1. (2023·随州中考节选)如图①,平面直角坐标系xOy中,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$过点$A(-1,0),B(2,0)$和$C(0,2)$,连接BC,点$P(m,n)(m＞0)$为抛物线上一动点,过点P作$PN⊥x$轴交直线BC于点M,交x轴于点N.
(1)直接写出抛物线和直线BC的表达式;
(2)如图②,连接OM,当$\triangle OCM$为等腰三角形时,求m的值(提示:两点间距离公式:设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$是平面直角坐标系中的两个点,则$AB= \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}).$
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(1)直接写出抛物线和直线BC的表达式;
(2)如图②,连接OM,当$\triangle OCM$为等腰三角形时,求m的值(提示:两点间距离公式:设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$是平面直角坐标系中的两个点,则$AB= \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}).$
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答案
2. (2022·遂宁中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= x^{2}+bx+c$与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为$(-1,0)$,点C的坐标为$(0,-3).$
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,E为$\triangle ABC$边AB上的一动点,F为BC边上的一动点,D点坐标为$(0,-2)$,求$\triangle DEF$周长的最小值;
(3)如图②,N为射线CB上的一点,M是抛物线上的一点,M、N均在第一象限内,B、N位于直线AM的同侧,若M到x轴的距离为d,$\triangle AMN$的面积为2d,当$\triangle AMN$为等腰三角形时,求点N的坐标.
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(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,E为$\triangle ABC$边AB上的一动点,F为BC边上的一动点,D点坐标为$(0,-2)$,求$\triangle DEF$周长的最小值;
(3)如图②,N为射线CB上的一点,M是抛物线上的一点,M、N均在第一象限内,B、N位于直线AM的同侧,若M到x轴的距离为d,$\triangle AMN$的面积为2d,当$\triangle AMN$为等腰三角形时,求点N的坐标.
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答案
3. (徐州中考节选)如图,在平面直角坐标系中,函数$y= -ax^{2}+2ax+3a(a＞0)$的图像交x轴于点A、B,交y轴于点C,它的对称轴交x轴于点E.过点C作$CD// x$轴交抛物线于点D,连接DE并延长交y轴于点F,交抛物线于点G.直线AF交CD于点H,交抛物线于点K,连接HE、GK.
(1)点E的坐标为____;
(2)当$\triangle HEF$是直角三角形时,求a的值.
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(1)点E的坐标为____;
(2)当$\triangle HEF$是直角三角形时,求a的值.
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答案
