9. (2024·常州期末)喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100 $^{\circ}C$，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y($^{\circ}C$)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度y($^{\circ}C$)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)。已知水壶中水的初始温度是25 $^{\circ}C$，降温过程中水温不低于25 $^{\circ}C$。
(1)分别写出图中所对应的函数表达式，并且写出自变量x的取值范围。
(2)从水壶中的水烧开(100 $^{\circ}C$)降到80 $^{\circ}C$就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?

(1) 当停止加热 1 分半钟后，设 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $，由图可知，将 $ (15,50) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $ 得 $ 50 = \frac{k}{15} $，解得 $ k = 750 $，$ \therefore y = \frac{750}{x} $。$ \because $ 降温过程中水温不低于 $ 25^{\circ}C $，$ \therefore \frac{750}{x} \geq 25 $，解得 $ x \leq 30 $。当 $ y = 100 $ 时，得 $ 100 = \frac{750}{x} $，解得 $ x = 7.5 $，$ \therefore B $ 点坐标为 $ (7.5,100) $，$ \therefore A $ 点坐标为 $ (6,100) $，当烧水时，设函数表达式为 $ y = ax + 25 $，由题图及题意可知，将 $ (6,100) $ 代入 $ y = ax + 25 $ 得 $ 100 = 6a + 25 $，解得 $ a = \frac{25}{2} $，$ \therefore $ 当烧水时的函数表达式为 $ y = \frac{25}{2}x + 25(0 \leq x \leq 6) $；当停止加热，得 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式为 $ y = 100(6 ＜ x ＜ 7.5) $；$ y = \frac{750}{x}(7.5 \leq x \leq 30) $。
(2) 把 $ y = 80 $ 代入 $ y = \frac{750}{x} $，得 $ x = \frac{75}{8} $，$ \frac{75}{8} - 6 = \frac{27}{8}(\text{min}) $，$ \therefore $ 从水烧开到泡茶需要等待 $ \frac{27}{8} \text{min} $。

10. 如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度y(微克/毫升)与用药的时间x(小时)变化的图像。 第一次服药后对应的图像由线段OA和部分双曲线AB：$y=\frac{k}{x}$组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图像由线段BC和部分曲线CD：$y=\frac{k}{x - 16}+m$组成，其中OA与BC平行。 血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效。
(1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度。
(2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时了吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药?

(1) 把点 $ (6,8) $ 代入双曲线 $ AB $ 的函数表达式 $ y = \frac{k}{x} $，得 $ k = 48 $，$ \therefore $ 双曲线 $ AB $ 的函数表达式为 $ y = \frac{48}{x} $。当 $ x = 16 $ 时，$ y = \frac{48}{16} = 3 $，即第 16 小时血液中的药物浓度为 3 微克/毫升。设直线 $ OA $ 的函数表达式为 $ y_1 = nx(n \neq 0) $，把点 $ (6,8) $ 代入 $ y_1 = nx(n \neq 0) $，得 $ n = \frac{4}{3} $。$ \because OA $ 与 $ BC $ 平行，$ \therefore $ 设直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y_2 = \frac{4}{3}x + b $，把点 $ B(16,3) $ 代入，得 $ b = -\frac{55}{3} $，$ \therefore $ 直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y_2 = \frac{4}{3}x - \frac{55}{3} $，当 $ x = 22 $ 时，$ y_2 = 11 $，即第 22 小时血液中的药物浓度为 11 微克/毫升。
(2) 当 $ 0 ＜ x ＜ 6 $ 时，若 $ y = 5 $，则 $ 5 = \frac{4}{3}x $，解得 $ x = \frac{15}{4} $；当 $ 6 \leq x ＜ 16 $ 时，若 $ y = 5 $，则 $ 5 = \frac{48}{x} $，解得 $ x = \frac{48}{5} $。$ \because \frac{48}{5} - \frac{15}{4} = \frac{117}{20} = 5.85 ＜ 6 $，$ \therefore $ 这 16 小时内药物有效的持续时间未达到 6 小时。
(3) 把点 $ C(22,11) $ 代入 $ y = \frac{48}{x - 16} + m $，得 $ m = 3 $。$ \therefore $ 曲线 $ CD $ 的函数表达式为 $ y = \frac{48}{x - 16} + 3 $。当 $ y = 4 $ 时，$ x = 64 $，$ 64 - 16 = 48 $（小时），$ \therefore $ 受试者第二次服药后至少经过 48 小时可进行第三次服药。