23. (9分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线$y = mx + 1$与双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$相交于点A、B，点C在x轴正半轴上，点D(1,-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形AODC为菱形.
(1)求k和m的值；
(2)根据图像写出反比例函数的值小于2时x的取值范围；
(3)设点P是y轴上一动点，且$S_{\triangle OAP} = S_{菱形OACD}$，求点P的坐标.

(1)连接AD，交x轴于点E，∵四边形AODC是菱形，D(1，-2)，∴OE = 1，ED = 2，∴AE = DE = 2，∴A(1，2). 将A(1，2)代入直线y = mx + 1可得m + 1 = 2，解得m = 1. 将A(1，2)代入反比例函数y = $\frac{k}{x}$，可得k = 2.
(2)∵当x = 1时，反比例函数的值为2，∴当反比例函数图像在点A下方时，对应的函数值小于2，此时x的取值范围是x ＜ 0或x ＞ 1.
(3)∵OC = 2OE = 2，AD = 2DE = 4，∴S菱形OACD = $\frac{1}{2}OC\cdot AD$ = 4. ∵S△OAP = S菱形OACD，∴S△OAP = 4. 设点P的坐标为(0，y)，则OP = |y|，∴$\frac{1}{2}\times|y|\times1 = 4$，即|y| = 8，解得y = 8或y = -8，∴点P的坐标为(0，8)或(0，-8).

24. (10分)(2024·无锡校级月考)如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB = 1，BC = $\sqrt{5}$. 对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F.
(1)当α = ________时，四边形ABEF是平行四边形.
(2)在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗? 如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由.
(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形? 如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由.

(1)90 解析：∵AB⊥AC，∴∠BAC = 90°. ∵AF//BE，∴当EF//AB时，四边形ABEF是平行四边形，∴EF⊥AC，∴∠AOF = 90°，∴α = 90.
(2)在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形. 理由如下：如图①，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD的对称中心为点O，∴OB = OD，OE = OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形. 在Rt△ABC中，AB = 1，BC = $\sqrt{5}$，∴AC = $\sqrt{BC² - AB²}$ = 2. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA = OC = $\frac{1}{2}AC$ = 1，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOB = 45°，∴∠AOF = ∠COE = 45°，即此时α为45.

(3)在旋转过程中，存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形. ∵OA = OC，OB = OD，OE = OF，∴当EF = AC时，四边形AECF为矩形，如图②，矩形AECF的对角线长为2. 当EF = BD时，四边形BEDF为矩形，如图③，∵△AOB为等腰直角三角形，∴OB = $\sqrt{2}AB$ = $\sqrt{2}$，∴BD = 2OB = 2$\sqrt{2}$，∴矩形BEDF的对角线长为2$\sqrt{2}$.

25. (12分)(2024·南京期中)对于两个不同的函数，通过减法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“差函数”. 例如：对于函数$y_{1} = 3x$和$y_{2} = x - 1$，则函数$y_{1}$，$y_{2}$的“差函数”记为$y_{3} = y_{1} - y_{2} = 3x - (x - 1) = 2x + 1$.
(1)已知函数$y_{1} = x^{2}$和$y_{2} = \frac{1}{x}$，若将这两个函数的“差函数”记为$y_{3}$.
①写出$y_{3}$的表达式：$y_{3}$ = ________；
②函数$y_{1}$、$y_{2}$的图像如图所示，则$y_{3}$的大致图像是________.



(2)已知函数：$y_{4} = x + 1$和$y_{5} = \frac{1}{x + 1}$，若将这两个函数的“差函数”记为$y_{6}$，判断下列关于“差函数”$y_{6}$描述的正确性.
A. $y_{6}$的图像与x轴没有公共点
B. $y_{6}$的图像关于(-1,0)对称
C. 当$x ＜ - 1$时，$y_{6}$随x的值增大而减小
D. 当$x ＞ - 1$时，随着x的值增大，$y_{6}$的图像越来越接近$y_{4} = x + 1$的图像
上述描述正确的为________. (多选)

(1)①x³ - $\frac{1}{x}$
②D 解析：∵y3 = x³ - $\frac{1}{x}$，当x ＞ 0时，y1 = x³随x的增大而增大，y2 = $\frac{1}{x}$随x的增大而减小，∴y3 = x³ - $\frac{1}{x}$随x的增大而增大，同理可得，当x ＜ 0时，y3 = x³ - $\frac{1}{x}$随x的增大而增大. 当y3 = 0时，0 = x³ - $\frac{1}{x}$，∴x = ±1，∴综上所述，y3的大致图像是D. 故选D.
(2)BD 解析：∵y4 = x + 1，y5 = $\frac{1}{x + 1}$，∴y6 = y4 - y5 = x + 1 - $\frac{1}{x + 1}$，A. 当x = 0时，y6 = 0 + 1 - $\frac{1}{0 + 1}$ = 0，∴y6的图像与x轴有公共点，故错误；B. 任选y6上的一点P(m - 1，n)，n = m - $\frac{1}{m}$，点P关于点(-1，0)的对称点P'(-1 - m，-n)，代入y6，得 - n = - m + $\frac{1}{m}$成立，∴点P'在y6上，∴y6的图像关于(-1，0)对称，故正确；C. 画出函数y6 = x + 1 - $\frac{1}{x + 1}$的图像如图，由图像可得，当x ＜ -1时，y6随x的值增大而增大，故错误；D. y6 - y4 = -$\frac{1}{x + 1}$，随着x的增大，-$\frac{1}{x + 1}$趋近于0，即y4和y6的图像越接近，故正确. 故选BD.