1.（2024·葫芦岛期末）已知关于x的方程$\frac{a}{2a - x} = \frac{1}{3}$的解是x = 1，则a的值为（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2

C

2. 当a = ________时，关于x的方程$\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$的解为x = 0.

$\frac{1}{5}$

3.（2023·齐齐哈尔中考改编）如果关于x的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1} = 1$的解是负数，那么实数m的取值范围是________.

$m ＜ -1$且$m \neq -2$

4.（2024·宜宾期末）已知关于x的方程$\frac{x}{x - 1} - \frac{m - 2}{1 - x} = 3$有整数解，且-4 ≤ m ＜ 3，则整数m的值可以为________.

-3或-1

5.（2024·重庆中考改编）若关于x的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} \leq 3 \\ 4x - 2 ＜ 3x + a\end{cases}$的解集为x ≤ 4，且关于y的分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$的解均为负整数，求所有满足条件的整数a的值之和.

$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} \leq 3, & ① \\4x - 2 ＜ 3x + a, & ②\end{cases}$ 解不等式①得$x \leq 4$，解不等式②得$x ＜ a + 2$.
$\because$不等式组的解集为$x \leq 4$，$\therefore a + 2 ＞ 4$，$\therefore a ＞ 2$. 解关于$y$的分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$，得$y = \frac{a - 10}{2}$. $\because$关于$y$的分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$的解均为负整数，$\therefore \frac{a - 10}{2} ＜ 0$且$\frac{a - 10}{2}$是整数且$y + 2 = \frac{a - 10}{2} + 2 \neq 0$，$\therefore a ＜ 10$且$a \neq 6$且$a$是偶数，$\therefore 2 ＜ a ＜ 10$且$a \neq 6$且$a$是偶数，$\therefore$满足题意的$a$的值可以为4或8，$\therefore$所有满足条件的整数$a$的值之和是$4 + 8 = 12$.

6. 若关于x的分式方程$\frac{x + m}{4 - x^{2}} + \frac{x}{x - 2} = 1$有增根，则m的值是（ ）
A. 2或6
B. 2
C. 6
D. 2或-6

A

7. 解关于x的分式方程$\frac{2m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$会产生增根，则增根可能为（ ）
A. 0或3
B. 3
C. 0
D. 以上都不对

B

8.（2024·菏泽期中）若关于x的方程$\frac{x + 1}{x^{2} - x} - \frac{1}{3x} = \frac{x + k}{3x - 3}$有增根，求增根和k的值.

$\because$关于$x$的方程$\frac{x + 1}{x^2 - x} - \frac{1}{3x} = \frac{x + k}{3x - 3}$有增根，最简公分母为$3x(x - 1)$，
$\therefore 3x(x - 1) = 0$，即$x = 0$或$x = 1$是增根，去分母得$3(x + 1) - (x - 1) = x(x + k)$，把$x = 0$或$x = 1$代入上式得$3\times(0 + 1) - (0 - 1) = 0\cdot(0 + k)$（等式不成立，舍去）或$3\times(1 + 1) - (1 - 1) = 1\cdot(1 + k)$，解得$k = 5$. 综上，方程的增根为$x = 1$，$k$的值为5.

9.（2024·永州月考）若分式方程$\frac{x - a}{x + 1} = a$无解，则a的值为________.

$\pm 1$ 解析：去分母得$x - a = ax + a$，即$(a - 1)x = -2a$，显然当$a = 1$时，方程无解. 当$a \neq 1$时，由分式方程无解，得到$x + 1 = 0$，即$x = -1$，把$x = -1$代入整式方程得$-1 - a = -a + a$，解得$a = -1$. 综上，$a$的值为$\pm 1$.

10. 关于x的分式方程$\frac{x}{x + 1} = \frac{ax}{3x + 3} + 1$无解，求常数a的值.

方程两边同乘$3(x + 1)$，得$3x = ax + 3x + 3$，$\therefore ax = -3$. $\because$关于$x$的分式方程$\frac{x}{x + 1} = \frac{ax}{3x + 3} + 1$无解，$\therefore$当$a = 0$时，分式方程无解；当$x + 1 = 0$，即$x = -1$时，$a = 3$，此时分式方程也无解. 综上，$a = 0$或3.

11.（齐齐哈尔中考改编）若关于x的方程$\frac{1}{x - 4} + \frac{m}{x + 4} = \frac{m + 3}{x^{2} - 16}$无解，求m的值.

去分母，得$x + 4 + m(x - 4) = m + 3$，整理，得$(m + 1)x = 5m - 1$，当$m + 1 = 0$时，方程无解，此时$m = -1$；当$m + 1 \neq 0$时，则$x = \frac{5m - 1}{m + 1} = \pm 4$时关于$x$的方程无解，解得$m = 5$或$-\frac{1}{3}$. 综上所述，$m = -1$或5或$-\frac{1}{3}$.