2. 问题呈现
△CAB 和△CDE 都是直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90°,CB = mCA,CE = mCD,连接 AD,BE,探究 AD 与 BE 的关系.
问题探究
(1)如图 1,当 m = 1 时,AD 与 BE 的位置关系为
(2)如图 2,当 m≠1 时,(1)中的结论是否成立? 若成立,给出证明;若不成立,写出正确的结论,并说明理由.
拓展应用
(3)将△CDE 绕点 C 旋转,使 A,D,E 三点恰好在同一直线上,若 DE:AD:AB = 1:2:5,直接写出 m 的值.
△CAB 和△CDE 都是直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90°,CB = mCA,CE = mCD,连接 AD,BE,探究 AD 与 BE 的关系.
问题探究
(1)如图 1,当 m = 1 时,AD 与 BE 的位置关系为
AD⊥BE
;AD 与 BE 的数量关系为AD=BE
.(2)如图 2,当 m≠1 时,(1)中的结论是否成立? 若成立,给出证明;若不成立,写出正确的结论,并说明理由.
拓展应用
(3)将△CDE 绕点 C 旋转,使 A,D,E 三点恰好在同一直线上,若 DE:AD:AB = 1:2:5,直接写出 m 的值.
答案
(1) AD⊥BE；AD=BE
(2) 不成立，结论：AD⊥BE，BE=mAD。
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE。
∵CB=mCA，CE=mCD，∴$\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CD}=m$，
∴△ACD∽△BCE，∴$\frac{BE}{AD}=m$，∠CBE=∠CAD。
设AD与BC交于点F，∵∠AFB=∠CFD，∠CAD=∠CBE，
∴∠AFB=∠ACB=90°，∴AD⊥BE。
(3) 2或$\sqrt{6}$
(2) 不成立，结论：AD⊥BE，BE=mAD。
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE。
∵CB=mCA，CE=mCD，∴$\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CD}=m$，
∴△ACD∽△BCE，∴$\frac{BE}{AD}=m$，∠CBE=∠CAD。
设AD与BC交于点F，∵∠AFB=∠CFD，∠CAD=∠CBE，
∴∠AFB=∠ACB=90°，∴AD⊥BE。
(3) 2或$\sqrt{6}$
