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1 李叔叔家建造了一个长方体蓄水池，从蓄水池里面量得的数据如下图所示。李叔叔打算在蓄水池的底面贴上地砖（地砖必须是整块的），以下是 4 种型号的地砖。若要刚好铺满，则可以选择的地砖有哪些型号？边长最长是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？
答案
4m = 40dm
3m = 30dm
40和30的公因数：1、2、5、10
可选地砖型号：①、③、④
边长最长是10dm。
$(40÷10)×(30÷10)=12$（块）
答：可以选择的地砖有型号①、③、④；边长最长是10分米；一共需要12块这样的地砖。
3m = 30dm
40和30的公因数：1、2、5、10
可选地砖型号：①、③、④
边长最长是10dm。
$(40÷10)×(30÷10)=12$（块）
答：可以选择的地砖有型号①、③、④；边长最长是10分米；一共需要12块这样的地砖。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要统一单位，将蓄水池的长和宽从米换算成分米，保证和地砖边长单位一致。由于地砖必须是整块的，所以地砖的边长必须是蓄水池长和宽的公因数，这样长和宽才能被地砖边长整除，实现刚好铺满。接下来先找出长和宽的所有公因数，对应匹配地砖型号；再从公因数中找出最大的数，就是边长最长的地砖；最后通过计算长、宽分别包含多少个地砖边长，将两个数量相乘得到所需地砖的总块数。
【解析】
1. 单位换算：
因为$1m=10dm$，所以$4m=4×10=40dm$，$3m=3×10=30dm$。
2. 找出40和30的公因数：
对40和30分解因数：
$40=2×2×2×5$，$30=2×3×5$，
由此可得40和30的公因数为1、2、5、10。
3. 确定可选地砖型号：
对比地砖边长，边长为1dm、5dm、10dm的地砖（对应型号①、③、④）的边长是40和30的公因数，因此可以选择这些型号。
4. 确定最长地砖边长：
在公因数1、2、5、10中，最大的数是10，所以边长最长是10dm。
5. 计算所需地砖块数：
长方向所需地砖数：$40÷10=4$（块）
宽方向所需地砖数：$30÷10=3$（块）
总块数：$4×3=12$（块）
【答案】
可以选择的地砖有型号①、③、④；边长最长是10分米；一共需要12块这样的地砖。
【知识点】
1. 公因数的实际应用
2. 长度单位换算
3. 整数乘除法应用
【点评】
本题考查公因数在实际铺砖问题中的应用，解题核心是理解“整块地砖铺满”的条件是地砖边长为蓄水池长和宽的公因数，同时需注意单位统一，帮助学生建立数学知识与实际生活的联系，提升应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要统一单位，将蓄水池的长和宽从米换算成分米，保证和地砖边长单位一致。由于地砖必须是整块的，所以地砖的边长必须是蓄水池长和宽的公因数，这样长和宽才能被地砖边长整除，实现刚好铺满。接下来先找出长和宽的所有公因数，对应匹配地砖型号；再从公因数中找出最大的数，就是边长最长的地砖；最后通过计算长、宽分别包含多少个地砖边长，将两个数量相乘得到所需地砖的总块数。
【解析】
1. 单位换算：
因为$1m=10dm$，所以$4m=4×10=40dm$，$3m=3×10=30dm$。
2. 找出40和30的公因数：
对40和30分解因数：
$40=2×2×2×5$，$30=2×3×5$，
由此可得40和30的公因数为1、2、5、10。
3. 确定可选地砖型号：
对比地砖边长，边长为1dm、5dm、10dm的地砖（对应型号①、③、④）的边长是40和30的公因数，因此可以选择这些型号。
4. 确定最长地砖边长：
在公因数1、2、5、10中，最大的数是10，所以边长最长是10dm。
5. 计算所需地砖块数：
长方向所需地砖数：$40÷10=4$（块）
宽方向所需地砖数：$30÷10=3$（块）
总块数：$4×3=12$（块）
【答案】
可以选择的地砖有型号①、③、④；边长最长是10分米；一共需要12块这样的地砖。
【知识点】
1. 公因数的实际应用
2. 长度单位换算
3. 整数乘除法应用
【点评】
本题考查公因数在实际铺砖问题中的应用，解题核心是理解“整块地砖铺满”的条件是地砖边长为蓄水池长和宽的公因数，同时需注意单位统一，帮助学生建立数学知识与实际生活的联系，提升应用能力。
【难度系数】
0.6
2 五（1）班和五（2）班的同学一起去春游，其中五（1）班有 32 人，五（2）班有 36 人。如果把两个班的同学分别分成若干小组，且要使两个班每个小组的人数相同，那么每组最多有多少人？
答案
2 |32 36
-------
2 |16 18
-------
8 9
2×2=4
答：每组最多有4人。
-------
2 |16 18
-------
8 9
2×2=4
答：每组最多有4人。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确题意：两个班分别分组，每组人数相同且要最多，这实际是求32和36的最大公因数。因为每组人数必须能同时整除32和36，也就是两个数的公因数，而“最多”对应的就是最大公因数。我们可以用短除法来求最大公因数，先找出能同时整除这两个数的公因数，逐步除下去，直到剩下的数互质，再把所有除数相乘，结果就是最大公因数。
【解析】
用短除法计算32和36的最大公因数：
```
2 |32 36
-------
2 |16 18
-------
8 9
```
由于8和9互质，停止除法运算。将所有除数相乘：2×2=4。
答：每组最多有4人。
【答案】
4人
【知识点】
最大公因数的应用、短除法求最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是将分组问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，掌握短除法求最大公因数的方法是解题关键，题目贴近生活，有助于理解公因数的实际意义。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确题意：两个班分别分组，每组人数相同且要最多，这实际是求32和36的最大公因数。因为每组人数必须能同时整除32和36，也就是两个数的公因数，而“最多”对应的就是最大公因数。我们可以用短除法来求最大公因数，先找出能同时整除这两个数的公因数，逐步除下去，直到剩下的数互质，再把所有除数相乘，结果就是最大公因数。
【解析】
用短除法计算32和36的最大公因数：
```
2 |32 36
-------
2 |16 18
-------
8 9
```
由于8和9互质，停止除法运算。将所有除数相乘：2×2=4。
答：每组最多有4人。
【答案】
4人
【知识点】
最大公因数的应用、短除法求最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是将分组问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，掌握短除法求最大公因数的方法是解题关键，题目贴近生活，有助于理解公因数的实际意义。
【难度系数】
0.8
3 郑老师买了 56 枝康乃馨和 48 枝万寿菊，准备扎成花束让同学们带着去看望敬老院的老人们。要使每束花中康乃馨的数量相同，万寿菊的数量也相同，请你算一算，每束花至少有几枝？
答案
56和48的最大公因数是8。
56÷8=7（枝）
48÷8=6（枝）
7+6=13（枝）
答：每束花至少有13枝。
56÷8=7（枝）
48÷8=6（枝）
7+6=13（枝）
答：每束花至少有13枝。
解析
【分析】
要解决“每束花至少有几枝”的问题，首先需要明确：要使每束花中两种花数量分别相同且每束花总数最少，那么扎成的花束数量应该最多，因为花束越多，每束里的花数量就越少。而花束的最大数量就是56和48的最大公因数，因为只有这样才能将两种花都正好平均分完。接下来我们先求出56和48的最大公因数，再分别计算每束中康乃馨和万寿菊的数量，最后将两者相加得到每束花的总枝数。
【解析】
1. 求56和48的最大公因数：
分解质因数可得：
$56 = 2×2×2×7$
$48 = 2×2×2×2×3$
两者共有的质因数相乘：$2×2×2 = 8$，即56和48的最大公因数是8，也就是最多能扎8束花。
2. 计算每束花中康乃馨的数量：
$56÷8 = 7$（枝）
3. 计算每束花中万寿菊的数量：
$48÷8 = 6$（枝）
4. 计算每束花的总枝数：
$7 + 6 = 13$（枝）
答：每束花至少有13枝。
【答案】
13枝
【知识点】
最大公因数的应用、平均分问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“每束花至少有几枝”对应的是花束数量最多，从而将问题转化为求两个数的最大公因数，锻炼了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决“每束花至少有几枝”的问题，首先需要明确：要使每束花中两种花数量分别相同且每束花总数最少，那么扎成的花束数量应该最多，因为花束越多，每束里的花数量就越少。而花束的最大数量就是56和48的最大公因数，因为只有这样才能将两种花都正好平均分完。接下来我们先求出56和48的最大公因数，再分别计算每束中康乃馨和万寿菊的数量，最后将两者相加得到每束花的总枝数。
【解析】
1. 求56和48的最大公因数：
分解质因数可得：
$56 = 2×2×2×7$
$48 = 2×2×2×2×3$
两者共有的质因数相乘：$2×2×2 = 8$，即56和48的最大公因数是8，也就是最多能扎8束花。
2. 计算每束花中康乃馨的数量：
$56÷8 = 7$（枝）
3. 计算每束花中万寿菊的数量：
$48÷8 = 6$（枝）
4. 计算每束花的总枝数：
$7 + 6 = 13$（枝）
答：每束花至少有13枝。
【答案】
13枝
【知识点】
最大公因数的应用、平均分问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“每束花至少有几枝”对应的是花束数量最多，从而将问题转化为求两个数的最大公因数，锻炼了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
4 厨艺大赛中，选手们刀工熟练，把一块长 12 cm、宽 8 cm、高 6 cm 的豆腐切成了同样大小的小正方体豆腐丁，刚好切完没有剩余，小正方体豆腐丁的棱长最大是多少？能切成多少块这样的豆腐丁？
答案
12、8、6的最大公因数是2。
12÷2=6（个）
8÷2=4（个）
6÷2=3（个）
6×4×3=72（块）
答：小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm，能切成72块这样的豆腐丁。
12÷2=6（个）
8÷2=4（个）
6÷2=3（个）
6×4×3=72（块）
答：小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm，能切成72块这样的豆腐丁。
解析
【分析】
要把长方体豆腐切成同样大小的小正方体且刚好无剩余，小正方体的棱长必须是长方体长、宽、高的公因数，要求棱长最大，就是求12、8、6的最大公因数。找到最大公因数后，分别用长、宽、高除以这个最大公因数，得到长、宽、高方向上能切出的小正方体个数，再将三个方向的个数相乘，就能得到总块数。
【解析】
1. 求12、8、6的最大公因数：
12的因数有1、2、3、4、6、12；
8的因数有1、2、4、8；
6的因数有1、2、3、6；
因此12、8、6的最大公因数是2，即小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm。
2. 计算各方向能切出的小正方体个数：
长方向：$12÷2=6$（个）
宽方向：$8÷2=4$（个）
高方向：$6÷2=3$（个）
3. 计算总块数：$6×4×3=72$（块）
答：小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm，能切成72块这样的豆腐丁。
【答案】
小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm，能切成72块这样的豆腐丁。
【知识点】
1. 最大公因数的应用
2. 长方体切割问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“刚好切完没有剩余”的含义，明确小正方体棱长与长方体长、宽、高的关系，再通过分步计算得到总块数，属于基础应用题型，需要学生掌握最大公因数的求法及长方体切割的数量计算逻辑。
【难度系数】
0.8
要把长方体豆腐切成同样大小的小正方体且刚好无剩余，小正方体的棱长必须是长方体长、宽、高的公因数，要求棱长最大，就是求12、8、6的最大公因数。找到最大公因数后，分别用长、宽、高除以这个最大公因数，得到长、宽、高方向上能切出的小正方体个数，再将三个方向的个数相乘，就能得到总块数。
【解析】
1. 求12、8、6的最大公因数：
12的因数有1、2、3、4、6、12；
8的因数有1、2、4、8；
6的因数有1、2、3、6；
因此12、8、6的最大公因数是2，即小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm。
2. 计算各方向能切出的小正方体个数：
长方向：$12÷2=6$（个）
宽方向：$8÷2=4$（个）
高方向：$6÷2=3$（个）
3. 计算总块数：$6×4×3=72$（块）
答：小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm，能切成72块这样的豆腐丁。
【答案】
小正方体豆腐丁的棱长最大是2cm，能切成72块这样的豆腐丁。
【知识点】
1. 最大公因数的应用
2. 长方体切割问题
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“刚好切完没有剩余”的含义，明确小正方体棱长与长方体长、宽、高的关系，再通过分步计算得到总块数，属于基础应用题型，需要学生掌握最大公因数的求法及长方体切割的数量计算逻辑。
【难度系数】
0.8
5 在下图所示的街道一侧等距离地安装路灯，并且在点 $ A $、$ B $、$ C $ 及 $ AB $、$ BC $ 的中点各安装一盏路灯。相邻两盏路灯之间的距离最远是多少米？
答案
270÷2=135（米）
210÷2=105（米）
用短除法求135和105的最大公因数：
```
3 |135 105
-------
5 |45 35
------
9 7
```
3×5=15
答：相邻两盏路灯之间的距离最远是15米。
210÷2=105（米）
用短除法求135和105的最大公因数：
```
3 |135 105
-------
5 |45 35
------
9 7
```
3×5=15
答：相邻两盏路灯之间的距离最远是15米。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要明确：因为要在A、B、C及AB、BC的中点都安装路灯，且路灯等距离分布，所以相邻路灯的距离必须同时是AB一半长度和BC一半长度的公因数。要求相邻两盏路灯之间的最远距离，就是求这两个一半长度的最大公因数。我们先计算出AB和BC各自一半的长度，再通过短除法求出它们的最大公因数即可。
【解析】
1. 计算AB中点到端点的距离：
$270÷2 = 135$（米）
2. 计算BC中点到端点的距离：
$210÷2 = 105$（米）
3. 用短除法求135和105的最大公因数：
```
3 |135 105
-------
5 |45 35
------
9 7
```
两个数的公有质因数为3和5，因此最大公因数为$3×5 = 15$（米）
【答案】
相邻两盏路灯之间的距离最远是15米。
【知识点】
1. 最大公因数应用
2. 短除法求最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是将实际问题转化为求两个数的最大公因数问题，理解“等距离安装且关键点都要装路灯”意味着距离需是各段一半长度的公因数，最远的距离就是最大公因数。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要明确：因为要在A、B、C及AB、BC的中点都安装路灯，且路灯等距离分布，所以相邻路灯的距离必须同时是AB一半长度和BC一半长度的公因数。要求相邻两盏路灯之间的最远距离，就是求这两个一半长度的最大公因数。我们先计算出AB和BC各自一半的长度，再通过短除法求出它们的最大公因数即可。
【解析】
1. 计算AB中点到端点的距离：
$270÷2 = 135$（米）
2. 计算BC中点到端点的距离：
$210÷2 = 105$（米）
3. 用短除法求135和105的最大公因数：
```
3 |135 105
-------
5 |45 35
------
9 7
```
两个数的公有质因数为3和5，因此最大公因数为$3×5 = 15$（米）
【答案】
相邻两盏路灯之间的距离最远是15米。
【知识点】
1. 最大公因数应用
2. 短除法求最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是将实际问题转化为求两个数的最大公因数问题，理解“等距离安装且关键点都要装路灯”意味着距离需是各段一半长度的公因数，最远的距离就是最大公因数。
【难度系数】
0.6
