀枝花中考）实数$a、b$在数轴上的位置如图所示，化简$\sqrt{(a + 1)^2} + \sqrt{(b - 1)^2} - \sqrt{(a - b)^2}$的结果是（ ）
A. -2
B. 0
C. -2a
D. 2b
A. -2
B. 0
C. -2a
D. 2b
答案
A 解析：由数轴可知$-2 ＜ a ＜ -1$，$1 ＜ b ＜ 2$，$\therefore a + 1 ＜ 0$，$b - 1 ＞ 0$，$a - b ＜ 0$，$\therefore \sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(b - 1)^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}} = |a + 1| + |b - 1| - |a - b| = -(a + 1) + (b - 1) + (a - b) = -a - 1 + b - 1 + a - b = -2$，故选A。
8. （1）若$a、b、c$分别是三角形的三边长，化简：$\sqrt{(a + b - c)^2} + \sqrt{(b - c - a)^2} + \sqrt{(b + c - a)^2} =$________；
（2）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为$c$，化简：$\sqrt{c^2 + 4 - 4c} - \sqrt{\frac{1}{4}c^2 - 4c + 16} =$________.
（2）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为$c$，化简：$\sqrt{c^2 + 4 - 4c} - \sqrt{\frac{1}{4}c^2 - 4c + 16} =$________.
答案
(1)$a + b + c$ 解析：$\because$ $a$、$b$、$c$分别是三角形的三边长，$\therefore a + b - c ＞ 0$，$b - c - a ＜ 0$，$b + c - a ＞ 0$，$\therefore$ 原式$= |a + b - c| + |b - c - a| + |b + c - a| = a + b - c - (b - c - a) + b + c - a = a + b - c - b + c + a + b + c - a = a + b + c$。
(2)$\frac{3}{2}c - 6$ 解析：由三角形三边关系定理，得$3 + 5 ＞ c$，$5 - 3 ＜ c$，即$2 ＜ c ＜ 8$，$\therefore$ 原式$= \sqrt{(c - 2)^{2}} - \sqrt{\frac{1}{4}(c - 8)^{2}} = |c - 2| - \frac{1}{2}|c - 8| = c - 2 - \frac{1}{2}(8 - c) = \frac{3}{2}c - 6$。
(2)$\frac{3}{2}c - 6$ 解析：由三角形三边关系定理，得$3 + 5 ＞ c$，$5 - 3 ＜ c$，即$2 ＜ c ＜ 8$，$\therefore$ 原式$= \sqrt{(c - 2)^{2}} - \sqrt{\frac{1}{4}(c - 8)^{2}} = |c - 2| - \frac{1}{2}|c - 8| = c - 2 - \frac{1}{2}(8 - c) = \frac{3}{2}c - 6$。
9. 化简$\sqrt{4x^2 - 4x + 1} - (\sqrt{2x - 3})^2 =$________.
答案
2 解析：由$\sqrt{2x - 3}$有意义，可知$2x - 3 \geq 0$，即$2x \geq 3$，$\therefore \sqrt{4x^{2}-4x + 1} - (\sqrt{2x - 3})^{2} = \sqrt{(2x - 1)^{2}} - (2x - 3) = 2x - 1 - 2x + 3 = 2$。
10. 若$|a - \sqrt{a^2}| = - 2a$，则$a$的取值范围是________.
答案
$a \leq 0$
11. （2024·武汉期中）已知$a、b$满足$|2023 - a| - (b - 2024) \cdot \sqrt{2024 - b} = \sqrt{c - 2025} + \sqrt{2025 - c}$，则$\frac{c^2 - a^2}{b} =$________.
答案
4 解析：$\because$ $a$、$b$满足$|2023 - a| - (b - 2024)\sqrt{2024 - b} = \sqrt{c - 2025} + \sqrt{2025 - c}$，又$\because \begin{cases}c - 2025 \geq 0 \\2025 - c \geq 0\end{cases}$，$\therefore c = 2025$，$\therefore |2023 - a| + (2024 - b)\sqrt{2024 - b} = 0$，$\therefore 2023 - a = 0$，$2024 - b = 0$，$\therefore a = 2023$，$b = 2024$，则$\frac{c^{2}-a^{2}}{b} = \frac{2025^{2}-2023^{2}}{2024} = \frac{(2025 + 2023)(2025 - 2023)}{2024} = 4$。
12. 若$a、b、c$满足的关系是$\sqrt{2a - 5b + 5 + c} + \sqrt{3a - 3b - c} = \sqrt{5 - a + b} + \sqrt{a - b - 5}$，求$a、b、c$的值.
答案
由二次根式有意义的条件可知$5 - a + b \geq 0$，$a - b - 5 \geq 0$，即$a - b \leq 5$，$a - b \geq 5$，则$a - b = 5$，$\therefore \sqrt{2a - 5b + 5 + c} + \sqrt{3a - 3b - c} = 0$，$\therefore 3a - 3b - c = 0$，$2a - 5b + 5 + c = 0$，解得$c = 15$，$\therefore \begin{cases}a - b = 5 \\2a - 5b = -20\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 15 \\b = 10\end{cases}$，$\therefore a = 15$，$b = 10$，$c = 15$。
13. 设$m = \sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}} (1 \leq a \leq 2)$，求$\sqrt{m^3 + 1}$的值.
答案
$\because 1 \leq a \leq 2$，$\therefore 0 \leq a - 1 \leq 1$，$\therefore m = \sqrt{(a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1} + \sqrt{(a - 1) - 2\sqrt{a - 1} + 1} = \sqrt{a - 1} + 1 + 1 - \sqrt{a - 1} = 2$，$\therefore \sqrt{m^{2}+1} = \sqrt{9} = 3$。
