例1 (2025 绥化)如图, 在菱形 $ABCD$ 中, $AB = 4$, 对角线 $BD = 4\sqrt{3}$, 点 $P$ 是边 $CD$ 的中点, 点 $M$ 是对角线 $BD$ 上的一个动点, 连接 $PM$, $CM$, 则 $PM + CM$ 的最小值是.

2√3

在菱形ABCD中，对角线BD为对称轴，点C关于BD的对称点为A。则CM=AM，故PM+CM=PM+AM。当A、M、P三点共线时，PM+AM最小，即AP的长。
由菱形性质，AB=4，BD=4√3，设BD中点为O，BO=2√3。在Rt△AOB中，AO=√(AB²-BO²)=√(16-12)=2，故A(0,2)，C(0,-2)，D(2√3,0)。
P为CD中点，C(0,-2)，D(2√3,0)，则P(√3,-1)。
AP=√[(√3-0)²+(-1-2)²]=√(3+9)=2√3。

1. (2025 广州)如图, $\odot O$ 的直径 $AB = 4$, $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 中点, 点 $D$ 在 $\overset{\frown}{BC}$ 上, $\overset{\frown}{BD} = \frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$, 点 $P$ 是 $AB$ 上的一个动点, 则 $\triangle PCD$ 周长的最小值是 ()

A.$2 + \sqrt{7}$
B.$2 + 2\sqrt{3}$
C.$3 + \sqrt{7}$
D.$4 + 4\sqrt{3}$

B

连接OC、OD，由AB=4得半径为2。C为$\overset{\frown}{AB}$中点，故$\angle AOC=\angle BOC=90°$，C(0,2)。$\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{3}\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{BC}=90°$，则$\overset{\frown}{BD}=30°$，$\angle BOD=30°$，D($\sqrt{3}$,1)。作C关于AB对称点C'(0,-2)，则PC+PD最小值为C'D=$\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(1+2)^2}=2\sqrt{3}$。CD=$\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(1-2)^2}=2$。周长最小值为$2+2\sqrt{3}$。

2. 如图, $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形, $AC = BC = 4$, $\angle BCD = 15^{\circ}$, $P$ 为射线 $CD$ 上的一个动点, 连接 $PA$, $PB$. 则 $|PA - PB|$ 的最大值为.

4

作点B关于射线CD的对称点B'，连接PB'、AB'、CB'。由对称性质知PB=PB'，则|PA - PB|=|PA - PB'|。根据三角形三边关系，|PA - PB'|≤AB'，当P、A、B'三点共线时取等号。
∵∠BCD=15°，∴∠BCB'=2∠BCD=30°。
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∴AC=CB'=4，∠ACB=90°，则∠ACB'=∠ACB - ∠BCB'=60°。
∴△ACB'为等边三角形，AB'=AC=4。
故|PA - PB|的最大值为4。

3. (2025 许昌三模)如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 4$, $BC = 8$, $P$, $Q$ 分别是直线 $BC$, $AB$ 上的两个动点, $AE = 2$, $\triangle AEQ$ 沿 $EQ$ 翻折形成 $\triangle FEQ$, 连接 $PF$, $PD$, 则 $PF + PD$ 的最小值是.

8

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(4,0)，C(4,8)，D(0,8)，E在AD上，AE=2，故E(0,2)。△AEQ翻折后FE=AE=2，F在以E(0,2)为圆心，2为半径的圆上。P在直线BC(x=4)上，设P(4,p)。PF+PD最小值即P到D(0,8)与P到圆E上点距离之和的最小值，等价于(PD+PE)-2（PE为P到圆心E距离）。作D关于x=4的对称点D'(8,8)，PD+PE最小值为D'E距离，D'E=√[(8-0)²+(8-2)²]=10，故PF+PD最小值为10-2=8。

例2 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 3\sqrt{2}$, $AC = 2$, 以 $BC$ 为边作 $Rt\triangle BCD$, 且 $BC = BD$, 点 $D$ 与点 $A$ 在 $BC$ 的两侧, 则 $AD$ 的最大值为 ()

A.$2 + 3\sqrt{2}$
B.$6 + 2\sqrt{2}$
C.$5$
D.$8$

D

4. (2025 郑州一模)如图, 在平面直角坐标系中, 点 $B$ 的坐标为 $(2, 0)$, 点 $M$ 为 $x$ 轴上方一动点, 且 $OM = 2$, 以点 $M$ 为直角顶点构造等腰直角三角形 $BMP$, 当线段 $OP$ 取最大值时, $OP$ 的长为, 点 $M$ 的坐标为.

$ 2 + 2\sqrt{2} $；$ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $

设点$ M(x,y) $，由$ OM=2 $得$ x^2 + y^2 = 4 $（$ y ＞ 0 $）。以$ M $为直角顶点的等腰直角三角形$ BMP $，将向量$ \overrightarrow{MB} $逆时针旋转$ 90° $得$ \overrightarrow{MP} $。$ \overrightarrow{MB}=(2 - x, -y) $，旋转后$ \overrightarrow{MP}=(y, 2 - x) $，则$ P(x + y, -x + y + 2) $。$ OP^2=(x + y)^2 + (-x + y + 2)^2 = 4(3 - x + y) $，要使$ OP $最大，需$ y - x $最大。设$ M(2\cos\theta, 2\sin\theta) $（$ 0 ＜ \theta ＜ \pi $），则$ y - x = 2\sin\theta - 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta - 45°) $，最大值为$ 2\sqrt{2} $，此时$ \theta = 135° $，$ M(-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $，$ OP = 2\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 2 + 2\sqrt{2} $。