13. [2025成都青羊区月考]如图,B在线段AC上,且BC= 3AB,D是线段AB的中点,E是BC的三等分点(BE＞CE),则下列结论：①EC= $\frac{1}{4}$AE；②DE= 5BD；③BE= $\frac{1}{2}$(AE+BC)；④AE= $\frac{6}{5}$(BC-AD),其中正确的结论有______.

②④

设AB=x，则BC=3x，AC=AB+BC=4x。
∵D是AB中点，∴AD=DB=AB/2=x/2。
∵E是BC三等分点且BE＞CE，∴BE=2/3 BC=2x，CE=1/3 BC=x。
设A点为0，则各点坐标：A(0)，D(x/2)，B(x)，E(x+2x=3x)，C(4x)。
①EC=CE=x，AE=3x-0=3x，1/4 AE=3x/4≠x，①错误；
②DE=3x - x/2=5x/2，BD=x/2，5BD=5x/2=DE，②正确；
③BE=2x，1/2(AE+BC)=1/2(3x+3x)=3x≠2x，③错误；
④AE=3x，BC-AD=3x - x/2=5x/2，6/5(BC-AD)=6/5×5x/2=3x=AE，④正确。

14. (10分)如图,已知线段a,b,c,用圆规和直尺作线段,使线段的长度等于a+b-c.要求：保留作图痕迹.

1. 作一条射线 $AM$。
2. 用圆规量取线段 $a$ 的长度，在射线 $AM$ 上截取 $AB = a$。
3. 用圆规量取线段 $b$ 的长度，从点 $B$ 开始在射线 $BM$ 的延长方向上截取 $BC = b$，此时 $AC=a + b$。
4. 用圆规量取线段 $c$ 的长度，从点 $C$ 开始向点 $A$ 方向截取 $CD = c$，则 $AD=a + b - c$，线段 $AD$ 即为所求。

15. (12分)如图,已知点C,D是线段AB上的点,AB= 18,AC：BC= 5：4,BD= 3CD.
(1)求CD的长；
(2)若点E是AC的中点,求DE的长.

(1)设AC=5x，BC=4x，∵AC+BC=AB，∴5x+4x=18，解得x=2，∴AC=10，BC=8。∵D在线段AB上，BD=3CD，且点C，D在AB上，∴D在C，B之间，∴BC=CD+BD=CD+3CD=4CD，∴4CD=8，∴CD=2。
(2)∵E是AC中点，AC=10，∴EC=AC/2=5。∵CD=2，且E，C，D在同一直线上，∴DE=EC+CD=5+2=7。
(1)2；(2)7。

16. (12分)已知：点M,N分别是AB,CB的中点.
(1)如图,点C在线段AB上,AC= 8cm,NB= 5cm.求MN的长；
(2)若点C在线段BA的延长线上,且AC= a,BC= b,求线段MN的长.(用含有a,b的代数式表示)

(1)4cm；(2)a/2。

(1)∵N是CB中点，NB=5cm，∴CB=2NB=10cm。
∵AC=8cm，点C在线段AB上，∴AB=AC+CB=8+10=18cm。
∵M是AB中点，∴MB=AB/2=9cm。
∴MN=MB-NB=9-5=4cm。
(2)∵点C在线段BA延长线上，AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a。
∵M是AB中点，∴MB=AB/2=(b-a)/2。
∵N是CB中点，∴NB=BC/2=b/2。
∴MN=NB-MB=b/2-(b-a)/2=a/2。

17. (14分)新视角动点探究题【问题背景】如图,P是线段AB上一点,AB= 18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发沿射线BP向左运动,其中一点到达点A处时两动点均停止运动.
【问题探究】(1)动点C,D的速度分别是1cm/s,2cm/s.
①若AP= 8cm,当动点C,D运动了2s时,求CD的长度；
②若经过ts,点C到达AP的中点,点D也刚好到达BP的中点,求t的值；
【问题解决】(2)动点C,D的速度分别是1cm/s,3cm/s,点C,D在运动时,总有PD= 3AC,求AP的长度.

（1）①8cm；②3s；（2）$\frac{9}{2}$cm。

（1）①
设点A为原点（0），则点B为18cm，AP=8cm，故点P为8cm。
动点C从P（8cm）向左运动，速度1cm/s，2s后位置：$8 - 1×2 = 6$cm。
动点D从B（18cm）向左运动，速度2cm/s，2s后位置：$18 - 2×2 = 14$cm。
$CD = 14 - 6 = 8$cm。
（1）②
设AP=x（cm），则点P为x cm（A为原点），PB=18 - x。
点C运动ts后到达AP中点：C的位置为$x - t$，AP中点位置为$\frac{x}{2}$，故$x - t = \frac{x}{2}$，解得$t = \frac{x}{2}$。
点D运动ts后到达BP中点：D的位置为$18 - 2t$，BP中点位置为$x + \frac{18 - x}{2} = \frac{x + 18}{2}$，故$18 - 2t = \frac{x + 18}{2}$。
将$t = \frac{x}{2}$代入上式：$18 - 2×\frac{x}{2} = \frac{x + 18}{2}$，化简得$18 - x = \frac{x + 18}{2}$，解得$x = 6$，则$t = \frac{6}{2} = 3$s。
（2）
设AP=m（cm），点P为m cm（A为原点）。
点C位置：$m - t$，则$AC = m - t$。
点D位置：$18 - 3t$，则$PD = |18 - 3t - m|$。
由$PD = 3AC$，得$|18 - 3t - m| = 3(m - t)$。
因运动中总有$PD = 3AC$，等式恒成立，去绝对值得$18 - 3t - m = 3(m - t)$，化简得$18 - m = 3m$，解得$m = \frac{9}{2}$cm。