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(1)一个正方体的棱长总和是 36 cm,它的体积是()cm³。
答案
36÷12=3(cm)
3×3×3=27(cm³)
答：它的体积是27cm³。
3×3×3=27(cm³)
答：它的体积是27cm³。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先回忆正方体的特征，正方体有12条长度完全相等的棱，已知棱长总和是36cm，用棱长总和除以12就能求出一条棱的长度；然后根据正方体的体积公式“体积=棱长×棱长×棱长”，代入算出的棱长数值，即可求出正方体的体积。
【解析】
1. 计算正方体的棱长：
因为正方体有12条长度相等的棱，所以一条棱的长度为：
$36÷12=3(cm)$
2. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a×a×a$（$a$为正方体棱长），代入数据得：
$3×3×3=27(cm³)$
答：它的体积是27$cm³$。
【答案】
27
【知识点】
1. 正方体棱的特征
2. 正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及体积公式的应用，属于基础题型，只要熟练掌握正方体棱的数量关系和体积计算公式，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先回忆正方体的特征，正方体有12条长度完全相等的棱，已知棱长总和是36cm，用棱长总和除以12就能求出一条棱的长度；然后根据正方体的体积公式“体积=棱长×棱长×棱长”，代入算出的棱长数值，即可求出正方体的体积。
【解析】
1. 计算正方体的棱长：
因为正方体有12条长度相等的棱，所以一条棱的长度为：
$36÷12=3(cm)$
2. 计算正方体的体积：
根据正方体体积公式$V=a×a×a$（$a$为正方体棱长），代入数据得：
$3×3×3=27(cm³)$
答：它的体积是27$cm³$。
【答案】
27
【知识点】
1. 正方体棱的特征
2. 正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及体积公式的应用，属于基础题型，只要熟练掌握正方体棱的数量关系和体积计算公式，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
(2)把一根长 60 cm 的长方体木料锯成 3 段(如下图),表面积比原来增加了 100 cm²,这根长方体木料原来的体积是()cm³。
答案
(3-1)×2=4（个）
100÷4=25（cm²）
25×60=1500（cm³）
答：这根长方体木料原来的体积是1500cm³。
100÷4=25（cm²）
25×60=1500（cm³）
答：这根长方体木料原来的体积是1500cm³。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要理清锯木料后表面积增加的部分对应的面：
1. 先明确锯的次数与增加面数的关系：把木料锯成3段，需要锯2次，每锯1次会增加2个横截面的面积，因此锯2次一共增加$(3-1)×2=4$个横截面的面积。
2. 已知表面积增加了$100cm²$，用增加的总表面积除以增加的面数，就能得到一个横截面的面积，也就是长方体的底面积。
3. 最后根据长方体体积公式“体积=底面积×长”，用求出的底面积乘以木料的长度$60cm$，即可得到木料原来的体积。
【解析】
1. 计算锯成3段后增加的横截面数量：
$(3-1)×2=4$（个）
2. 计算长方体木料的底面积（横截面面积）：
$100÷4=25$（$cm²$）
3. 计算木料原来的体积：
$25×60=1500$（$cm³$）
【答案】
1500
【知识点】
长方体体积计算；锯木面数变化规律
【点评】
本题的核心是理解锯木料时锯的次数与增加面数的对应关系，通过增加的表面积推导长方体的底面积，再结合体积公式求解，考查了对立体图形表面积和体积概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要理清锯木料后表面积增加的部分对应的面：
1. 先明确锯的次数与增加面数的关系：把木料锯成3段，需要锯2次，每锯1次会增加2个横截面的面积，因此锯2次一共增加$(3-1)×2=4$个横截面的面积。
2. 已知表面积增加了$100cm²$，用增加的总表面积除以增加的面数，就能得到一个横截面的面积，也就是长方体的底面积。
3. 最后根据长方体体积公式“体积=底面积×长”，用求出的底面积乘以木料的长度$60cm$，即可得到木料原来的体积。
【解析】
1. 计算锯成3段后增加的横截面数量：
$(3-1)×2=4$（个）
2. 计算长方体木料的底面积（横截面面积）：
$100÷4=25$（$cm²$）
3. 计算木料原来的体积：
$25×60=1500$（$cm³$）
【答案】
1500
【知识点】
长方体体积计算；锯木面数变化规律
【点评】
本题的核心是理解锯木料时锯的次数与增加面数的对应关系，通过增加的表面积推导长方体的底面积，再结合体积公式求解，考查了对立体图形表面积和体积概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2 计算下列长方体或正方体的体积。
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
答案
(1)
$2.5×0.5×0.8=1$（$\mathrm{m}^3$）
答：体积是1立方米。
(2)
$6×6×6=216$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是216立方分米。
(3)
$3\mathrm{m}=30\mathrm{dm}$
$9×30=270$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是270立方分米。
$2.5×0.5×0.8=1$（$\mathrm{m}^3$）
答：体积是1立方米。
(2)
$6×6×6=216$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是216立方分米。
(3)
$3\mathrm{m}=30\mathrm{dm}$
$9×30=270$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是270立方分米。
解析
【分析】
要计算长方体和正方体的体积，需结合对应体积公式及单位换算规则解题：
1. 第(1)题是长方体，直接运用长方体体积公式$V=长×宽×高$，代入已知的长、宽、高数值计算即可。
2. 第(2)题是正方体，运用正方体体积公式$V=棱长×棱长×棱长$，将已知棱长代入公式计算。
3. 第(3)题单位不统一，先把米换算成分米保证单位一致，再利用$V=底面积×高$的体积计算方法代入数值求解。
【解析】
(1) 已知长方体长$2.5\mathrm{m}$、宽$0.5\mathrm{m}$、高$0.8\mathrm{m}$，根据长方体体积公式：
$V = 长×宽×高 = 2.5×0.5×0.8 = 1$（$\mathrm{m}^3$）
答：体积是1立方米。
(2) 已知正方体棱长为$6\mathrm{dm}$，根据正方体体积公式：
$V = 棱长×棱长×棱长 = 6×6×6 = 216$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是216立方分米。
(3) 先统一单位：$3\mathrm{m}=30\mathrm{dm}$，已知长方体底面积为$9\mathrm{dm}^2$、高为$30\mathrm{dm}$，根据$V=底面积×高$：
$V = 9×30 = 270$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是270立方分米。
【答案】
(1) $1\mathrm{m}^3$；(2) $216\mathrm{dm}^3$；(3) $270\mathrm{dm}^3$
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、长度单位换算
【点评】
本题考查长方体和正方体体积公式的基础应用，解题关键是牢记体积公式，注意单位统一，避免因单位不一致或公式混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算长方体和正方体的体积，需结合对应体积公式及单位换算规则解题：
1. 第(1)题是长方体，直接运用长方体体积公式$V=长×宽×高$，代入已知的长、宽、高数值计算即可。
2. 第(2)题是正方体，运用正方体体积公式$V=棱长×棱长×棱长$，将已知棱长代入公式计算。
3. 第(3)题单位不统一，先把米换算成分米保证单位一致，再利用$V=底面积×高$的体积计算方法代入数值求解。
【解析】
(1) 已知长方体长$2.5\mathrm{m}$、宽$0.5\mathrm{m}$、高$0.8\mathrm{m}$，根据长方体体积公式：
$V = 长×宽×高 = 2.5×0.5×0.8 = 1$（$\mathrm{m}^3$）
答：体积是1立方米。
(2) 已知正方体棱长为$6\mathrm{dm}$，根据正方体体积公式：
$V = 棱长×棱长×棱长 = 6×6×6 = 216$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是216立方分米。
(3) 先统一单位：$3\mathrm{m}=30\mathrm{dm}$，已知长方体底面积为$9\mathrm{dm}^2$、高为$30\mathrm{dm}$，根据$V=底面积×高$：
$V = 9×30 = 270$（$\mathrm{dm}^3$）
答：体积是270立方分米。
【答案】
(1) $1\mathrm{m}^3$；(2) $216\mathrm{dm}^3$；(3) $270\mathrm{dm}^3$
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算、长度单位换算
【点评】
本题考查长方体和正方体体积公式的基础应用，解题关键是牢记体积公式，注意单位统一，避免因单位不一致或公式混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.8
3 小瓯在实践活动中将一块棱长为 10 cm 的正方体陶土捏成底面积为 25 cm²的长方体,这个长方体的高是多少厘米?
答案
10×10×10=1000（cm³）
1000÷25=40（cm）
答：这个长方体的高是40厘米。
1000÷25=40（cm）
答：这个长方体的高是40厘米。
解析
【分析】
这道题的关键是抓住陶土的体积不变，即正方体捏成长方体后，两者体积相等。首先我们需要根据正方体的棱长计算出它的体积，然后利用长方体的体积公式（体积=底面积×高），推导出高=体积÷底面积，最后代入数据计算出长方体的高。
【解析】
1. 计算正方体陶土的体积：
正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 = 10×10×10 = 1000（cm³）
2. 由于陶土体积不变，长方体体积等于正方体体积，根据长方体体积公式求高：
长方体的高 = 体积÷底面积 = 1000÷25 = 40（cm）
答：这个长方体的高是40厘米。
【答案】
40厘米
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积公式、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的应用，核心是理解物体形状改变但体积不变的原理，需要熟练掌握正方体和长方体的体积公式，并能灵活进行公式变形求解，属于基础题型，有助于巩固体积相关知识点。
【难度系数】
0.8
这道题的关键是抓住陶土的体积不变，即正方体捏成长方体后，两者体积相等。首先我们需要根据正方体的棱长计算出它的体积，然后利用长方体的体积公式（体积=底面积×高），推导出高=体积÷底面积，最后代入数据计算出长方体的高。
【解析】
1. 计算正方体陶土的体积：
正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 = 10×10×10 = 1000（cm³）
2. 由于陶土体积不变，长方体体积等于正方体体积，根据长方体体积公式求高：
长方体的高 = 体积÷底面积 = 1000÷25 = 40（cm）
答：这个长方体的高是40厘米。
【答案】
40厘米
【知识点】
正方体体积计算、长方体体积公式、等积变形
【点评】
本题考查等积变形的应用，核心是理解物体形状改变但体积不变的原理，需要熟练掌握正方体和长方体的体积公式，并能灵活进行公式变形求解，属于基础题型，有助于巩固体积相关知识点。
【难度系数】
0.8
4 下图所示为一个底面是正方形的长方体,如果高增加 2 cm,那么表面积就会增加24 cm²,求这个长方体的体积。(提示:先求长方体的底面边长)
答案
24÷4÷2=3（cm）
3×3×8=72（cm³）
答：这个长方体的体积是72cm³。
3×3×8=72（cm³）
答：这个长方体的体积是72cm³。
解析
【分析】
首先要明确：当长方体的高增加2cm时，表面积增加的部分是4个完全相同的长方形的面积之和，上下底面的面积并未改变。每个长方形的高是2cm，长方形的长就是底面正方形的边长。
第一步，先计算单个侧面增加的面积：用总增加的表面积24cm²除以4，得到单个侧面的面积；
第二步，根据长方形面积公式，结合单个侧面的面积和高2cm，求出底面正方形的边长；
第三步，已知底面正方形的边长和原长方体的高8cm，利用长方体体积公式计算出体积。
【解析】
1. 求底面正方形的边长：
高增加后，单个侧面增加的面积为：$24÷4=6\ \mathrm{cm}^2$
根据长方形面积公式$S=a× h$（$a$为底面边长，$h$为增加的高），可得底面边长：$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
2. 求长方体的体积：
长方体底面积为：$3×3=9\ \mathrm{cm}^2$
根据长方体体积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$，可得体积：$9×8=72\ \mathrm{cm}^3$
答：这个长方体的体积是72cm³。
【答案】
72cm³
【知识点】
长方体表面积变化、长方体体积计算、正方形边长求解
【点评】
本题的核心是准确判断高增加时表面积增加的部分为4个侧面的面积，避免错误计算增加面的数量。需要结合空间想象能力，理清增加的面与原长方体底面边长的关系，再利用面积和体积公式求解，考查对长方体表面积和体积概念的理解与应用。
【难度系数】
0.6
首先要明确：当长方体的高增加2cm时，表面积增加的部分是4个完全相同的长方形的面积之和，上下底面的面积并未改变。每个长方形的高是2cm，长方形的长就是底面正方形的边长。
第一步，先计算单个侧面增加的面积：用总增加的表面积24cm²除以4，得到单个侧面的面积；
第二步，根据长方形面积公式，结合单个侧面的面积和高2cm，求出底面正方形的边长；
第三步，已知底面正方形的边长和原长方体的高8cm，利用长方体体积公式计算出体积。
【解析】
1. 求底面正方形的边长：
高增加后，单个侧面增加的面积为：$24÷4=6\ \mathrm{cm}^2$
根据长方形面积公式$S=a× h$（$a$为底面边长，$h$为增加的高），可得底面边长：$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
2. 求长方体的体积：
长方体底面积为：$3×3=9\ \mathrm{cm}^2$
根据长方体体积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$，可得体积：$9×8=72\ \mathrm{cm}^3$
答：这个长方体的体积是72cm³。
【答案】
72cm³
【知识点】
长方体表面积变化、长方体体积计算、正方形边长求解
【点评】
本题的核心是准确判断高增加时表面积增加的部分为4个侧面的面积，避免错误计算增加面的数量。需要结合空间想象能力，理清增加的面与原长方体底面边长的关系，再利用面积和体积公式求解，考查对长方体表面积和体积概念的理解与应用。
【难度系数】
0.6
5 我国是建造船闸最早的国家。当大坝两旁的水位落差大时,人们建造船闸以帮助轮船顺利通过大坝。为了探究船闸的工作原理,同学们制作了两级船闸的模型(闸门的厚度忽略不计)。(单位:cm)
(1)如右图所示,B闸室现在水的体积是多少立方厘米?
(2)打开中间的闸门后,水面高度是多少厘米?
(1)如右图所示,B闸室现在水的体积是多少立方厘米?
(2)打开中间的闸门后,水面高度是多少厘米?
答案
(1)
$40×30×10=12000$(立方厘米)
答：B闸室现在水的体积是12000立方厘米。
(2)
$40×30×50=60000$(立方厘米)
$40×30×10=12000$(立方厘米)
$60000+12000=72000$(立方厘米)
$40×30+40×30=2400$(平方厘米)
$72000÷2400=30$(厘米)
答：打开中间的闸门后，水面高度是30厘米。
$40×30×10=12000$(立方厘米)
答：B闸室现在水的体积是12000立方厘米。
(2)
$40×30×50=60000$(立方厘米)
$40×30×10=12000$(立方厘米)
$60000+12000=72000$(立方厘米)
$40×30+40×30=2400$(平方厘米)
$72000÷2400=30$(厘米)
答：打开中间的闸门后，水面高度是30厘米。
解析
【分析】
（1）求B闸室现在水的体积，观察图形可知B闸室的水是长40cm、宽30cm、高10cm的长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数据计算即可。
（2）打开中间闸门后，A、B闸室的水会连通，水的总体积是A闸室水的体积与B闸室水的体积之和，此时的底面积是两个闸室的底面积之和，再根据“高=体积÷底面积”就能求出水面高度。
【解析】
(1) 根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，代入B闸室水的相关数据：
$40×30×10=12000$（立方厘米）
答：B闸室现在水的体积是12000立方厘米。
(2) ①计算A闸室水的体积：
$40×30×50=60000$（立方厘米）
②计算水的总体积：
$60000+12000=72000$（立方厘米）
③计算A、B闸室的总底面积：
$40×30+40×30=2400$（平方厘米）
④计算水面高度：
$72000÷2400=30$（厘米）
答：打开中间的闸门后，水面高度是30厘米。
【答案】
(1) 12000立方厘米；
(2) 30厘米。
【知识点】
长方体体积计算；等积变形
【点评】
本题考查长方体体积公式的实际应用，需要结合船闸的工作原理，抓住水的总体积不变的特点，运用体积公式解决实际问题，提升立体图形体积的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）求B闸室现在水的体积，观察图形可知B闸室的水是长40cm、宽30cm、高10cm的长方体，根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数据计算即可。
（2）打开中间闸门后，A、B闸室的水会连通，水的总体积是A闸室水的体积与B闸室水的体积之和，此时的底面积是两个闸室的底面积之和，再根据“高=体积÷底面积”就能求出水面高度。
【解析】
(1) 根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，代入B闸室水的相关数据：
$40×30×10=12000$（立方厘米）
答：B闸室现在水的体积是12000立方厘米。
(2) ①计算A闸室水的体积：
$40×30×50=60000$（立方厘米）
②计算水的总体积：
$60000+12000=72000$（立方厘米）
③计算A、B闸室的总底面积：
$40×30+40×30=2400$（平方厘米）
④计算水面高度：
$72000÷2400=30$（厘米）
答：打开中间的闸门后，水面高度是30厘米。
【答案】
(1) 12000立方厘米；
(2) 30厘米。
【知识点】
长方体体积计算；等积变形
【点评】
本题考查长方体体积公式的实际应用，需要结合船闸的工作原理，抓住水的总体积不变的特点，运用体积公式解决实际问题，提升立体图形体积的应用能力。
【难度系数】
0.6
