例2 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 6$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，连接 $AP$，$BP$，$CP$。若 $\angle CBP = \angle ACP$，则线段 $PA$ 的最小值为。

2

以C为原点，BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立坐标系，得C(0,0)，A(0,4)，B(6,0)。设P(x,y)，由∠CBP=∠ACP，得tan∠ACP=tan∠CBP，即$\frac{x}{y}=\frac{y}{6-x}$，整理得$(x-3)^2+y^2=9$，故P在以(3,0)为圆心，3为半径的圆上。A(0,4)到圆心(3,0)距离为$\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=5$，PA最小值为$5-3=2$。

训练 5. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AD = 5$，$AB = 3$，点 $E$ 在边 $AB$ 上，且 $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{1}{2}$。在矩形内找一点 $P$，使得 $\angle BPE = 45^{\circ}$，连接 $PD$，则线段 $PD$ 的最小值为。

$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$

1. 首先确定点$E$的坐标（建立平面直角坐标系）：
以$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
已知$AD = BC = 5$，$AB = 3$，且$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，则$AE = 1$，$EB = 2$，所以$E(0,2)$，$B(0,0)$。
2. 然后根据圆周角定理确定点$P$的轨迹：
因为$\angle BPE = 45^{\circ}$，根据圆周角定理$\angle BPE=\frac{1}{2}\angle BOE$（$O$为圆心），所以点$P$在以点$O$为圆心，$OB$为半径的圆上（$O$在$\angle BPE$所对弧的圆心位置）。设圆心$O(x,y)$，由$\angle BPE = 45^{\circ}$，可知$\triangle BOE$是等腰直角三角形（圆心角$\angle BOE = 90^{\circ}$，半径$r=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$），且$O$点坐标为$(2,2)$（$OB = OE$，$OB⊥ OE$）。
3. 接着求$D$点坐标和$OD$的长度：
已知$D(5,3)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$，对于$O(2,2)$和$D(5,3)$，则$OD=\sqrt{(5 - 2)^{2}+(3 - 2)^{2}}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$。
4. 最后求$PD$的最小值：
根据圆的性质，$PD$的最小值为$OD-r$（$r$为圆$O$半径）。
已知$r = 2\sqrt{2}$，所以$PD_{\min}=\sqrt{10}-2\sqrt{2}$。
故线段$PD$的最小值为$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$。

6. 如图，$P$ 是边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 内的一个动点，且满足 $\angle PBC + \angle PDC = 45^{\circ}$，则 $CP$ 的最小值为()

A.$2 - \sqrt{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{2} - 1$

A

7. (2024 河南，15) 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CA = CB = 3$，线段 $CD$ 绕点 $C$ 在平面内旋转，过点 $B$ 作 $AD$ 的垂线，交射线 $AD$ 于点 $E$。若 $CD = 1$，则 $AE$ 的最大值为，最小值为。

2√2+1，2√2-1

以C为原点建立坐标系，设C(0,0)，A(3,0)，B(0,3)，D在⊙C：x²+y²=1上，坐标为(cosθ,sinθ)。E为过B作AD垂线的垂足，∠AEB=90°。通过坐标法联立AD与BE方程，求得E点坐标，化简AE表达式，结合三角函数性质及换元法，求得AE的最值。当D坐标为(1/3,±2√2/3)时，AE取最值，最大值为2√2+1，最小值为2√2-1。