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20. (9分)如图,数轴上与$\sqrt{3},\sqrt{5}$对应的点分别是A、B.点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,求:
(1)x的值;
(2)$(17 + 4\sqrt{15})x^{2}-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2$的值.
(1)x的值;
(2)$(17 + 4\sqrt{15})x^{2}-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2$的值.
答案
20. (1) $\because$ 数轴上与 $\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$ 对应的点分别是 $A$、$B$，$\therefore AB=\sqrt{5}-\sqrt{3}$。又 $AC = AB$，$\therefore\sqrt{3}-x=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，$\therefore x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$。
(2) $\because x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$，$\therefore x^2=(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=17 - 4\sqrt{15}$，$\therefore(17 + 4\sqrt{15})x^2-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2=(17 + 4\sqrt{15})(17 - 4\sqrt{15})-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})-2=289 - 240 - 12 + 5 - 2 = 40$。
(2) $\because x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$，$\therefore x^2=(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=17 - 4\sqrt{15}$，$\therefore(17 + 4\sqrt{15})x^2-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2=(17 + 4\sqrt{15})(17 - 4\sqrt{15})-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})-2=289 - 240 - 12 + 5 - 2 = 40$。
21. (10分)(2024·南昌期末)阅读材料:
已知a、b为非负实数,$\because a + b - 2\sqrt{ab}=(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}-2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geqslant0$,
$\therefore a + b\geqslant2\sqrt{ab}$,当且仅当“$a = b$”时,等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例:已知$x＞0$,求代数式$x+\frac{4}{x}$的最小值.
解:令$a = x,b=\frac{4}{x}$,则由$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$,得$x+\frac{4}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4$.
当且仅当$x=\frac{4}{x}$,即$x = 2$时,代数式取到最小值,最小值为4.
根据以上材料解答下列问题:
(1)已知$x＞0$,则当$x =$________时,代数式$x+\frac{3}{x}$取到最小值,最小值为________.
(2)用篱笆围一个面积为$100\text{ m}^{2}$的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短? 最短的篱笆的长度是多少米?
(3)已知$x＞0$,则自变量x取何值时,函数$y=\frac{x}{x^{2}-2x + 9}$取到最大值? 最大值为多少?
(4)若x为任意实数,代数式$\frac{x}{x^{2}+4x + 5}$的值为m,则m的取值范围为________.
已知a、b为非负实数,$\because a + b - 2\sqrt{ab}=(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}-2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geqslant0$,
$\therefore a + b\geqslant2\sqrt{ab}$,当且仅当“$a = b$”时,等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例:已知$x＞0$,求代数式$x+\frac{4}{x}$的最小值.
解:令$a = x,b=\frac{4}{x}$,则由$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$,得$x+\frac{4}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=4$.
当且仅当$x=\frac{4}{x}$,即$x = 2$时,代数式取到最小值,最小值为4.
根据以上材料解答下列问题:
(1)已知$x＞0$,则当$x =$________时,代数式$x+\frac{3}{x}$取到最小值,最小值为________.
(2)用篱笆围一个面积为$100\text{ m}^{2}$的矩形花园,则当这个矩形花园的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短? 最短的篱笆的长度是多少米?
(3)已知$x＞0$,则自变量x取何值时,函数$y=\frac{x}{x^{2}-2x + 9}$取到最大值? 最大值为多少?
(4)若x为任意实数,代数式$\frac{x}{x^{2}+4x + 5}$的值为m,则m的取值范围为________.
答案
21. (1) $\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$
(2) 设这个矩形的长为 $x\ m$，篱笆周长为 $y\ m$，根据题意，用篱笆围一个面积为 $100\ m^2$ 的矩形花园，则矩形的宽为 $\frac{100}{x}\ m$，$\therefore y = 2\left(x+\frac{100}{x}\right)\geqslant4\sqrt{x\cdot\frac{100}{x}} = 40$，当且仅当 $x=\frac{100}{x}$ 时，取等号，即当 $x = 10$ 时，$y$ 有最小值，最小值为 $40$，$\therefore$ 这个矩形花园的长、宽均为 $10\ m$ 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是 $40\ m$。
(3) $\because x ＞ 0$，$\therefore y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}=\frac{1}{x - 2+\frac{9}{x}}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$。又 $\because x+\frac{9}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}} = 6$，当且仅当 $x=\frac{9}{x}$，即当 $x = 3$ 时，$\left(x+\frac{9}{x}\right)$ 取最小值，最小值为 $6$，$\therefore$ 此时 $y$ 有最大值，最大值为 $y=\frac{1}{6 - 2}=\frac{1}{4}$，$\therefore$ 自变量 $x = 3$ 时，$y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}$ 取到最大值，最大值为 $\frac{1}{4}$。
(4) $-\frac{\sqrt{5}}{2}-1\leqslant m\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}-1$ 解析：① 当 $x ＞ 0$ 时，$m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$，又 $\because x+\frac{5}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{5}{x}} = 2\sqrt{5}$，当且仅当 $x=\frac{5}{x}$，即 $x=\sqrt{5}$ 时，$x+\frac{5}{x}$ 取最小值，最小值为 $2\sqrt{5}$，$\therefore$ 此时 $m$ 有最大值，最大值为 $m=\frac{1}{2\sqrt{5}+4}=\frac{1}{2(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{2(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。又 $\because x ＞ 0$，$\therefore m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$ 为正数，$\therefore m ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ m\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。
② 当 $x = 0$ 时，$m = 0$。
③ 当 $x ＜ 0$ 时，$m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$，又 $\because x+\frac{5}{x}=-\left(-x-\frac{5}{x}\right)\leqslant-2\sqrt{-x\cdot\frac{5}{-x}}=-2\sqrt{5}$，当且仅当 $-x=-\frac{5}{x}$，即 $x = -\sqrt{5}$ 时，$x+\frac{5}{x}$ 取最大值，最大值为 $-2\sqrt{5}$，$\therefore$ 此时 $m$ 有最小值，最小值为 $m=\frac{1}{-2\sqrt{5}+4}=\frac{1}{-2(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{-2(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{-2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。又 $\because x ＜ 0$，$\therefore m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$ 为负数，$\therefore m ＜ 0$，$\therefore-\frac{\sqrt{5}}{2}-1\leqslant m ＜ 0$。综合 ①②③ 得 $m$ 的取值范围为 $-\frac{\sqrt{5}}{2}-1\leqslant m\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。
(2) 设这个矩形的长为 $x\ m$，篱笆周长为 $y\ m$，根据题意，用篱笆围一个面积为 $100\ m^2$ 的矩形花园，则矩形的宽为 $\frac{100}{x}\ m$，$\therefore y = 2\left(x+\frac{100}{x}\right)\geqslant4\sqrt{x\cdot\frac{100}{x}} = 40$，当且仅当 $x=\frac{100}{x}$ 时，取等号，即当 $x = 10$ 时，$y$ 有最小值，最小值为 $40$，$\therefore$ 这个矩形花园的长、宽均为 $10\ m$ 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是 $40\ m$。
(3) $\because x ＞ 0$，$\therefore y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}=\frac{1}{x - 2+\frac{9}{x}}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$。又 $\because x+\frac{9}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}} = 6$，当且仅当 $x=\frac{9}{x}$，即当 $x = 3$ 时，$\left(x+\frac{9}{x}\right)$ 取最小值，最小值为 $6$，$\therefore$ 此时 $y$ 有最大值，最大值为 $y=\frac{1}{6 - 2}=\frac{1}{4}$，$\therefore$ 自变量 $x = 3$ 时，$y=\frac{x}{x^2 - 2x + 9}$ 取到最大值，最大值为 $\frac{1}{4}$。
(4) $-\frac{\sqrt{5}}{2}-1\leqslant m\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}-1$ 解析：① 当 $x ＞ 0$ 时，$m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$，又 $\because x+\frac{5}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{5}{x}} = 2\sqrt{5}$，当且仅当 $x=\frac{5}{x}$，即 $x=\sqrt{5}$ 时，$x+\frac{5}{x}$ 取最小值，最小值为 $2\sqrt{5}$，$\therefore$ 此时 $m$ 有最大值，最大值为 $m=\frac{1}{2\sqrt{5}+4}=\frac{1}{2(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{2(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。又 $\because x ＞ 0$，$\therefore m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$ 为正数，$\therefore m ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ m\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。
② 当 $x = 0$ 时，$m = 0$。
③ 当 $x ＜ 0$ 时，$m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$，又 $\because x+\frac{5}{x}=-\left(-x-\frac{5}{x}\right)\leqslant-2\sqrt{-x\cdot\frac{5}{-x}}=-2\sqrt{5}$，当且仅当 $-x=-\frac{5}{x}$，即 $x = -\sqrt{5}$ 时，$x+\frac{5}{x}$ 取最大值，最大值为 $-2\sqrt{5}$，$\therefore$ 此时 $m$ 有最小值，最小值为 $m=\frac{1}{-2\sqrt{5}+4}=\frac{1}{-2(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{-2(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{-2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。又 $\because x ＜ 0$，$\therefore m=\frac{x}{x^2 + 4x + 5}=\frac{1}{x + 4+\frac{5}{x}}=\frac{1}{x+\frac{5}{x}+4}$ 为负数，$\therefore m ＜ 0$，$\therefore-\frac{\sqrt{5}}{2}-1\leqslant m ＜ 0$。综合 ①②③ 得 $m$ 的取值范围为 $-\frac{\sqrt{5}}{2}-1\leqslant m\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}-1$。
