7. 新素材 科技前沿(2024·南京建邺区期末)如图甲所示是起重船“振华30”正在作业的情景,它是中国制造的世界最大起重船,被誉为“大国重器”.满载时排水量可达$1.4×10^{5}$ t，起重能力可达$1.2×10^{4}$ t.广泛应用于海上大件吊装、桥梁工程建设和港口码头施工等领域.世纪工程——港珠澳大桥沉管的安放安装就由“振华30”完成.为了防止起重船吊装重物时发生倾斜,在起重船的船体两侧建造了由许多小舱室组成的压载水舱.起重船吊起重物后,船体发生倾斜,此时在另一头快速注入压载水,两边负重平衡后,船体就会稳定下来.而重物入水后由于存在浮力,负重又会大量减少,这时候又需要排出压载水.这样就能通过控制压载水来控制船体的平衡.如图乙是起重船正在排压载水的场景.(已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}$ kg/$m^{3}$)
　(1)求“振华30”满载时受到的浮力和排开水的体积;
　(2)小林设计了如图丙所示的装置来模拟压载水舱的注水过程,其中容器底面积为500 $cm^{2}$，$A$是固定的力传感器,能够显示$B$对它的压力或拉力的大小;$B$是质量和体积均可忽略的细直硬杆,$B$的上端固定在$A$上,下端固定在物体$C$上,物体$C$是圆柱体,高度为12 cm.在注水前,水面恰好与圆柱体$C$的下表面相平,此时水面高2 cm,注水过程中,力传感器示数$F$的大小随注入水的质量变化的图像如图丁所示.求:
　　①圆柱体$C$的底面积;
　　②当力传感器示数为0时,水对容器底部的压力的增加量.
　　　

(1)$1.4×10^{9}$ N $1.4×10^{5}$ m³ (2)①250 cm² ②40 N
解析：(1)由题意可知，“振华30”满载时排水量可达$1.4×10^{5}$ t，因此受到的浮力为
$F_{浮} = G_{排} = m_{排}g = 1.4×10^{5}×10^{3}$ kg×10 N/kg = $1.4×10^{9}$ N，
根据$F_{浮} = \rho_{液}V_{排}g$可知，排开水的体积为
$V_{排} = \frac{F_{浮}}{\rho_{水}g} = \frac{1.4×10^{9}\text{ N}}{1×10^{3}\text{ kg/m}^3×10\text{ N/kg}} = 1.4×10^{5}$ m³.
(2)①由图丁可知，开始注水后，圆柱体C浸入的深度越来越大，即排开水的体积越来越大，因此受到的浮力越来越大，则力传感器示数越来越小，当圆柱体C受到的浮力等于其重力时，力传感器示数为零，当继续加水时，圆柱体C排开水的体积继续增大，此时经B对力传感器产生压力，因此示数越来越大，当圆柱体浸没后，圆柱体C受到的浮力不再变化，则力传感器的示数不再变化.综上可知，当加水为3 kg时，圆柱体C刚好浸没，此时加水的体积为
$V_{加水} = \frac{m_{加水}}{\rho_{水}} = \frac{3\text{ kg}}{1×10^{3}\text{ kg/m}^3} = 3×10^{-3}$ m³ = 3000 cm³，
由题意知，圆柱体C的高度为12 cm，则
$(S_{容} - S_{C})×12$ cm = 3000 cm³，
圆柱体C的底面积
$S_{C} = S_{容} - \frac{3000\text{ cm}^3}{12\text{ cm}} = 500$ cm² - 250 cm² = 250 cm².
②未注水前，水面恰好与圆柱体C的下表面相平，由图丁可知，$G_{C} = 20$ N，当其受到的浮力等于重力时，力传感器示数为0，则此时排开水的体积为
$V_{排1} = \frac{F_{浮1}}{\rho_{水}g} = \frac{20\text{ N}}{1×10^{3}\text{ kg/m}^3×10\text{ N/kg}} = 2×10^{-3}$ m³ = 2000 cm³，
则圆柱体C浸在水中的深度为
$h_{浸} = \frac{V_{排1}}{S_{C}} = \frac{2000\text{ cm}^3}{250\text{ cm}^2} = 8$ cm = 0.08 m，
因此当力传感器示数为0时，水对容器底部的压力的增加量
$\Delta F = \Delta pS_{容} = \rho_{水}g\Delta hS_{容} = 1.0×10^{3}$ kg/m³×10 N/kg×0.08 m×$500×10^{-4}$ m² = 40 N.