登录
(4)把一个长、宽、高分别为 5 cm、4 cm、3 cm 的长方体等分成 2 个相同的长方体,增加的表面积最大是()。
A.24$cm^{2}$
B.30$cm^{2}$
C.40$cm^{2}$
D.60$cm^{2}$
A.24$cm^{2}$
B.30$cm^{2}$
C.40$cm^{2}$
D.60$cm^{2}$
答案
C
解析
把长方体等分成2个相同的长方体，会增加2个相同的面。先计算原长方体三个不同面的面积：5×4=20（cm²），5×3=15（cm²），4×3=12（cm²）。其中最大的面面积为20cm²，因此增加的最大表面积为20×2=40（cm²）。
3 计算下列图形的表面积和体积。(单位: cm)
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
（1）
表面积：$(10×3 + 10×4 + 3×4)×2$
$=(30+40+12)×2$
$=82×2$
$=164$（$\mathrm{cm}^2$）
体积：$10×3×4=120$（$\mathrm{cm}^3$）
（2）
表面积：$5×5×6=150$（$\mathrm{cm}^2$）
体积：$5×5×5=125$（$\mathrm{cm}^3$）
答：（1）长方体的表面积是164平方厘米，体积是120立方厘米；（2）正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。
表面积：$(10×3 + 10×4 + 3×4)×2$
$=(30+40+12)×2$
$=82×2$
$=164$（$\mathrm{cm}^2$）
体积：$10×3×4=120$（$\mathrm{cm}^3$）
（2）
表面积：$5×5×6=150$（$\mathrm{cm}^2$）
体积：$5×5×5=125$（$\mathrm{cm}^3$）
答：（1）长方体的表面积是164平方厘米，体积是120立方厘米；（2）正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。
解析
【分析】
首先观察两个图形，（1）是长方体，（2）是正方体。对于长方体，需运用表面积公式（长×宽+长×高+宽×高）×2和体积公式长×宽×高计算；对于正方体，需运用表面积公式棱长×棱长×6和体积公式棱长×棱长×棱长计算。接下来分别代入题目给出的数值，按运算顺序逐步计算即可。
【解析】
（1）已知长方体长10cm，宽3cm，高4cm
表面积：
$\begin{aligned}&(10×3 + 10×4 + 3×4)×2\\=&(30+40+12)×2\\=&82×2\\=&164（\mathrm{cm}^2）\end{aligned}$
体积：
$10×3×4=120$（$\mathrm{cm}^3$）
（2）已知正方体棱长为5cm
表面积：
$5×5×6=150$（$\mathrm{cm}^2$）
体积：
$5×5×5=125$（$\mathrm{cm}^3$）
答：（1）长方体的表面积是164平方厘米，体积是120立方厘米；（2）正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。
【答案】
（1）表面积164$\mathrm{cm}^2$，体积120$\mathrm{cm}^3$；（2）表面积150$\mathrm{cm}^2$，体积125$\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体与正方体表面积、长方体与正方体体积
【点评】
本题考查长方体和正方体的表面积与体积的基础计算，核心是牢记对应计算公式，计算时注意运算顺序和单位规范，属于基础巩固题型，能帮助学生强化立体图形的计算能力。
【难度系数】
0.9
首先观察两个图形，（1）是长方体，（2）是正方体。对于长方体，需运用表面积公式（长×宽+长×高+宽×高）×2和体积公式长×宽×高计算；对于正方体，需运用表面积公式棱长×棱长×6和体积公式棱长×棱长×棱长计算。接下来分别代入题目给出的数值，按运算顺序逐步计算即可。
【解析】
（1）已知长方体长10cm，宽3cm，高4cm
表面积：
$\begin{aligned}&(10×3 + 10×4 + 3×4)×2\\=&(30+40+12)×2\\=&82×2\\=&164（\mathrm{cm}^2）\end{aligned}$
体积：
$10×3×4=120$（$\mathrm{cm}^3$）
（2）已知正方体棱长为5cm
表面积：
$5×5×6=150$（$\mathrm{cm}^2$）
体积：
$5×5×5=125$（$\mathrm{cm}^3$）
答：（1）长方体的表面积是164平方厘米，体积是120立方厘米；（2）正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。
【答案】
（1）表面积164$\mathrm{cm}^2$，体积120$\mathrm{cm}^3$；（2）表面积150$\mathrm{cm}^2$，体积125$\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体与正方体表面积、长方体与正方体体积
【点评】
本题考查长方体和正方体的表面积与体积的基础计算，核心是牢记对应计算公式，计算时注意运算顺序和单位规范，属于基础巩固题型，能帮助学生强化立体图形的计算能力。
【难度系数】
0.9
4 有一根长为 150 cm 的铁丝,将这根铁丝焊接成一个正方体框架,还剩 6 cm,这个正方体框架的棱长是多少厘米?(接头处忽略不计)
答案
150 - 6 = 144（cm）
144 ÷ 12 = 12（cm）
答：这个正方体框架的棱长是12厘米。
144 ÷ 12 = 12（cm）
答：这个正方体框架的棱长是12厘米。
解析
【分析】
首先要明确解题核心：正方体有12条长度相等的棱，焊接框架的铁丝长度就是正方体的棱长总和。题目给出铁丝总长150cm，剩余6cm，所以第一步需先算出焊接正方体框架实际使用的铁丝长度，即总长度减去剩余长度；第二步，用框架的总长度除以正方体棱的数量12，即可得到每条棱的长度。
【解析】
1. 计算焊接正方体框架所用铁丝长度：
$150 - 6 = 144$（cm）
2. 计算正方体框架的棱长：
由于正方体有12条长度相等的棱，因此棱长 = 棱长总和÷12，即
$144 ÷ 12 = 12$（cm）
答：这个正方体框架的棱长是12厘米。
【答案】
12厘米
【知识点】
正方体棱长特征、棱长总和计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及棱长总和的实际应用，解题关键是先求出正方体框架的棱长总和，再利用正方体12条棱长度相等的特点计算棱长，属于基础题型，掌握正方体棱的相关知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先要明确解题核心：正方体有12条长度相等的棱，焊接框架的铁丝长度就是正方体的棱长总和。题目给出铁丝总长150cm，剩余6cm，所以第一步需先算出焊接正方体框架实际使用的铁丝长度，即总长度减去剩余长度；第二步，用框架的总长度除以正方体棱的数量12，即可得到每条棱的长度。
【解析】
1. 计算焊接正方体框架所用铁丝长度：
$150 - 6 = 144$（cm）
2. 计算正方体框架的棱长：
由于正方体有12条长度相等的棱，因此棱长 = 棱长总和÷12，即
$144 ÷ 12 = 12$（cm）
答：这个正方体框架的棱长是12厘米。
【答案】
12厘米
【知识点】
正方体棱长特征、棱长总和计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及棱长总和的实际应用，解题关键是先求出正方体框架的棱长总和，再利用正方体12条棱长度相等的特点计算棱长，属于基础题型，掌握正方体棱的相关知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5 施工队要把 8$m^{3}$的黄沙填入长方体形状的沙坑,已知沙坑长为 5 m,宽为 36 dm,如果沙坑中至少需要填入 4 dm 深的黄沙,那么这些黄沙够用吗?
答案
36dm = 3.6m
4dm = 0.4m
5×3.6×0.4 = 7.2(m³)
8 ＞ 7.2
答：这些黄沙够用。
4dm = 0.4m
5×3.6×0.4 = 7.2(m³)
8 ＞ 7.2
答：这些黄沙够用。
解析
【分析】
要判断8$m^{3}$的黄沙是否够用，需先计算出沙坑至少需要填入的黄沙体积（即长5m、宽36dm、深4dm的长方体体积），再与现有黄沙体积比较。首先要统一单位，将分米转换为米，再利用长方体体积公式“体积=长×宽×高”计算所需黄沙体积，最后比较两者大小，若现有黄沙体积大于所需体积，则够用。
【解析】
1. 单位换算：
36dm = 3.6m
4dm = 0.4m
2. 计算沙坑至少需要的黄沙体积：
$5×3.6×0.4 = 7.2(m³)$
3. 比较体积大小：
因为 $8 ＞ 7.2$，所以这些黄沙够用。
答：这些黄沙够用。
【答案】
这些黄沙够用
【知识点】
长方体体积计算、长度单位换算、数的大小比较
【点评】
本题考查长方体体积公式在实际问题中的应用，关键是先统一单位，再准确计算所需黄沙体积，通过大小比较得出结论，解题时需注意单位换算的准确性，避免因单位不统一导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断8$m^{3}$的黄沙是否够用，需先计算出沙坑至少需要填入的黄沙体积（即长5m、宽36dm、深4dm的长方体体积），再与现有黄沙体积比较。首先要统一单位，将分米转换为米，再利用长方体体积公式“体积=长×宽×高”计算所需黄沙体积，最后比较两者大小，若现有黄沙体积大于所需体积，则够用。
【解析】
1. 单位换算：
36dm = 3.6m
4dm = 0.4m
2. 计算沙坑至少需要的黄沙体积：
$5×3.6×0.4 = 7.2(m³)$
3. 比较体积大小：
因为 $8 ＞ 7.2$，所以这些黄沙够用。
答：这些黄沙够用。
【答案】
这些黄沙够用
【知识点】
长方体体积计算、长度单位换算、数的大小比较
【点评】
本题考查长方体体积公式在实际问题中的应用，关键是先统一单位，再准确计算所需黄沙体积，通过大小比较得出结论，解题时需注意单位换算的准确性，避免因单位不统一导致计算错误。
【难度系数】
0.8
6 下图所示为一个用混凝土浇筑而成的无盖长方体水槽,从外面量长 12 dm,宽 10 dm,高 5 dm,混凝土厚 1 dm,这个水槽的容积是多少升?
答案
$12 - 1×2 = 10$（dm）
$10 - 1×2 = 8$（dm）
$5 - 1 = 4$（dm）
$10×8×4 = 320$（$\mathrm{dm}^3$）
$320\ \mathrm{dm}^3 = 320\ \mathrm{L}$
答：这个水槽的容积是320升。
$10 - 1×2 = 8$（dm）
$5 - 1 = 4$（dm）
$10×8×4 = 320$（$\mathrm{dm}^3$）
$320\ \mathrm{dm}^3 = 320\ \mathrm{L}$
答：这个水槽的容积是320升。
解析
【分析】
要计算水槽的容积，需先求出水槽内部的长、宽、高。因为混凝土厚度为1dm，且水槽是无盖的长方体，所以：
1. 内部的长：外部长要减去左右两侧的混凝土厚度，也就是2个1dm；
2. 内部的宽：外部宽要减去前后两侧的混凝土厚度，也就是2个1dm；
3. 内部的高：由于水槽无盖，只有底部有混凝土，所以外部高只需减去底部的1dm厚度。
得到内部长宽高后，根据长方体容积公式（容积=长×宽×高）计算容积，最后完成体积单位到容积单位的换算。
【解析】
1. 计算水槽内部的长：
$12 - 1×2 = 10$（dm）
2. 计算水槽内部的宽：
$10 - 1×2 = 8$（dm）
3. 计算水槽内部的高：
$5 - 1 = 4$（dm）
4. 计算水槽的容积：
$10×8×4 = 320$（$\mathrm{dm}^3$）
5. 单位换算：
因为$1\ \mathrm{dm}^3 = 1\ \mathrm{L}$，所以$320\ \mathrm{dm}^3 = 320\ \mathrm{L}$
答：这个水槽的容积是320升。
【答案】
320升
【知识点】
长方体体积计算、容积单位换算
【点评】
本题的核心是准确区分无盖长方体的外部尺寸与内部尺寸，尤其要注意高度的计算逻辑（无盖时仅底部有混凝土厚度，高度只需减去1个厚度），同时要熟练掌握体积单位和容积单位的换算关系。
【难度系数】
0.6
要计算水槽的容积，需先求出水槽内部的长、宽、高。因为混凝土厚度为1dm，且水槽是无盖的长方体，所以：
1. 内部的长：外部长要减去左右两侧的混凝土厚度，也就是2个1dm；
2. 内部的宽：外部宽要减去前后两侧的混凝土厚度，也就是2个1dm；
3. 内部的高：由于水槽无盖，只有底部有混凝土，所以外部高只需减去底部的1dm厚度。
得到内部长宽高后，根据长方体容积公式（容积=长×宽×高）计算容积，最后完成体积单位到容积单位的换算。
【解析】
1. 计算水槽内部的长：
$12 - 1×2 = 10$（dm）
2. 计算水槽内部的宽：
$10 - 1×2 = 8$（dm）
3. 计算水槽内部的高：
$5 - 1 = 4$（dm）
4. 计算水槽的容积：
$10×8×4 = 320$（$\mathrm{dm}^3$）
5. 单位换算：
因为$1\ \mathrm{dm}^3 = 1\ \mathrm{L}$，所以$320\ \mathrm{dm}^3 = 320\ \mathrm{L}$
答：这个水槽的容积是320升。
【答案】
320升
【知识点】
长方体体积计算、容积单位换算
【点评】
本题的核心是准确区分无盖长方体的外部尺寸与内部尺寸，尤其要注意高度的计算逻辑（无盖时仅底部有混凝土厚度，高度只需减去1个厚度），同时要熟练掌握体积单位和容积单位的换算关系。
【难度系数】
0.6
7 一个长方体包装盒,从里面量长 20 cm,宽 15 cm,容积为 4800$cm^{3}$,爸爸想用它包装一件长 18 cm、宽 15 cm、高 17 cm 的长方体玻璃器皿,是否装得下?
答案
4800÷20÷15=16（cm）
20cm＞18cm，15cm=15cm，16cm＜17cm
答：装不下。
20cm＞18cm，15cm=15cm，16cm＜17cm
答：装不下。
解析
【分析】
要判断能否装下玻璃器皿，首先需要求出长方体包装盒的内部高度。已知包装盒的容积、长和宽，根据长方体容积公式（容积=长×宽×高），可推导出高=容积÷长÷宽，算出包装盒的高后，再将包装盒的长、宽、高分别与玻璃器皿的长、宽、高进行对比，只有当包装盒的每个维度都大于或等于玻璃器皿的对应维度时才能装下，若有一个维度小于玻璃器皿的对应维度，则装不下。
【解析】
1. 计算长方体包装盒的内部高度：
根据长方体容积公式 $ V = a×b×h $（其中 $ V $ 为容积，$ a $ 为长，$ b $ 为宽，$ h $ 为高），可得高 $ h = V÷a÷b $。
代入数据：$ 4800÷20÷15 = 16 \, \mathrm{cm} $。
2. 对比包装盒与玻璃器皿的各维度：
包装盒长20cm＞玻璃器皿长18cm，
包装盒宽15cm=玻璃器皿宽15cm，
包装盒高16cm＜玻璃器皿高17cm。
由于包装盒的高度小于玻璃器皿的高度，因此无法装下。
【答案】
装不下
【知识点】
长方体容积计算，长方体维度比较
【点评】
本题易出错点是直接对比两者体积，忽略实际容纳需各维度均满足条件。解题关键是先求出包装盒内部高度，再逐一对比对应维度，判断容纳可能性。
【难度系数】
0.6
要判断能否装下玻璃器皿，首先需要求出长方体包装盒的内部高度。已知包装盒的容积、长和宽，根据长方体容积公式（容积=长×宽×高），可推导出高=容积÷长÷宽，算出包装盒的高后，再将包装盒的长、宽、高分别与玻璃器皿的长、宽、高进行对比，只有当包装盒的每个维度都大于或等于玻璃器皿的对应维度时才能装下，若有一个维度小于玻璃器皿的对应维度，则装不下。
【解析】
1. 计算长方体包装盒的内部高度：
根据长方体容积公式 $ V = a×b×h $（其中 $ V $ 为容积，$ a $ 为长，$ b $ 为宽，$ h $ 为高），可得高 $ h = V÷a÷b $。
代入数据：$ 4800÷20÷15 = 16 \, \mathrm{cm} $。
2. 对比包装盒与玻璃器皿的各维度：
包装盒长20cm＞玻璃器皿长18cm，
包装盒宽15cm=玻璃器皿宽15cm，
包装盒高16cm＜玻璃器皿高17cm。
由于包装盒的高度小于玻璃器皿的高度，因此无法装下。
【答案】
装不下
【知识点】
长方体容积计算，长方体维度比较
【点评】
本题易出错点是直接对比两者体积，忽略实际容纳需各维度均满足条件。解题关键是先求出包装盒内部高度，再逐一对比对应维度，判断容纳可能性。
【难度系数】
0.6
8 下图所示为一个长方体无盖容器,里面水深 5.6 dm。把一个零件放入后(零件完全浸入水中),从容器中溢出 4 L 水。这个零件的体积是多少立方分米?
答案
4L = 4 dm³
5×5×(6 - 5.6) + 4
= 25×0.4 + 4
= 10 + 4
= 14(dm³)
答：这个零件的体积是14立方分米。
5×5×(6 - 5.6) + 4
= 25×0.4 + 4
= 10 + 4
= 14(dm³)
答：这个零件的体积是14立方分米。
解析
【分析】
要计算零件的体积，根据排水法原理，零件完全浸入水中后，它的体积等于容器内空余部分的体积加上溢出的水的体积。首先容器是无盖长方体，原本水深5.6dm，容器高6dm，先算出容器中还能容纳的水的体积（即空余部分体积），再加上溢出的水的体积，即可得到零件体积，注意先统一容积与体积单位。
【解析】
先进行单位换算：
$4\ \mathrm{L} = 4\ \mathrm{dm}^3$
零件的体积 = 容器空余部分体积 + 溢出的水的体积，列式计算：
$\begin{split}&5×5×(6 - 5.6) + 4\\=&25×0.4 + 4\\=&10 + 4\\=&14(\mathrm{dm}^3)\end{split}$
答：这个零件的体积是14立方分米。
【答案】
14立方分米
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 排水法求体积
3. 容积体积单位换算
【点评】
本题考查排水法在不规则物体体积计算中的应用，核心是明确零件体积的组成，计算时需注意单位统一，理清容器空余部分的高度是解题关键。
【难度系数】
0.6
要计算零件的体积，根据排水法原理，零件完全浸入水中后，它的体积等于容器内空余部分的体积加上溢出的水的体积。首先容器是无盖长方体，原本水深5.6dm，容器高6dm，先算出容器中还能容纳的水的体积（即空余部分体积），再加上溢出的水的体积，即可得到零件体积，注意先统一容积与体积单位。
【解析】
先进行单位换算：
$4\ \mathrm{L} = 4\ \mathrm{dm}^3$
零件的体积 = 容器空余部分体积 + 溢出的水的体积，列式计算：
$\begin{split}&5×5×(6 - 5.6) + 4\\=&25×0.4 + 4\\=&10 + 4\\=&14(\mathrm{dm}^3)\end{split}$
答：这个零件的体积是14立方分米。
【答案】
14立方分米
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 排水法求体积
3. 容积体积单位换算
【点评】
本题考查排水法在不规则物体体积计算中的应用，核心是明确零件体积的组成，计算时需注意单位统一，理清容器空余部分的高度是解题关键。
【难度系数】
0.6
