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(1)两个质数的最小公倍数是 55，这两个质数分别是()和()。
答案
55=5×11
答：这两个质数分别是5和11。
答：这两个质数分别是5和11。
解析
【分析】
首先明确质数和最小公倍数的关系：两个质数互质，互质的两个数的最小公倍数等于它们的乘积。题目中两个质数的最小公倍数是55，因此只需把55分解为两个质数相乘的形式，这两个质数就是所求的数，接下来对55进行质因数分解即可。
【解析】
由于两个质数互质，互质的两个数的最小公倍数为它们的乘积，对55分解质因数：
$55 = 5×11$
其中5和11均为质数，符合题目要求。
【答案】
5；11
【知识点】
质数的概念、最小公倍数的求法、分解质因数
【点评】
本题考查质数与最小公倍数的综合应用，关键是掌握“两个质数的最小公倍数等于它们的乘积”这一核心知识点，通过分解质因数就能快速求解，要求学生熟练掌握相关概念及内在联系。
【难度系数】
0.8
首先明确质数和最小公倍数的关系：两个质数互质，互质的两个数的最小公倍数等于它们的乘积。题目中两个质数的最小公倍数是55，因此只需把55分解为两个质数相乘的形式，这两个质数就是所求的数，接下来对55进行质因数分解即可。
【解析】
由于两个质数互质，互质的两个数的最小公倍数为它们的乘积，对55分解质因数：
$55 = 5×11$
其中5和11均为质数，符合题目要求。
【答案】
5；11
【知识点】
质数的概念、最小公倍数的求法、分解质因数
【点评】
本题考查质数与最小公倍数的综合应用，关键是掌握“两个质数的最小公倍数等于它们的乘积”这一核心知识点，通过分解质因数就能快速求解，要求学生熟练掌握相关概念及内在联系。
【难度系数】
0.8
(2)把下列各数按从小到大的顺序排列起来。
0.76 $\frac{19}{16}$ $\frac{27}{25}$ 1.07 $\frac{8}{11}$
()$＜$()$＜$()$＜$()$＜$()
0.76 $\frac{19}{16}$ $\frac{27}{25}$ 1.07 $\frac{8}{11}$
()$＜$()$＜$()$＜$()$＜$()
答案
$\frac{8}{11}≈0.727$
$\frac{27}{25}=1.08$
$\frac{19}{16}=1.1875$
因为$0.727＜0.76＜1.07＜1.08＜1.1875$，
所以$\frac{8}{11}＜0.76＜1.07＜\frac{27}{25}＜\frac{19}{16}$
$\frac{27}{25}=1.08$
$\frac{19}{16}=1.1875$
因为$0.727＜0.76＜1.07＜1.08＜1.1875$，
所以$\frac{8}{11}＜0.76＜1.07＜\frac{27}{25}＜\frac{19}{16}$
解析
【分析】
要将分数和小数混合的一组数按从小到大排列，首先需要统一数的形式，把所有分数转化为小数（因为小数比较大小的规则更直观）。具体思路：先分别把每个分数化成小数，除不尽的保留足够位数保证比较准确，再按照小数比较大小的方法，从整数部分开始，依次比较十分位、百分位等，最后将原数按从小到大的顺序排列。
【解析】
1. 将分数转化为小数：
$\frac{8}{11}≈0.727$
$\frac{27}{25}=1.08$
$\frac{19}{16}=1.1875$
2. 比较小数大小：
因为$0.727＜0.76＜1.07＜1.08＜1.1875$
3. 对应回原数，得到排列顺序：
$\frac{8}{11}＜0.76＜1.07＜\frac{27}{25}＜\frac{19}{16}$
【答案】
$\frac{8}{11}＜0.76＜1.07＜\frac{27}{25}＜\frac{19}{16}$
【知识点】
分数化小数，小数大小比较
【点评】
本题主要考查分数与小数的互化及小数大小比较的方法，解题核心是通过统一数的形式简化比较过程，分数化小数时需注意除不尽的情况要保留足够的小数位数，确保比较结果准确。
【难度系数】
0.7
要将分数和小数混合的一组数按从小到大排列，首先需要统一数的形式，把所有分数转化为小数（因为小数比较大小的规则更直观）。具体思路：先分别把每个分数化成小数，除不尽的保留足够位数保证比较准确，再按照小数比较大小的方法，从整数部分开始，依次比较十分位、百分位等，最后将原数按从小到大的顺序排列。
【解析】
1. 将分数转化为小数：
$\frac{8}{11}≈0.727$
$\frac{27}{25}=1.08$
$\frac{19}{16}=1.1875$
2. 比较小数大小：
因为$0.727＜0.76＜1.07＜1.08＜1.1875$
3. 对应回原数，得到排列顺序：
$\frac{8}{11}＜0.76＜1.07＜\frac{27}{25}＜\frac{19}{16}$
【答案】
$\frac{8}{11}＜0.76＜1.07＜\frac{27}{25}＜\frac{19}{16}$
【知识点】
分数化小数，小数大小比较
【点评】
本题主要考查分数与小数的互化及小数大小比较的方法，解题核心是通过统一数的形式简化比较过程，分数化小数时需注意除不尽的情况要保留足够的小数位数，确保比较结果准确。
【难度系数】
0.7
(3)若 $a = 2×2×5$，$b = 2×3×5$，则 $a$，$b$ 的最大公因数是()，最小公倍数是()。
答案
$2×5=10$
$2×5×2×3=60$
答：a，b的最大公因数是10，最小公倍数是60。
$2×5×2×3=60$
答：a，b的最大公因数是10，最小公倍数是60。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要明确最大公因数和最小公倍数的核心求解思路：
1. 最大公因数是两个数公有质因数的乘积，先从a和b的质因数分解式中找出共有的质因数；
2. 最小公倍数是两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积，在确定公有质因数后，再找出每个数独有的质因数，将所有相关质因数相乘即可得到结果。
【解析】
已知$a = 2×2×5$，$b = 2×3×5$：
1. 计算最大公因数：
a和b的公有质因数为2和5，因此最大公因数为$2×5 = 10$；
2. 计算最小公倍数：
公有质因数是2和5，a独有的质因数是2，b独有的质因数是3，所以最小公倍数为$2×5×2×3 = 60$。
【答案】
10；60
【知识点】
质因数分解求最大公因数、质因数分解求最小公倍数
【点评】
本题考查用质因数分解法求解两个数的最大公因数和最小公倍数，关键是准确区分公有质因数与独有质因数，属于基础题型，掌握方法后可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要明确最大公因数和最小公倍数的核心求解思路：
1. 最大公因数是两个数公有质因数的乘积，先从a和b的质因数分解式中找出共有的质因数；
2. 最小公倍数是两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积，在确定公有质因数后，再找出每个数独有的质因数，将所有相关质因数相乘即可得到结果。
【解析】
已知$a = 2×2×5$，$b = 2×3×5$：
1. 计算最大公因数：
a和b的公有质因数为2和5，因此最大公因数为$2×5 = 10$；
2. 计算最小公倍数：
公有质因数是2和5，a独有的质因数是2，b独有的质因数是3，所以最小公倍数为$2×5×2×3 = 60$。
【答案】
10；60
【知识点】
质因数分解求最大公因数、质因数分解求最小公倍数
【点评】
本题考查用质因数分解法求解两个数的最大公因数和最小公倍数，关键是准确区分公有质因数与独有质因数，属于基础题型，掌握方法后可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
(1)纯小数(整数部分是零的小数)化成分数一定是()。
A.真分数
B.假分数
C.带分数
D.以上都有可能
A.真分数
B.假分数
C.带分数
D.以上都有可能
答案
A
解析
纯小数是整数部分为0的小数，其值小于1。真分数是分子小于分母、值小于1的分数；假分数值大于或等于1，带分数值大于1。因此纯小数化成分数一定是真分数。
(2)两个分数通分后的新分母是原来两个分母的乘积，原来的两个分母一定()。
A.是互质数
B.都是质数
C.都是奇数
D.是相邻的自然数
A.是互质数
B.都是质数
C.都是奇数
D.是相邻的自然数
答案
A
解析
通分时，一般用两个分母的最小公倍数作公分母。若通分后的新分母是原来两个分母的乘积，说明这两个分母的最小公倍数等于它们的乘积，根据互质数的性质，只有当两个数是互质数时，它们的最小公倍数才是其乘积，因此原来的两个分母一定是互质数。
3. 先通分，再比较大小。
$\frac{5}{6}$和$\frac{7}{8}$ $\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$ $\frac{1}{6}$、$\frac{3}{4}$和$\frac{7}{12}$
$\frac{5}{6}$和$\frac{7}{8}$ $\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$ $\frac{1}{6}$、$\frac{3}{4}$和$\frac{7}{12}$
答案
$\frac{5}{6}=\frac{5×4}{6×4}=\frac{20}{24}$
$\frac{7}{8}=\frac{7×3}{8×3}=\frac{21}{24}$
因为$\frac{20}{24}＜\frac{21}{24}$，所以$\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}$
$\frac{4}{9}=\frac{4×4}{9×4}=\frac{16}{36}$
$\frac{5}{12}=\frac{5×3}{12×3}=\frac{15}{36}$
因为$\frac{16}{36}＞\frac{15}{36}$，所以$\frac{4}{9}＞\frac{5}{12}$
$\frac{1}{6}=\frac{1×2}{6×2}=\frac{2}{12}$
$\frac{3}{4}=\frac{3×3}{4×3}=\frac{9}{12}$
$\frac{7}{12}=\frac{7}{12}$
因为$\frac{2}{12}＜\frac{7}{12}＜\frac{9}{12}$，所以$\frac{1}{6}＜\frac{7}{12}＜\frac{3}{4}$
$\frac{7}{8}=\frac{7×3}{8×3}=\frac{21}{24}$
因为$\frac{20}{24}＜\frac{21}{24}$，所以$\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}$
$\frac{4}{9}=\frac{4×4}{9×4}=\frac{16}{36}$
$\frac{5}{12}=\frac{5×3}{12×3}=\frac{15}{36}$
因为$\frac{16}{36}＞\frac{15}{36}$，所以$\frac{4}{9}＞\frac{5}{12}$
$\frac{1}{6}=\frac{1×2}{6×2}=\frac{2}{12}$
$\frac{3}{4}=\frac{3×3}{4×3}=\frac{9}{12}$
$\frac{7}{12}=\frac{7}{12}$
因为$\frac{2}{12}＜\frac{7}{12}＜\frac{9}{12}$，所以$\frac{1}{6}＜\frac{7}{12}＜\frac{3}{4}$
解析
【分析】
要比较异分母分数的大小，核心思路是先通分，将异分母分数转化为同分母分数，再通过比较分子大小来确定原分数的大小。通分的关键是找到各组分母的最小公倍数，再依据分数的基本性质（分子分母同时乘一个不为0的数，分数大小不变）进行转化：
1. 对于$\frac{5}{6}$和$\frac{7}{8}$，先找6和8的最小公倍数24，再把两个分数化为分母是24的分数；
2. 对于$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$，找9和12的最小公倍数36，转化为分母是36的分数；
3. 对于$\frac{1}{6}$、$\frac{3}{4}$和$\frac{7}{12}$，找6、4、12的最小公倍数12，转化为分母是12的分数，最后分别比较分子大小即可得出结论。
【解析】
1. 比较$\frac{5}{6}$和$\frac{7}{8}$：
$\frac{5}{6}=\frac{5×4}{6×4}=\frac{20}{24}$
$\frac{7}{8}=\frac{7×3}{8×3}=\frac{21}{24}$
因为$\frac{20}{24}＜\frac{21}{24}$，所以$\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}$
2. 比较$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$：
$\frac{4}{9}=\frac{4×4}{9×4}=\frac{16}{36}$
$\frac{5}{12}=\frac{5×3}{12×3}=\frac{15}{36}$
因为$\frac{16}{36}＞\frac{15}{36}$，所以$\frac{4}{9}＞\frac{5}{12}$
3. 比较$\frac{1}{6}$、$\frac{3}{4}$和$\frac{7}{12}$：
$\frac{1}{6}=\frac{1×2}{6×2}=\frac{2}{12}$
$\frac{3}{4}=\frac{3×3}{4×3}=\frac{9}{12}$
$\frac{7}{12}=\frac{7}{12}$
因为$\frac{2}{12}＜\frac{7}{12}＜\frac{9}{12}$，所以$\frac{1}{6}＜\frac{7}{12}＜\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}$；$\frac{4}{9}＞\frac{5}{12}$；$\frac{1}{6}＜\frac{7}{12}＜\frac{3}{4}$
【知识点】
分数通分、异分母分数比较大小、最小公倍数
【点评】
本题是基础的分数运算题型，重点考察异分母分数比较大小的方法，核心是运用分数的基本性质进行通分。解题时找准分母的最小公倍数能简化通分过程，有助于巩固分数的基本性质和大小比较的核心逻辑。
【难度系数】
0.8
要比较异分母分数的大小，核心思路是先通分，将异分母分数转化为同分母分数，再通过比较分子大小来确定原分数的大小。通分的关键是找到各组分母的最小公倍数，再依据分数的基本性质（分子分母同时乘一个不为0的数，分数大小不变）进行转化：
1. 对于$\frac{5}{6}$和$\frac{7}{8}$，先找6和8的最小公倍数24，再把两个分数化为分母是24的分数；
2. 对于$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$，找9和12的最小公倍数36，转化为分母是36的分数；
3. 对于$\frac{1}{6}$、$\frac{3}{4}$和$\frac{7}{12}$，找6、4、12的最小公倍数12，转化为分母是12的分数，最后分别比较分子大小即可得出结论。
【解析】
1. 比较$\frac{5}{6}$和$\frac{7}{8}$：
$\frac{5}{6}=\frac{5×4}{6×4}=\frac{20}{24}$
$\frac{7}{8}=\frac{7×3}{8×3}=\frac{21}{24}$
因为$\frac{20}{24}＜\frac{21}{24}$，所以$\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}$
2. 比较$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$：
$\frac{4}{9}=\frac{4×4}{9×4}=\frac{16}{36}$
$\frac{5}{12}=\frac{5×3}{12×3}=\frac{15}{36}$
因为$\frac{16}{36}＞\frac{15}{36}$，所以$\frac{4}{9}＞\frac{5}{12}$
3. 比较$\frac{1}{6}$、$\frac{3}{4}$和$\frac{7}{12}$：
$\frac{1}{6}=\frac{1×2}{6×2}=\frac{2}{12}$
$\frac{3}{4}=\frac{3×3}{4×3}=\frac{9}{12}$
$\frac{7}{12}=\frac{7}{12}$
因为$\frac{2}{12}＜\frac{7}{12}＜\frac{9}{12}$，所以$\frac{1}{6}＜\frac{7}{12}＜\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}$；$\frac{4}{9}＞\frac{5}{12}$；$\frac{1}{6}＜\frac{7}{12}＜\frac{3}{4}$
【知识点】
分数通分、异分母分数比较大小、最小公倍数
【点评】
本题是基础的分数运算题型，重点考察异分母分数比较大小的方法，核心是运用分数的基本性质进行通分。解题时找准分母的最小公倍数能简化通分过程，有助于巩固分数的基本性质和大小比较的核心逻辑。
【难度系数】
0.8
4. 小波在 $100$ m 跑步训练中，第一次用了$\frac{3}{11}$分钟，第二次用了 $0.28$ 分钟，第三次用了$\frac{8}{25}$分钟。他哪次的成绩最好？
答案
$\frac{3}{11}≈0.273$分钟
$\frac{8}{25}=8÷25=0.32$分钟
$0.273＜0.28＜0.32$
答：他第一次的成绩最好。
$\frac{8}{25}=8÷25=0.32$分钟
$0.273＜0.28＜0.32$
答：他第一次的成绩最好。
解析
【分析】
要判断哪次成绩最好，需明确跑步训练中用时越短，成绩越好。因此需要将三次用时的不同形式（分数和小数）统一为同一种形式（这里统一为小数），再比较三个时间的大小，用时最短的那次成绩就是最好的。具体思路为：先把分数形式的用时转化为小数，再将三个小数进行大小比较，找出最小数值对应的那次训练。
【解析】
$\frac{3}{11}≈0.273$分钟
$\frac{8}{25}=8÷25=0.32$分钟
比较三个时间的大小：$0.273＜0.28＜0.32$
因为跑步用时越短成绩越好，所以第一次用时最短。
答：他第一次的成绩最好。
【答案】
第一次的成绩最好
【知识点】
分数与小数互化，小数大小比较
【点评】
本题考查分数与小数的互化及大小比较在实际生活中的应用，核心是理解“跑步用时越短成绩越好”的实际逻辑，通过统一数的形式完成大小比较，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要判断哪次成绩最好，需明确跑步训练中用时越短，成绩越好。因此需要将三次用时的不同形式（分数和小数）统一为同一种形式（这里统一为小数），再比较三个时间的大小，用时最短的那次成绩就是最好的。具体思路为：先把分数形式的用时转化为小数，再将三个小数进行大小比较，找出最小数值对应的那次训练。
【解析】
$\frac{3}{11}≈0.273$分钟
$\frac{8}{25}=8÷25=0.32$分钟
比较三个时间的大小：$0.273＜0.28＜0.32$
因为跑步用时越短成绩越好，所以第一次用时最短。
答：他第一次的成绩最好。
【答案】
第一次的成绩最好
【知识点】
分数与小数互化，小数大小比较
【点评】
本题考查分数与小数的互化及大小比较在实际生活中的应用，核心是理解“跑步用时越短成绩越好”的实际逻辑，通过统一数的形式完成大小比较，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
5. 游戏趣味 大课间活动时，刘老师和 $60$ 名同学在操场上做游戏。同学们面向刘老师站成一横排，刘老师先让同学们从左往右按照 $1$，$2$，$3$，$4$，$···$，$59$，$60$ 的顺序依次报数，再让所报的数是 $4$ 的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是 $6$ 的倍数的同学向后转。请问：现在面向刘老师的同学还有多少名？
答案
60÷4=15（名）
60÷6=10（名）
60÷12=5（名）
(15-5)+(10-5)=15（名）
60-15=45（名）
答：现在面向刘老师的同学还有45名。
60÷6=10（名）
60÷12=5（名）
(15-5)+(10-5)=15（名）
60-15=45（名）
答：现在面向刘老师的同学还有45名。
解析
【分析】
我们需要先明确两次向后转的同学中存在重复群体：既是4的倍数又是6的倍数的同学（即12的倍数），这类同学转了两次，最终会面向刘老师。解题思路如下：
1. 先分别算出报数是4的倍数、6的倍数的同学总数；
2. 算出重复的（12的倍数）同学数量，因为这部分同学被重复统计了；
3. 计算只转了一次的同学数量（即仅4的倍数或仅6的倍数的同学），这类同学最终背向刘老师；
4. 用总人数减去只转了一次的人数，得到面向刘老师的同学数量。
【解析】
1. 计算报数是4的倍数的同学数量：
$60÷4=15$（名）
2. 计算报数是6的倍数的同学数量：
$60÷6=10$（名）
3. 计算既是4的倍数又是6的倍数（即12的倍数，4和6的最小公倍数是12）的同学数量：
$60÷12=5$（名）
4. 计算只转了一次的同学数量（仅转一次的同学最终背向刘老师）：
$(15-5)+(10-5)=15$（名）
5. 计算面向刘老师的同学数量：
$60-15=45$（名）
答：现在面向刘老师的同学还有45名。
【答案】
45名
【知识点】
容斥原理应用，最小公倍数计算，整数除法
【点评】
本题考查容斥原理在实际问题中的应用，核心是理清重复群体的状态变化，避免重复计算。需要学生理解转体次数与最终朝向的关系，掌握最小公倍数的求法来确定重复群体，锻炼逻辑分析和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
我们需要先明确两次向后转的同学中存在重复群体：既是4的倍数又是6的倍数的同学（即12的倍数），这类同学转了两次，最终会面向刘老师。解题思路如下：
1. 先分别算出报数是4的倍数、6的倍数的同学总数；
2. 算出重复的（12的倍数）同学数量，因为这部分同学被重复统计了；
3. 计算只转了一次的同学数量（即仅4的倍数或仅6的倍数的同学），这类同学最终背向刘老师；
4. 用总人数减去只转了一次的人数，得到面向刘老师的同学数量。
【解析】
1. 计算报数是4的倍数的同学数量：
$60÷4=15$（名）
2. 计算报数是6的倍数的同学数量：
$60÷6=10$（名）
3. 计算既是4的倍数又是6的倍数（即12的倍数，4和6的最小公倍数是12）的同学数量：
$60÷12=5$（名）
4. 计算只转了一次的同学数量（仅转一次的同学最终背向刘老师）：
$(15-5)+(10-5)=15$（名）
5. 计算面向刘老师的同学数量：
$60-15=45$（名）
答：现在面向刘老师的同学还有45名。
【答案】
45名
【知识点】
容斥原理应用，最小公倍数计算，整数除法
【点评】
本题考查容斥原理在实际问题中的应用，核心是理清重复群体的状态变化，避免重复计算。需要学生理解转体次数与最终朝向的关系，掌握最小公倍数的求法来确定重复群体，锻炼逻辑分析和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
