例1 (人教九上 P60 改编)如图,M 是正方形 ABCD 中 CD 边上的任意一点,以点 A 为中心,把△ADM 顺时针旋转 90°,得到△ABE.在 BC 边上取一点 N,使得∠MAN = 45°.
(1)求证:△MAN≌△EAN;
(2)探究 BN,DM,MN 之间的数量关系,并证明.

(1)见解析；(2)MN=BN+DM，证明见解析.

(1)∵△ADM顺时针旋转90°得到△ABE，∴△ADM≌△ABE，∴AE=AM，∠BAE=∠DAM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠ABC=180°，即E、B、C三点共线.
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，∴∠BAN+∠DAM=90°-∠MAN=45°.
∵∠BAE=∠DAM，∴∠BAE+∠BAN=∠EAN=45°，即∠EAN=∠MAN.
在△MAN和△EAN中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AM\\ ∠EAN=∠MAN\\ AN=AN\end{array}\right.$，∴△MAN≌△EAN(SAS).
(2)MN=BN+DM.
证明：由(1)知△MAN≌△EAN，∴MN=EN.
∵EN=EB+BN，且EB=DM，∴EN=DM+BN，∴MN=BN+DM.

变式 如图,在四边形 ABCD 中,AB = AD,∠BAD = 120°,∠B + ∠D = 180°,点 N,M 分别在边 BC,CD 上,∠MAN = 60°,探究 BN,DM,MN 之间的数量关系,并证明.

MN=BN+DM

将△ABN绕点A逆时针旋转120°，使AB与AD重合，得△ADN'。由旋转性质得：AN=AN'，BN=DN'，∠BAN=∠DAN'，∠ADN'=∠B。
∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADN'+∠ADC=180°，故N'、D、M共线。
∵∠BAD=120°，∠MAN=60°，∴∠BAN+∠DAM=60°，则∠DAN'+∠DAM=∠MAN'=60°=∠MAN。
在△AMN和△AMN'中，AN=AN'，∠MAN=∠MAN'，AM=AM，∴△AMN≌△AMN'(SAS)，∴MN=MN'。
∵MN'=DN'+DM=BN+DM，∴MN=BN+DM。