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8 [2025邯郸峰峰中学期末]下面是投影屏幕上显示的一道解答题,符号表示的内容正确的是 (
解:因为$ ∠ D = ∠ CED $,
所以$ AD // $☆(内错角相等,两直线平行),
所以$ ∠ A + ∠ B = 180^{\circ} $(◆),
又因为$ ∠ A = ∠ C $,所以$ ∠ C + ∠ B = 180^{\circ} $(等量代换),所以$ AB // CF $(■),
所以$ ∠ A = ∠ DFC $(两直线平行,◎)。
A.☆表示$ DF $
B.◆表示两直线平行,同旁内角互补
C.■表示内错角相等,两直线平行
D.◎表示同旁内角相等
B
)解:因为$ ∠ D = ∠ CED $,
所以$ AD // $☆(内错角相等,两直线平行),
所以$ ∠ A + ∠ B = 180^{\circ} $(◆),
又因为$ ∠ A = ∠ C $,所以$ ∠ C + ∠ B = 180^{\circ} $(等量代换),所以$ AB // CF $(■),
所以$ ∠ A = ∠ DFC $(两直线平行,◎)。
A.☆表示$ DF $
B.◆表示两直线平行,同旁内角互补
C.■表示内错角相等,两直线平行
D.◎表示同旁内角相等
答案
8 B 因为∠D = ∠CED，所以AD // BC（内错角相等，两直线平行），（A项不符合题意）所以∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），（B项符合题意）又因为∠A = ∠C，所以∠C + ∠B = 180°（等量代换），所以AB // CF（同旁内角互补，两直线平行），（C项不符合题意）所以∠A = ∠DFC（两直线平行，同位角相等）。（D项不符合题意）
9 [2025常德期末]甲、乙、丙、丁四人一起研究一道数学题,如图,已知$ EF ⊥ AB $,$ CD ⊥ AB $。甲说:“如果还知道$ ∠ CDG = ∠ BFE $,则能得到$ ∠ AGD = ∠ ACB $。”乙说:“如果还知道$ ∠ AGD = ∠ ACB $,则能得到$ ∠ CDG = ∠ BFE $。”丙说:“$ ∠ AGD $一定大于$ ∠ BFE $。”丁说:“若连接$ GF $,则$ GF // AB $。”以上四种说法正确的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
9 C 因为CD ⊥ AB，EF ⊥ AB，所以CD // EF，所以∠BFE = ∠BCD，又因为∠CDG = ∠BFE，所以∠CDG = ∠BCD，所以DG // BC，所以∠AGD = ∠ACB，所以甲的说法正确；因为CD ⊥ AB，EF ⊥ AB，所以CD // EF，所以∠BFE = ∠BCD，因为∠AGD = ∠ACB，所以DG // BC，所以∠CDG = ∠BCD，所以∠CDG = ∠BFE，所以乙的说法正确；易知丙、丁的说法错误。
10 [2025大庆期末]如图,已知$ ∠ BAD + ∠ ADC = 180^{\circ} $,$ AE $平分$ ∠ BAD $,$ CD $与$ AE $相交于点$ F $,$ DG $交$ BC $的延长线于点$ G $,$ ∠ CFE = ∠ AEB $。
(1)若$ ∠ B = 87^{\circ} $,求$ ∠ DCG $的度数。
(2)$ AD $与$ BC $是什么位置关系? 请说明理由。
(3)若$ ∠ BAD = α $,$ ∠ G = β $,直接写出$ α $,$ β $满足什么数量关系时,$ AE // DG $。
(1)若$ ∠ B = 87^{\circ} $,求$ ∠ DCG $的度数。
(2)$ AD $与$ BC $是什么位置关系? 请说明理由。
(3)若$ ∠ BAD = α $,$ ∠ G = β $,直接写出$ α $,$ β $满足什么数量关系时,$ AE // DG $。
答案
10 解：（1）因为∠BAD + ∠ADC = 180°，所以AB // CD，所以∠DCG = ∠B = 87°。
（2）AD // BC。理由如下：由（1）知AB // CD，所以∠BAF = ∠CFE。因为AE平分∠BAD，所以∠BAF = ∠DAF，所以∠DAF = ∠CFE，又因为∠CFE = ∠AEB，所以∠DAF = ∠AEB，所以AD // BC。
（3）当α = 2β时，AE // DG。若AE // DG，则∠G = ∠AEB = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，所以当∠BAD = 2∠G，即α = 2β时，AE // DG。
（2）AD // BC。理由如下：由（1）知AB // CD，所以∠BAF = ∠CFE。因为AE平分∠BAD，所以∠BAF = ∠DAF，所以∠DAF = ∠CFE，又因为∠CFE = ∠AEB，所以∠DAF = ∠AEB，所以AD // BC。
（3）当α = 2β时，AE // DG。若AE // DG，则∠G = ∠AEB = ∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，所以当∠BAD = 2∠G，即α = 2β时，AE // DG。
11 推理能力[2024安康期末]【问题情境】
(1)如图1,$ MN // PQ $,$ A $是$ MN $上一点,$ B $是$ PQ $上一点,点$ C $在直线$ MN $,$ PQ $之间。
①若$ ∠ MAC = 155^{\circ} $,$ ∠ PBC = 130^{\circ} $,则$ ∠ ACB $的度数为
【问题探究】
②试探究$ ∠ MAC $,$ ∠ ACB $,$ ∠ PBC $之间的数量关系,并说明理由。
【问题应用】
(2)如图2,$ OM $,$ ON $,$ NP $是三面镜子,将一束光线沿$ AB $方向射入镜子$ OM $,通过镜子的反射,最后从镜子$ NP $上的点$ C $处射出,此时入射光线$ AB $与反射光线$ CD $平行。若$ ∠ ABM = α $,$ ∠ DCP = β $,试用含$ α $,$ β $的式子表示出$ ∠ BON + ∠ ONC $的度数。
(1)如图1,$ MN // PQ $,$ A $是$ MN $上一点,$ B $是$ PQ $上一点,点$ C $在直线$ MN $,$ PQ $之间。
①若$ ∠ MAC = 155^{\circ} $,$ ∠ PBC = 130^{\circ} $,则$ ∠ ACB $的度数为
75°
。【问题探究】
②试探究$ ∠ MAC $,$ ∠ ACB $,$ ∠ PBC $之间的数量关系,并说明理由。
【问题应用】
(2)如图2,$ OM $,$ ON $,$ NP $是三面镜子,将一束光线沿$ AB $方向射入镜子$ OM $,通过镜子的反射,最后从镜子$ NP $上的点$ C $处射出,此时入射光线$ AB $与反射光线$ CD $平行。若$ ∠ ABM = α $,$ ∠ DCP = β $,试用含$ α $,$ β $的式子表示出$ ∠ BON + ∠ ONC $的度数。
答案
11 解：（1）①75°
②∠MAC + ∠ACB + ∠PBC = 360°。理由如下：如图1，过点C作CD // MN。因为MN // PQ，所以MN // PQ // CD，所以∠ACD + ∠MAC = 180°，∠BCD + ∠PBC = 180°，所以∠MAC + ∠ACB + ∠PBC = ∠MAC + ∠ACD + ∠BCD + ∠PBC = 360°。
（2）如图2，过点O作OE // AB，过点N作NF // AB。因为入射光线AB与反射光线CD平行，所以AB // OE // NF // CD，所以∠MOE = ∠ABM = α，∠FNP = ∠DCP = β，∠EON + ∠ONF = 180°，所以∠BON + ∠ONC = ∠MOE + ∠EON + ∠ONF + ∠FNP = α + β + 180°。
