1. 母题教材 P47 练习 T3 用带符号键$\boxed{(-)}$的计算器计算 $17 - 3 ÷ (-7)$,按键顺序正确的是 ( )


A.$\boxed{1}\boxed{7}\boxed{(-)}\boxed{3}\boxed{÷}\boxed{(-)}\boxed{7}\boxed{=}$
B.$\boxed{(}\boxed{1}\boxed{7}\boxed{-}\boxed{3}\boxed{)}\boxed{÷}\boxed{(-)}\boxed{7}\boxed{=}$
C.$\boxed{1}\boxed{7}\boxed{-}\boxed{3}\boxed{÷}\boxed{7}\boxed{(-)}\boxed{=}$
D.$\boxed{1}\boxed{7}\boxed{-}\boxed{3}\boxed{÷}\boxed{(-)}\boxed{7}\boxed{=}$

D

2. 下列计算正确的是 ( )

A.$(-36) ÷ (-9) × 1 = -4$
B.$(2024 + 2025) × 0 ÷ 2026 = 2026$
C.$\frac{2}{3} × (-2\frac{1}{4}) ÷ (-1) = \frac{2}{3}$
D.$(-4) ÷ \frac{1}{2} × (-2) = 16$

D

A.$(-36) ÷ (-9) × 1 = 4×1 = 4$，错误；
B.$(2024 + 2025) × 0 ÷ 2026 = 4049×0÷2026 = 0$，错误；
C.$\frac{2}{3} × (-2\frac{1}{4}) ÷ (-1) = \frac{2}{3} × (-\frac{9}{4}) × (-1) = \frac{2}{3} × \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$，错误；
D.$(-4) ÷ \frac{1}{2} × (-2) = (-4)×2×(-2) = (-8)×(-2) = 16$，正确。
结论：D

3. 有理数 $a$,$b$,$c$ 在数轴上对应点的位置如图所示,下列式子正确的是 ( )


A.$c(b - a) \lt 0$
B.$b(c - a) \lt 0$
C.$a(b - c) \gt 0$
D.$a(c + b) \gt 0$

C [点拨]由数轴可得a＜0＜b＜c,则b−a＞0,c−a＞0,b−c＜0,c+b＞0.所以c(b−a)＞0,b(c−a)＞0,a(b−c)＞0,a(c+b)＜0.则A,B,D均不符合题意，C符合题意.故选C.

4. 情境题生活应用 “五月天山雪,无花只有寒”,反映出地形对气温的影响. 大致海拔每升高 $100m$,气温约下降 $0.6^{\circ}C$. 有一座海拔为 $2350m$ 的山,在这座山上海拔为 $350m$ 的地方测得气温是 $6^{\circ}C$,则此时山顶的气温约为______$^{\circ}C$.

−6

山顶与测量点的海拔差为：$2350 - 350 = 2000m$
气温下降度数为：$\frac{2000}{100} × 0.6 = 12^{\circ}C$
山顶气温为：$6 - 12 = -6^{\circ}C$
$-6$

5. 在每个$□$内填入 “$+$,$-$,$×$,$÷$” 中的某一个符号(可重复使用),使得 “$1□2□3 - 6$” 取得最小值,则这个最小值是______.

−11

要使“1□2□3 - 6”取得最小值，需使“1□2□3”的值最小。
1. 考虑不同运算组合：
$1+2+3=6$，则 $6 - 6=0$；
$1+2-3=0$，则 $0 - 6=-6$；
$1+2×3=7$，则 $7 - 6=1$；
$1+2÷3=\frac{5}{3}$，则 $\frac{5}{3}-6=-\frac{13}{3}\approx-4.33$；
$1-2+3=2$，则 $2 - 6=-4$；
$1-2-3=-4$，则 $-4 - 6=-10$；
$1-2×3=-5$，则 $-5 - 6=-11$；
$1-2÷3=\frac{1}{3}$，则 $\frac{1}{3}-6=-\frac{17}{3}\approx-5.67$；
$1×2+3=5$，则 $5 - 6=-1$；
$1×2-3=-1$，则 $-1 - 6=-7$；
$1×2×3=6$，则 $6 - 6=0$；
$1×2÷3=\frac{2}{3}$，则 $\frac{2}{3}-6=-\frac{16}{3}\approx-5.33$；
$1÷2+3=\frac{7}{2}$，则 $\frac{7}{2}-6=-\frac{5}{2}=-2.5$；
$1÷2-3=-\frac{5}{2}$，则 $-\frac{5}{2}-6=-\frac{17}{2}=-8.5$；
$1÷2×3=\frac{3}{2}$，则 $\frac{3}{2}-6=-\frac{9}{2}=-4.5$；
$1÷2÷3=\frac{1}{6}$，则 $\frac{1}{6}-6=-\frac{35}{6}\approx-5.83$。
2. 比较所有结果，最小值为$-11$。
$-11$

6. 计算：
(1) $(-\frac{1}{32}) ÷ (-\frac{1}{8}) - 5 + \frac{1}{4}$；
(2) $(-\frac{2}{3}) ÷ | - 5\frac{1}{6}| × 6\frac{1}{5} - 2\frac{1}{5}$；
(3) $(1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{6} - 1\frac{1}{12}) ÷ (-\frac{1}{12})$.

(1)原式=(−$\frac{1}{32}$)×(−8)−5+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$−5+$\frac{1}{4}$=−$\frac{9}{2}$.
(2)原式=(−$\frac{2}{3}$)÷|−$\frac{31}{6}$|×$\frac{31}{5}$−$\frac{11}{5}$=(−$\frac{2}{3}$)×$\frac{6}{31}$×$\frac{31}{5}$−$\frac{11}{5}$=−$\frac{4}{5}$−$\frac{11}{5}$=−3.
(3)原式=($\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$−$\frac{13}{12}$)×(−12)=$\frac{3}{2}$×(−12)+$\frac{7}{6}$×(−12)−$\frac{13}{12}$×(−12)=−18−14+13=−19.

7. 小林在计算 “$40 ÷ □ × (-2)$” 时,误将 “$÷$” 看成 “$+$”,结果得 $50$,则 $40 ÷ □ × (-2)$ 的值为 ( )

A.$10$
B.$16$
C.$-12$
D.$-18$

B [点拨]由题意得40+□×(−2)=50,所以□×(−2)=10.所以□=−5.所以40÷□×(−2)=40÷(−5)×(−2)=16.

8. 取一个非零自然数,若它是奇数,则乘 $3$ 加上 $1$；若它是偶数,则除以 $2$,按此规则经过若干步的计算最终可得到 $1$. 这个结论在数学上还没有得到证明,但举例验证都是正确的. 例如：取自然数 $5$,经过 $5$ 步运算可得到 $1$,如图所示. 若自然数 $m$ 恰好经过 $7$ 步运算可得到 $1$,则所有符合条件的 $m$ 的值有 ( )


A.$3$ 个
B.$4$ 个
C.$5$ 个
D.$6$ 个

B

从1逆向推导：
1. 第7步结果为1，第6步只能是2（1×2=2，1为奇数，1-1=0非自然数，排除）；
2. 第6步为2，第5步只能是4（2×2=4，2为奇数，2-1=1非偶数，排除）；
3. 第5步为4，第4步可能是8（4×2=8）或1（4-1=3，3÷3=1，1为自然数）；
若第4步为8，第3步可能是16（8×2=16）或(8-1)=7（7为自然数）；
第3步为16，第2步可能是32（16×2=32）或5（16-1=15，15÷3=5）；
第2步为32，第1步可能是64（32×2=32）或10.333…（非自然数，排除），得m=64；
第2步为5，第1步可能是10（5×2=10）或(5-1)=4/3（非自然数，排除），得m=10；
第3步为7，第2步只能是14（7×2=14，7为奇数无其他情况）；
第2步为14，第1步可能是28（14×2=28）或(14-1)=13/3（非自然数，排除），得m=28；
若第4步为1，第3步只能是2（1×2=2，1为奇数无其他情况）；
第3步为2，第2步只能是4（2×2=4，2为奇数无其他情况）；
第2步为4，第1步可能是8（4×2=8）或(4-1)=1（1为自然数）；
第1步为8，得m=8；
第1步为1，1经过1步到4，不符合7步，排除；
综上，m=64,10,28,8。
所有符合条件的m的值有4个。
B

9. 新视角新定义题对于有理数 $a$,我们规定 $f(a) = \frac{a}{a + 1}$,例如 $f(3) = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$,$f(\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{4}$,那么 $f(-2) - f(-\frac{1}{2})$ 的值为______.

3 [点拨]根据题意得f(−2)−f(−$\frac{1}{2}$)=$\frac{−2}{−2 + 1}$−$\frac{−\frac{1}{2}}{−\frac{1}{2} + 1}$=$\frac{−2}{−1}$−$\frac{−\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=2−(−1)=2 + 1 = 3.

$f(-2)-f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-2}{-2+1}-\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{-2}{-1}-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=2-(-1)=3$

10. 新考法分类讨论法已知 $a$,$b$,$c$ 是非零有理数,且 $a + b + c = 0$,则 $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|}$ 的值为______.

0 [点拨]由已知可得a,b,c为两正一负或两负一正.①当a,b,c为两正一负时，$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$=1,$\frac{abc}{|abc|}$=−1,则$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$+$\frac{abc}{|abc|}$=0;②当a,b,c为两负一正时，$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$=−1,$\frac{abc}{|abc|}$=1,则$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$+$\frac{abc}{|abc|}$=0.综上，$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$+$\frac{abc}{|abc|}$的值为0.

解：因为$a$，$b$，$c$是非零有理数，且$a + b + c = 0$，所以$a$，$b$，$c$为两正一负或两负一正。
①当$a$，$b$，$c$为两正一负时，$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} = 1 + 1 - 1 = 1$，$\frac{abc}{|abc|} = -1$，则$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|} = 1 + (-1) = 0$；
②当$a$，$b$，$c$为两负一正时，$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} = -1 - 1 + 1 = -1$，$\frac{abc}{|abc|} = 1$，则$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|} = -1 + 1 = 0$。
综上，$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{c}{|c|} + \frac{abc}{|abc|}$的值为$0$。
$0$