典例1 如图,在四边形$ABCD$中，$AB = AC = AD$.若$\angle CAD = 76^{\circ}$，则$\angle CBD = $__________.
　　　　　　　

微专题(九)　　构造辅助圆
典例1如图，∵AB=AC=AD，∴B，C，D是以点A为圆心，AB长为半径的圆上的三个点.∴∠CBD是⌢CD所对的圆周角，∠CAD是⌢CD所对的圆心角.∵∠CAD=76°，∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD=$\frac{1}{2}$×76°=38°.

典例2 如图,在矩形纸片$ABCD$中，$AB = 2$，$AD = 3$，$E$是$AB$的中点，$F$是边$AD$上的一个动点，将$\triangle AEF$沿$EF$所在的直线翻折，得到$\triangle A'EF$，求$A'C$长的最小值.
　　　　　　　　　　　　　

典例2∵AB=2，E是AB的中点，∴AE=BE=1.由翻折的性质可知，A'E=AE=1.如图，以点E为圆心，AE长为半径作圆，连接CE.易得当点A'在线段CE上时，A'C的长取最小值.∵四边形ABCD是矩形，∴∠CBE=90°，BC=AD=3.∴CE=$\sqrt{BE^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{10}$.∴A'C长的最小值为CE - A'E=$\sqrt{10}$-1.

典例3 如图,在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$BD$，$CE$分别是边$AC$，$AB$上的高.若$DE = 2\sqrt{3}$，则$BC$的长为____________.
　　　　　　

典例3∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∴∠BEC=∠BDC=90°.∴B，C，D，E四点共圆.∴∠BED+∠ACB=180°.∵∠AED+∠BED=180°，∴∠AED=∠ACB.∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB.∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$.∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.∵∠A=60°，∴∠ABD=30°.∴AD=$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$.∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$.∴BC=2DE=4$\sqrt{3}$.

典例4 如图,在矩形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，过点$O$作$OE\perp BD$，交$BC$于点$E$.若$\sin\angle COE = \frac{2}{5}$，$CE = 4$，求$BC$的长.
　　　　　　　　　　　　　

典例4连接DE.∵四边形ABCD为矩形，∴OB=OD，∠DCE=90°.∵OE⊥BD，∴∠DOE=∠DCE=90°.∴O，D，C，E四点共圆，且DE为圆的直径，CE为圆的一条弦.∴∠COE=∠CDE.∴sin∠COE=sin∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{2}{5}$.∵CE=4，∴DE=10.∵OB=OD，OE⊥BD，∴BE=DE=10.∴BC=BE+CE=14.