6.（2024·兰州中考）如图，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$与一次函数$y = mx + 1$的图像交于点$A(2,3)$，点$B$是反比例函数图像上一点，$BC \perp x$轴于点$C$，交一次函数的图像于点$D$，连接$AB$.
(1)求反比例函数$y = \frac{k}{x}$与一次函数$y = mx + 1$的表达式；
(2)当$OC = 4$时，求$\triangle ABD$的面积.
　　　　　　　　　　　　

(1)∵反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)与一次函数y = mx + 1的图像交于点A(2，3)，∴3 = $\frac{k}{2}$，3 = 2m + 1，∴k = 6，m = 1，∴反比例函数表达式为y = $\frac{6}{x}$，一次函数的表达式为y = x + 1.
(2)∵OC = 4，∴C(4，0). ∵BC⊥x轴于点C，交一次函数的图像于点D，∴点B的横坐标为4，点D的横坐标为4. ∴yB = $\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{2}$，yD = 4 + 1 = 5，∴B$(4，\frac{3}{2})$，D(4，5)，∴BD = 5 - $\frac{3}{2}$ = $\frac{7}{2}$. ∵点A的坐标为(2，3)，∴S△ABD = $\frac{1}{2}$BD·(xD - xA)= $\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×2 = $\frac{7}{2}$.

7.（2024·雅安中考节选）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像$l$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像交于$M(\frac{1}{2},4)$，$N(n,1)$两点.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若点$P$是$y$轴上一动点，连接$PM$，$PN$. 当$PM + PN$的值最小时，求点$P$的坐标.
　　　　　　　　　　　　

(1)∵M$(\frac{1}{2}，4)$在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图像上，∴k = $\frac{1}{2}$×4 = 2.
∴反比例函数表达式为y = $\frac{2}{x}$. 又∵N(n，1)在反比例函数y = $\frac{2}{x}$的图像上，∴n = 2，∴N(2，1). 设一次函数表达式为y = ax + b，∴$\begin{cases}\frac{1}{2}a + b = 4 \\2a + b = 1\end{cases}$，∴a = -2，b = 5，∴一次函数的表达式为y = -2x + 5.
(2)如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM + PN = PM' + PN的最小值等于M'N的长. ∵M$(\frac{1}{2}，4)$与M'关于y轴对称，∴M'的坐标为$(-\frac{1}{2}，4)$. 又N(2，1)，设M'N的函数表达式为y = cx + d，则$\begin{cases}-\frac{1}{2}c + d = 4 \\2c + d = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = -\frac{6}{5} \\d = \frac{17}{5}\end{cases}$，∴直线M'N的函数表达式为y = - $\frac{6}{5}$x + $\frac{17}{5}$. 令x = 0，则y = $\frac{17}{5}$，∴P$(0，\frac{17}{5})$.

8.（2024·宜宾中考）如图，一次函数$y = ax + b(a \neq 0)$的图像与反比例函数$y = (k \neq 0)$的图像交于点$A(1,4)$、$B(n,-1)$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图像，直接写出不等式$ax + b ＜ \frac{k}{x}$的解集；
(3)已知点$D$在$x$轴上，点$C$在反比例函数图像上. 若以$A、B、C、D$为顶点的四边形是平行四边形，求点$C$的坐标.
　　　　　　　　　　　　

(1)∵反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图像经过A(1，4)，∴4 = $\frac{k}{1}$，解得k = 4，∴y = $\frac{4}{x}$. 把B(n，-1)代入y = $\frac{4}{x}$，得-1 = $\frac{4}{n}$，解得n = -4，∴B(-4，-1). 把A(1，4)，B(-4，-1)代入y = ax + b(a≠0)，得$\begin{cases}a + b = 4 \\-4a + b = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\b = 3\end{cases}$，∴y = x + 3.
(2)观察图像得当x＜-4或0＜x＜1时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，∴不等式ax + b＜$\frac{k}{x}$的解集为x＜-4或0＜x＜1.
(3)设点C的坐标为$(c，\frac{4}{c})$，D(d，0)，①以AC、BD为对角线，则$\begin{cases}1 + c = -4 + d \\4 + \frac{4}{c} = -1 + 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = -\frac{4}{5} \\d = \frac{21}{5}\end{cases}$，∴$\frac{4}{c}$ = -5，∴C$(-\frac{4}{5}，-5)$；
②以BC、AD为对角线，则$\begin{cases}-4 + c = 1 + d \\-1 + \frac{4}{c} = 4 + 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = \frac{4}{5} \\d = -\frac{21}{5}\end{cases}$，∴$\frac{4}{c}$ = 5，∴C$(\frac{4}{5}，5)$；
③以AB、CD为对角线，则$\begin{cases}1 - 4 = c + d \\4 - 1 = \frac{4}{c} + 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = \frac{4}{3} \\d = -\frac{13}{3}\end{cases}$，∴$\frac{4}{c}$ = 3，∴C$(\frac{4}{3}，3)$.
综上，当点C的坐标为$(-\frac{4}{5}，-5)$或$(\frac{4}{5}，5)$或$(\frac{4}{3}，3)$时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.