1. [2025 深圳罗湖区期中] 先化简,再求值：
$\frac{1}{2}xy^{2}-2×[\frac{1}{4}x^{2}y-(x^{2}y-xy^{2})]$,其中$x = 2$,$y = -\frac{1}{2}$.

【解】原式$=\frac{1}{2}xy^{2}-2×\left( \frac{1}{4}x^{2}y-x^{2}y+xy^{2}\right)$
$=\frac{1}{2}xy^{2}-2×\left( -\frac{3}{4}x^{2}y+xy^{2}\right)$
$=\frac{1}{2}xy^{2}+\frac{3}{2}x^{2}y-2xy^{2}$
$=\frac{3}{2}x^{2}y-\frac{3}{2}xy^{2}$．
因为$x=2,y=-\frac{1}{2}$，
所以原式$=\frac{3}{2}×2^{2}×\left( -\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}×2×\left( -\frac{1}{2}\right)^{2}$
$=-3-\frac{3}{4}$
$=-3\frac{3}{4}$．

2. 先化简,再求值：$5x + 3(3y^{2}-2x)-2(2x - y^{2})$,其中$|x - 2|+(y + 1)^{2}= 0$.

【解】原式$=5x+9y^{2}-6x-4x+2y^{2}$
$=11y^{2}-5x$．
因为$|x-2|+(y+1)^{2}=0$，
所以$x-2=0,y+1=0$，
解得$x=2,y=-1$，
所以原式$=11×(-1)^{2}-5×2=11-10=1$．

3. 已知多项式$-3x^{2}y^{m + 1}+x^{3}y - 3x^{4}-1$是五次四项式,且单项式$3x^{2n}y^{3 - m}$的次数与该多项式的次数相同.
(1) 求$m$,$n$的值；
(2) 当$x = -1$,$y = 1$时,求该多项式的值.

【解】
(1)因为$-3x^{2}y^{m+1}+x^{3}y-3x^{4}-1$是五次四项式，
所以$m+1+2=5$，所以$m=2$．
因为单项式$3x^{2n}y^{3-m}$的次数与该多项式的次数相同，
所以$2n+3-m=5$，即$2n+3-2=5$，
所以$n=2$．
(2)由
(1)知$m=2,n=2$，所以多项式为$-3x^{2}y^{3}+x^{3}y-3x^{4}-1$．
当$x=-1,y=1$时，
$-3x^{4}+x^{3}y-3x^{2}y^{3}-1$
$=-3×(-1)^{4}+(-1)^{3}×1-3×(-1)^{2}×1^{3}-1$
$=-3-1-3-1$
$=-8$．

4. 已知$a - b = 2$,则多项式$\frac{1}{4}(a - b)^{2}-9(a - b)-\frac{1}{2}(a - b)^{2}-5(b - a)$的值为______.

-9

$\begin{aligned}&\frac{1}{4}(a - b)^{2}-9(a - b)-\frac{1}{2}(a - b)^{2}-5(b - a)\\=&\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)(a - b)^{2}+(-9 + 5)(a - b)\\=&-\frac{1}{4}(a - b)^{2}-4(a - b)\\\end{aligned}$
当$a - b = 2$时，
$\begin{aligned}&-\frac{1}{4}×2^{2}-4×2\\=&-\frac{1}{4}×4 - 8\\=&-1 - 8\\=&-9\end{aligned}$
-9

5. 已知$a - b = -3$,$b - c = 2$,求代数式$(a - b)^{2}+2(b - c)^{2}-3(a - c)^{2}$的值.

【解】因为$a-b=-3,b-c=2$，
所以$(a-b)+(b-c)=a-c=-1$．
所以$(a-b)^{2}+2(b-c)^{2}-3(a-c)^{2}$
$=(-3)^{2}+2×2^{2}-3×(-1)^{2}$
$=9+8-3×1=14$．

6. 如果$2x^{2}-3x - 2024 = 0$,求$2x^{3}-x^{2}-2027x - 2025$的值.

【解】因为$2x^{2}-3x-2024=0$，
所以$2x^{2}-3x=2024$．
所以$2x^{3}-x^{2}-2027x-2025$
$=2x^{3}-3x^{2}+2x^{2}-3x-2024x-2025$
$=x(2x^{2}-3x)+(2x^{2}-3x)-2024x-2025$
$=2024x+2024-2024x-2025$
$=-1$．