1. (2024 河南，22)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 $ h(m) $ 满足关系式 $ h = -5t^2 + v_0t $，其中 $ t(s) $ 是物体运动的时间，$ v_0(m/s) $ 是物体被发射时的速度. 社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1) 小球被发射后
(2) 若小球离地面的最大高度为 20 m，求小球被发射时的速度.
(3) 按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同. 小明说：“这两次间隔的时间为 3 s.”已知实验楼高 15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
(1) 小球被发射后
$\frac{v_0}{10}$
s 时离地面的高度最大(用含 $ v_0 $ 的式子表示).(2) 若小球离地面的最大高度为 20 m，求小球被发射时的速度.
(3) 按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同. 小明说：“这两次间隔的时间为 3 s.”已知实验楼高 15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
答案
(1$\frac{v_0}{10}$；
(2) $20$m/s；
(3) 错误。
(2) $20$m/s；
(3) 错误。
解析
(1) 对于二次函数 $h = -5t^2 + v_0t$，其最大值出现在对称轴上，对称轴的公式为 $t = -\frac{b}{2a}$。在这里，$a = -5$，$b = v_0$，所以 $t = \frac{v_0}{10}$。
故答案为$\frac{v_0}{10}$；
(2) 将 $t = \frac{v_0}{10}$ 代入 $h = -5t^2 + v_0t$，得到最大高度 $h = \frac{v_0^2}{20}$。
由题意，这个高度等于 20 m，即$\frac{v_0^2}{20} = 20$，
解得$v_0 = \pm 20$，
由于速度应为正数，所以 $v_0 = 20$ m/s。
(3) 将 $v_0 = 20$ 代入 $h = -5t^2 + 20t$，并设实验楼高度为 15 m，得到方程$-5t^2 + 20t = 15$，
即$t^{2} - 4t + 3 = 0$。
解得$t = 1$或$t = 3$。
两次的时间间隔为$t = 3 - 1= 2$（s），小明的说法不正确，间隔时间为 2s，不是3s。
故答案为$\frac{v_0}{10}$；
(2) 将 $t = \frac{v_0}{10}$ 代入 $h = -5t^2 + v_0t$，得到最大高度 $h = \frac{v_0^2}{20}$。
由题意，这个高度等于 20 m，即$\frac{v_0^2}{20} = 20$，
解得$v_0 = \pm 20$，
由于速度应为正数，所以 $v_0 = 20$ m/s。
(3) 将 $v_0 = 20$ 代入 $h = -5t^2 + 20t$，并设实验楼高度为 15 m，得到方程$-5t^2 + 20t = 15$，
即$t^{2} - 4t + 3 = 0$。
解得$t = 1$或$t = 3$。
两次的时间间隔为$t = 3 - 1= 2$（s），小明的说法不正确，间隔时间为 2s，不是3s。
2. (2025 洛阳一模)学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为 25 m，其余部分用总长 36 m 的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个 1 m 宽的通道(通道不用铝合金材料).
(1) 设自行车车棚的面积为 $ S m^2 $，车棚的宽度 $ AB $ 为 $ x m $，求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 若车棚面积需达到 $ 108 m^2 $，求此时自行车车棚的长和宽.
(3) 学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度 $ AB $ 为 8 m 时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求. 已知此时停车区的宽度($ AE $)是充电区宽度($ DE $)的 1.5 倍，停车区和充电区的面积各是多少？
(1) 设自行车车棚的面积为 $ S m^2 $，车棚的宽度 $ AB $ 为 $ x m $，求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 若车棚面积需达到 $ 108 m^2 $，求此时自行车车棚的长和宽.
(3) 学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度 $ AB $ 为 8 m 时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求. 已知此时停车区的宽度($ AE $)是充电区宽度($ DE $)的 1.5 倍，停车区和充电区的面积各是多少？
答案
1. （1）
解：已知$AB = xm$，因为铝合金材料总长$36m$，且有$3$个$1m$宽的通道，所以$BC=(36 + 3-3x)m=(39 - 3x)m$。
根据矩形面积公式$S = AB× BC$，可得$S=x(39 - 3x)=-3x^{2}+39x$。
又因为$0\lt39 - 3x\leqslant25$，解不等式$39 - 3x\gt0$得$x\lt13$；解不等式$39 - 3x\leqslant25$得$3x\geqslant39 - 25$，$3x\geqslant14$，$x\geqslant\frac{14}{3}$。
所以自变量$x$的取值范围是$\frac{14}{3}\leqslant x\lt13$。
2. （2）
解：当$S = 108$时，即$-3x^{2}+39x = 108$。
方程两边同时除以$-3$得$x^{2}-13x + 36 = 0$。
分解因式得$(x - 4)(x - 9)=0$。
则$x - 4 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=9$。
当$x = 4$时，$BC=39-3x=39 - 3×4 = 27\gt25$（舍去）。
当$x = 9$时，$BC=39 - 3x=39 - 3×9 = 12$。
所以车棚的长为$12m$，宽为$9m$。
3. （3）
解：当$x = 8$时，$BC=39 - 3x=39 - 3×8 = 15m$。
设$DE = ym$，则$AE = 1.5ym$，$AE+DE=AD$，$AD = BC = 15m$，所以$y + 1.5y=15$。
合并同类项得$2.5y=15$，解得$y = 6$，$1.5y = 9$。
停车区面积$S_{1}=AE× AB=9×8 = 72m^{2}$。
充电区面积$S_{2}=DE× AB=6×8 = 48m^{2}$。
综上，（1）$S=-3x^{2}+39x$，$\frac{14}{3}\leqslant x\lt13$；（2）长为$12m$，宽为$9m$；（3）停车区面积$72m^{2}$，充电区面积$48m^{2}$。
解：已知$AB = xm$，因为铝合金材料总长$36m$，且有$3$个$1m$宽的通道，所以$BC=(36 + 3-3x)m=(39 - 3x)m$。
根据矩形面积公式$S = AB× BC$，可得$S=x(39 - 3x)=-3x^{2}+39x$。
又因为$0\lt39 - 3x\leqslant25$，解不等式$39 - 3x\gt0$得$x\lt13$；解不等式$39 - 3x\leqslant25$得$3x\geqslant39 - 25$，$3x\geqslant14$，$x\geqslant\frac{14}{3}$。
所以自变量$x$的取值范围是$\frac{14}{3}\leqslant x\lt13$。
2. （2）
解：当$S = 108$时，即$-3x^{2}+39x = 108$。
方程两边同时除以$-3$得$x^{2}-13x + 36 = 0$。
分解因式得$(x - 4)(x - 9)=0$。
则$x - 4 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=9$。
当$x = 4$时，$BC=39-3x=39 - 3×4 = 27\gt25$（舍去）。
当$x = 9$时，$BC=39 - 3x=39 - 3×9 = 12$。
所以车棚的长为$12m$，宽为$9m$。
3. （3）
解：当$x = 8$时，$BC=39 - 3x=39 - 3×8 = 15m$。
设$DE = ym$，则$AE = 1.5ym$，$AE+DE=AD$，$AD = BC = 15m$，所以$y + 1.5y=15$。
合并同类项得$2.5y=15$，解得$y = 6$，$1.5y = 9$。
停车区面积$S_{1}=AE× AB=9×8 = 72m^{2}$。
充电区面积$S_{2}=DE× AB=6×8 = 48m^{2}$。
综上，（1）$S=-3x^{2}+39x$，$\frac{14}{3}\leqslant x\lt13$；（2）长为$12m$，宽为$9m$；（3）停车区面积$72m^{2}$，充电区面积$48m^{2}$。
解析
