1.（舟山中考）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y = $\frac{k}{x}$ (k＞0,x＞0)的图像上，点B的坐标为(4,3)，AB与y轴平行，若AB = BC，则k = ________.

32 解析：∵点B的坐标为(4,3)，∴$OB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。∵$AB = BC$，点C与原点O重合，∴$AB = BC = BO = 5$。∵AB与y轴平行，∴点A的坐标为(4,8)。∵点A在$y=\frac{k}{x}$上，∴$8=\frac{k}{4}$，解得$k = 32$。

2.（2024·长春月考）如图，点A是双曲线y = $\frac{4}{x}$在第一象限分支上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图像上运动，则这个函数的表达式为________.

$y=-\frac{4}{x}$ 解析：如图，连接OC，作$CD\perp x$轴于点D，$AE\perp x$轴于点E。设点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$。由题意得点A与点B关于原点对称，∴$OA = OB$。∵$\triangle ABC$为等腰直角三角形，∴$OC = OA$，$OC\perp OA$，∴$\angle DOC+\angle AOE = 90^{\circ}$。∵$\angle DOC+\angle DCO = 90^{\circ}$，$\angle CDO=\angle OEA$，∴$\angle DCO=\angle AOE$。在$\triangle COD$和$\triangle OAE$中，$\begin{cases}\angle CDO=\angle OEA\\\angle DCO=\angle EOA\\CO = OA\end{cases}$，∴$\triangle COD\cong\triangle OAE(AAS)$，∴$OD = AE=\frac{4}{a}$，$CD = OE = a$，∴点C的坐标为$(-\frac{4}{a},a)$。∵$-\frac{4}{a}\cdot a=-4$，∴点C在反比例函数$y = -\frac{4}{x}$的图像上。

3.（一题多解）（2024·泰州校级月考）如图，已知正方形ABCD的面积为4.它的两个顶点B、D是反比例函数y = $\frac{k}{x}$ (k＞0,x＞0)的图像上两点，若点D的坐标是(m,n)，则m - n的值为（ ）

A. 2
B. -2
C. $\frac{1}{2}$
D. -$\frac{1}{2}$

B 解析：∵正方形ABCD的面积为4，∴$AB = AD = 2$。∵点D的坐标是$(m,n)$，∴$B(m + 2,n - 2)$。又∵点B、D是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0,x\gt0)$的图像上两点，∴$mn=(m + 2)\cdot(n - 2)$，∴$m - n=-2$。故选B。
一题多解
如图，延长CD、BA交y轴于点E、F，延长DA、CB交x轴于点M、N，由k的几何意义得，$S_{矩形DEOM}=S_{矩形BFON}$，∴$S_{矩形ADEF}=S_{矩形ABNM}$。∵$AB = AD$，∴$AF = AM$。∵点D的坐标是$(m,n)$，∴$OM = m = AF = AM$，$DM = n = BF$，∴$DA = BA = n - m$。∵正方形ABCD的面积为4，∴$(n - m)^{2}=4$，而$m\lt n$，∴$n - m = 2$，∴$m - n=-2$。故选B。

4.（2024·长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数y = $\frac{k}{x}$ (k＞0,x＞0)的图像经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF，若E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）

A. $\frac{12}{5}$
B. $\frac{3}{2}$
C. 2
D. 3

D 解析：设$A(a,0)$，∵四边形ABCD是矩形，∴$D(a,\frac{k}{a})$。∵四边形ABCD是矩形，E为AC的中点，则E也为BD的中点，又∵点B在x轴上，∴E的纵坐标为$\frac{k}{2a}$，∴$E(2a,\frac{k}{2a})$。∵E为AC的中点，∴点$C(3a,\frac{k}{a})$，∴点$F(3a,\frac{k}{3a})$。∵$\triangle AEF$的面积为1，$AE = EC$，∴$S_{\triangle ACF}=2$，∴$\frac{1}{2}\times(\frac{k}{a}-\frac{k}{3a})\times2a = 2$，解得$k = 3$。故选D。

5.（2024·宁波校级月考）如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数y = $\frac{k}{x}$ (k＜0,x＜0)的图像经过点A，与AF交于点E，且AE = EF，△ADF的面积为6，则k的值为________.

-4 解析：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴$BD\perp AC$。∵$AF\perp AC$，∴$BD// AF$。∵$AO\perp AF$，$AO\perp BD$，∴点D到AF的距离为AO，∴$S_{\triangle ADF}=S_{\triangle AFO}$。反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\lt0,x\lt0)$的图像经过点A，设点$A(a,\frac{k}{a})$，$F(b,0)$。∵$AE = EF$，∴$E(\frac{a + b}{2},\frac{k}{2a})$。
∵点E在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\lt0,x\lt0)$的图像上，∴$\frac{a + b}{2}\times\frac{k}{2a}=k$，解得$b = 3a$。
∵$S_{\triangle ADF}=S_{\triangle AFO}=\frac{1}{2}OF\times y_{A}=\frac{1}{2}\times(-3a)\times\frac{k}{a}=6$，∴$k=-4$。

6.（广东中考）如图，点B是反比例函数y = $\frac{8}{x}$ (x＞0)图像上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A、C.反比例函数y = (x＞0)的图像经过OB的中点M，与AB、BC分别相交于点D、E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG.
（1）填空：k = ________；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形.

(1)2 解析：设点$B(s,t)$，则$st = 8$，则点$M(\frac{1}{2}s,\frac{1}{2}t)$，∴$k=\frac{1}{2}s\cdot\frac{1}{2}t=\frac{1}{4}st = 2$。
(2)连接OD，则$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle OBD}=S_{\triangle BOA}-S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}\times8-\frac{1}{2}\times2 = 3$。
(3)设点$D(m,\frac{2}{m})$，则点$B(4m,\frac{2}{m})$。∵点G与点O关于点C对称，∴点$G(8m,0)$，易得点$E(4m,\frac{1}{2m})$。
设直线DE的函数表达式为$y = px + n$，将点D、E的坐标代入，得$\begin{cases}\frac{2}{m}=mp + n\\\frac{1}{2m}=4mp + n\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-\frac{1}{2m^{2}}\\n=\frac{5}{2m}\end{cases}$，∴直线DE的函数表达式为$y=-\frac{1}{2m^{2}}x+\frac{5}{2m}$。令$y = 0$，∴$x = 5m$，∴点$F(5m,0)$。∴$FG = 8m - 5m = 3m$。又$BD = 4m - m = 3m = FG$，且$FG// BD$，∴四边形BDFG为平行四边形。