5. 新题型 新定义 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积, 我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1) 已知 $ \triangle ABC $ 是比例三角形, $ AB = 2 $, $ BC = 3 $, 请直接写出所有满足条件的 $ AC $ 的长.
(2) 如图①, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AD // BC $, 对角线 $ BD $ 平分 $ \angle ABC $, $ \angle BAC = \angle ADC $.
① 求证: $ \triangle ABC \backsim \triangle DCA $;
② 求证: $ \triangle ABC $ 是比例三角形.
(3) 如图②, 在 (2) 的条件下, 当 $ \angle ADC = 90^{\circ} $ 时, 求出 $ \frac{BD}{AC} $ 的值.
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(1) 已知 $ \triangle ABC $ 是比例三角形, $ AB = 2 $, $ BC = 3 $, 请直接写出所有满足条件的 $ AC $ 的长.
(2) 如图①, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AD // BC $, 对角线 $ BD $ 平分 $ \angle ABC $, $ \angle BAC = \angle ADC $.
① 求证: $ \triangle ABC \backsim \triangle DCA $;
② 求证: $ \triangle ABC $ 是比例三角形.
(3) 如图②, 在 (2) 的条件下, 当 $ \angle ADC = 90^{\circ} $ 时, 求出 $ \frac{BD}{AC} $ 的值.
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答案
6. 新题型 新定义 如图①, 在四边形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 上任取一点 $ P $(点 $ P $ 不与 $ A $、$ B $ 重合), 分别连接 $ PD $、$ PC $, 可以把四边形 $ ABCD $ 分成三个三角形, 如果其中有两个三角形相似, 我们就把 $ P $ 叫做四边形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 上的“相似点”; 如果这三个三角形都相似, 我们就把 $ P $ 叫做四边形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 上的“强相似点”.
解决问题:
(1) 如图①, $ \angle A = \angle B = \angle DPC = 50^{\circ} $, 试判断点 $ P $ 是否是四边形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 上的相似点, 并说明理由.
(2) 如图②, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1) 的格点(即每个小正方形的顶点) 上, 试在图②中画出四边形 $ ABCD $ 的边 $ BC $ 上的相似点, 并写出对应的相似三角形.
(3) 如图③, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle B = \angle C = 90^{\circ} $, $ AB = 3 $, $ CD = 5 $, $ AD = 8 $. 点 $ P $ 在边 $ BC $ 上, 若点 $ P $ 是四边形 $ ABCD $ 的边 $ BC $ 上的一个强相似点, 求 $ BP $ 的长.
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解决问题:
(1) 如图①, $ \angle A = \angle B = \angle DPC = 50^{\circ} $, 试判断点 $ P $ 是否是四边形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 上的相似点, 并说明理由.
(2) 如图②, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1) 的格点(即每个小正方形的顶点) 上, 试在图②中画出四边形 $ ABCD $ 的边 $ BC $ 上的相似点, 并写出对应的相似三角形.
(3) 如图③, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle B = \angle C = 90^{\circ} $, $ AB = 3 $, $ CD = 5 $, $ AD = 8 $. 点 $ P $ 在边 $ BC $ 上, 若点 $ P $ 是四边形 $ ABCD $ 的边 $ BC $ 上的一个强相似点, 求 $ BP $ 的长.
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答案
