典例1(2024·苏州)如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,CB = 5,CA = 10,点D,E分别在边AC,AB上,AE = $\sqrt{5}$AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE,CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍,则AD = __________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

[思路点拨]不妨设AD = x,则AE = $\sqrt{5}$x.根据折叠的性质,得DF = AD = x,∠ADE = ∠FDE,此时过点E作EH⊥AC于点H，设EF与AC相交于点M，可证得△AHE∽△ACB,利用相似三角形的性质求得EH,AH的长,进而可证得∠HDE = ∠HED = 45°,再利用全等得到DM = MH = $\frac{1}{2}$x,再得到CM的长，最后利用“△CEF的面积是△BEC面积的2倍”构造方程求解.

∵$AE = \sqrt{5}AD$，∴设$AD = x$，则$AE = \sqrt{5}x$。∵$\triangle ADE$沿$DE$翻折，得到$\triangle FDE$，∴$DF = AD = x$，$\angle ADE = \angle FDE$。如图，过点$E$作$EH \perp AC$于点$H$，设$EF$与$AC$相交于点$M$，则$\angle AHE = \angle ACB = 90^{\circ}$。又∵$\angle A = \angle A$，∴$\triangle AHE \sim \triangle ACB$。
∴$\frac{EH}{BC} = \frac{AH}{AC} = \frac{AE}{AB}$。∵$CB = 5$，$CA = 10$，∴$AB = \sqrt{CA^{2} + CB^{2}} = \sqrt{10^{2} + 5^{2}} = 5\sqrt{5}$。∴$\frac{EH}{5} = \frac{AH}{10} = \frac{\sqrt{5}x}{5\sqrt{5}}$。
∴$EH = x$，$AH = 2x$。∴$EH = AD = DF$，$DH = AH - AD = x = EH$。∴$\triangle EHD$是等腰直角三角形。∴$\angle HDE = \angle HED = 45^{\circ}$。∴$\angle ADE = \angle EDF = 135^{\circ}$。∴$\angle FDM = \angle EDF - \angle HDE = 135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$。在$\triangle FDM$和$\triangle EHM$中，
$\begin{cases} \angle DMF = \angle HME, \\ \angle FDM = \angle EHM = 90^{\circ}, \\ DF = HE, \end{cases}$∴$\triangle FDM \cong \triangle EHM$。∴$FD = EH$，$DM = HM = \frac{1}{2}x$。∴$CM = AC - AD - DM = 10 - \frac{3}{2}x$。
∴$S_{\triangle CEF} = S_{\triangle CME} + S_{\triangle CMF} = \frac{1}{2}CM \cdot EH + \frac{1}{2}CM \cdot FD = \frac{1}{2}(10 - \frac{3}{2}x)x \times 2 = (10 - \frac{3}{2}x)x$，$S_{\triangle BEC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 - \frac{1}{2} \times 10x = 25 - 5x$。∵$\triangle CEF$的面积是$\triangle BEC$面积的2倍，∴$(10 - \frac{3}{2}x)x = 2(25 - 5x)$。整理，得$3x^{2} - 40x + 100 = 0$。解得$x_{1} = \frac{10}{3}$，$x_{2} = 10$（不合题意，舍去）。∴$AD = \frac{10}{3}$。

1.(2024·苏州虎丘模拟)王同学用矩形纸片折纸飞机,前三步分别如图①②③所示.第一步:将矩形纸片沿对称轴对折后展开,折出折痕EF;第二步:将△AEG和△BEH分别沿EG,EH 翻折,AE,BE重合于折痕EF上;第三步:将△GEM和△HEN分别沿EM,EN翻折,EG，EH重合于折痕EF上.已知AB = 20cm,AD = 20$\sqrt{2}$cm,则MD的长是（ ）
　　　　　　　　　　
A. 10cm　　　　　　
　B. 5$\sqrt{2}$cm　　　　　
　C.(20 - 10$\sqrt{2}$)cm　
　D.(10$\sqrt{2}$ - 10)cm

∵四边形$ABCD$为矩形，$AB = 20\ cm$，$AD = 20\sqrt{2}\ cm$，∴$\angle A = 90^{\circ}$。由第一步折叠，可得$AD // EF$，$AE = BE = \frac{1}{2}AB = 10\ cm$。由第二步折叠，可得$AE = A'E = 10\ cm$，$\angle EA'G = \angle A = 90^{\circ}$。易得四边形$AEA'G$为正方形，∴$AG = AE = 10\ cm$。∴$GD = AD - AG = (20\sqrt{2} - 10)\ cm$。在$Rt\triangle AEG$中，$GE = \sqrt{AG^{2} + AE^{2}} = \sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 10\sqrt{2}\ (cm)$。由第三步折叠，可得$\angle GEM = \angle G'EM$。∵$GD // EF$，∴$\angle GME = \angle G'EM$。
∴$\angle GEM = \angle GME$。∴$GE = GM = 10\sqrt{2}\ cm$。∴$MD = GD - GM = 20\sqrt{2} - 10 - 10\sqrt{2} = (10\sqrt{2} - 10)\ cm$。故选D。

典例2(2024·常州)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC,DEF叠放在一起,使点E,B分别在边AC,DF上(端点除外),边AB,EF相交于点G,边BC,DE相交于点H.
(1)如图①,当E是边AC的中点时,两张纸片重叠部分的形状是__________.
(2)如图②,若EF//BC,求两张纸片重叠部分面积的最大值.
(3)如图③,当AE＞EC,FB＞BD时,AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由.
　　　　　　　　　　　　
[思路点拨](1)可猜想四边形BHEG是菱形.(2)过点E作ET⊥HC,设EH = CH = 2xcm,则BH =(6 - 2x)cm，再用含x的代数式表示HT，ET，进而表示出重叠部分的面积，最后用二次函数的性质求其最大值.(3)猜想AE = FB,过点B作BM⊥AC于点M,过点E作EN⊥DF于点N,连接BE,利用全等求解问题.

（1）如图①，连接$BE$，$CD$。∵$\triangle ABC$，$\triangle DEF$都是等边三角形，∴$\angle ABC = \angle ACB = \angle EDF = 60^{\circ}$。∴$B$，$D$，$C$，$E$四点共圆。又∵$E$是边$AC$的中点，∴$\angle ABE = \angle CBE = \frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$。∴$\angle BEC = 90^{\circ}$。∴$BC$为过$B$，$D$，$C$，$E$四点的圆的直径。又∵$DE = BC = 6\ cm$，∴$DE$为过$B$，$D$，$C$，$E$四点的圆的直径。∴点$H$为圆心。∴$EH = BH$。∴$\angle HEB = \angle HBE = 30^{\circ}$。∴$\angle GEB = \angle EBH = 30^{\circ}$，$\angle GBE = \angle BEH = 30^{\circ}$。∴$BH // EG$，$BG // EH$。∴四边形$BHEG$是平行四边形。又∵$EH = BH$，∴四边形$BHEG$是菱形。∴两张纸片重叠部分的形状是菱形。（2）∵$\triangle ABC$，$\triangle DEF$都是等边三角形，
∴$\angle ABC = \angle DEF = \angle C = 60^{\circ}$，$AC = BC = 6\ cm$。∵$EF // BC$，
∴$\angle CHE = \angle DEF = 60^{\circ}$。∴$\angle ABC = \angle CHE$。∴$BG // EH$。
∴四边形$BHEG$是平行四边形。∵$\angle C = \angle CHE = 60^{\circ}$，
∴$\triangle EHC$是等边三角形。如图②，过点$E$作$ET \perp HC$于点$T$。
设$EH = CH = 2x\ cm$，则$BH = (6 - 2x)\ cm$，$HT = \frac{1}{2}CH = x\ cm$。∴$ET = \sqrt{EH^{2} - HT^{2}} = \sqrt{3}x\ cm$。∴$S_{重叠} = S_{四边形BHEG} = BH \cdot ET = \sqrt{3}x(6 - 2x) = -2\sqrt{3}(x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9\sqrt{3}}{2}$。∵$-2\sqrt{3} ＜ 0$，∴当$x = \frac{3}{2}$时，$S_{重叠}$取得最大值，为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$。∴两张纸片重叠部分面积的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{2}\ cm^{2}$。（3）$AE = FB$。理由：如图③，过点$B$作$BM \perp AC$于点$M$，过点$E$作$EN \perp DF$于点$N$，连接$BE$。
∵$\triangle ABC$，$\triangle DEF$都是边长为$6\ cm$的等边三角形，∴$AM = CM = FN = DN = 3\ cm$，$EF = AB = 6\ cm$。∴$EN = \sqrt{EF^{2} - FN^{2}} = 3\sqrt{3}\ cm$，$BM = \sqrt{AB^{2} - AM^{2}} = 3\sqrt{3}\ cm$。
∴$EN = BM$。又∵$BE = EB$，∴$Rt\triangle NBE \cong Rt\triangle MEB$。
∴$NB = ME$。∴$AM + ME = FN + NB$，即$AE = FB$。