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1. 下列四组线段中,能构成直角三角形的是(
A.$a = 1$,$b = 2$,$c = 3$
B.$a = 2$,$b = 3$,$c = 4$
C.$a = 5$,$b = 12$,$c = 13$
D.$a = 7$,$b = 8$,$c = 9$
C
)A.$a = 1$,$b = 2$,$c = 3$
B.$a = 2$,$b = 3$,$c = 4$
C.$a = 5$,$b = 12$,$c = 13$
D.$a = 7$,$b = 8$,$c = 9$
答案
C
解析
要判断几条线段能否构成直角三角形，需验证是否满足勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为最长边）。
A. $1^2 + 2^2 = 5 \neq 3^2$，不满足；
B. $2^2 + 3^2 = 13 \neq 4^2$，不满足；
C. $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$，满足；
D. $7^2 + 8^2 = 113 \neq 9^2$，不满足。
A. $1^2 + 2^2 = 5 \neq 3^2$，不满足；
B. $2^2 + 3^2 = 13 \neq 4^2$，不满足；
C. $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$，满足；
D. $7^2 + 8^2 = 113 \neq 9^2$，不满足。
2. 下列实数：$\frac{20}{7}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt[3]{-8}$,$\sqrt{25}$,$2\pi$,$0.1$,$3.23223222322223…$(相邻两个$3之间依次多一个2$),其中无理数有(
A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个
B
)A.$2$ 个
B.$3$ 个
C.$4$ 个
D.$5$ 个
答案
B
解析
$\frac{20}{7}$是有理数，因为它可以表示为两个整数的比。
$\sqrt{10}$是无理数，因为它不能表示为两个整数的比，且是无限不循环小数。
$\sqrt[3]{-8} = -2$是有理数，因为它是一个整数。
$\sqrt{25} = 5$是有理数，因为它是一个整数。
$2\pi$是无理数，因为$\pi$是一个无理数，与有理数相乘仍然是无理数。
$0.1$是有理数，因为它可以表示为$\frac{1}{10}$，是两个整数的比，同时是有限小数。
$3.23223222322223\ldots$（相邻两个$3$之间依次多一个$2$）是无理数，因为它是一个无限不循环小数。
所以无理数有：$\sqrt{10}$，$2\pi$，$3.23223222322223\ldots$共$3$个。
$\sqrt{10}$是无理数，因为它不能表示为两个整数的比，且是无限不循环小数。
$\sqrt[3]{-8} = -2$是有理数，因为它是一个整数。
$\sqrt{25} = 5$是有理数，因为它是一个整数。
$2\pi$是无理数，因为$\pi$是一个无理数，与有理数相乘仍然是无理数。
$0.1$是有理数，因为它可以表示为$\frac{1}{10}$，是两个整数的比，同时是有限小数。
$3.23223222322223\ldots$（相邻两个$3$之间依次多一个$2$）是无理数，因为它是一个无限不循环小数。
所以无理数有：$\sqrt{10}$，$2\pi$，$3.23223222322223\ldots$共$3$个。
3. 若$\frac{\sqrt{x + 1}}{2x + 1}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是(
A.$x\geq -1$
B.$x\neq -\frac{1}{2}$
C.$x\geq -1$ 且 $x\neq -\frac{1}{2}$
D.以上都不正确
C
)A.$x\geq -1$
B.$x\neq -\frac{1}{2}$
C.$x\geq -1$ 且 $x\neq -\frac{1}{2}$
D.以上都不正确
答案
C
解析
要使$\frac{\sqrt{x + 1}}{2x + 1}$在实数范围内有意义，需满足以下两个条件：
1. 分子的二次根式$\sqrt{x + 1}$有意义，即$x + 1 \geq 0$，解得$x \geq -1$。
2. 分母$2x + 1 \neq 0$，即$x \neq -\frac{1}{2}$。
综合两个条件，$x$的取值范围是$x \geq -1$且$x \neq -\frac{1}{2}$。
1. 分子的二次根式$\sqrt{x + 1}$有意义，即$x + 1 \geq 0$，解得$x \geq -1$。
2. 分母$2x + 1 \neq 0$，即$x \neq -\frac{1}{2}$。
综合两个条件，$x$的取值范围是$x \geq -1$且$x \neq -\frac{1}{2}$。
4. (1)$\frac{1}{4}$的算术平方根是
(2)已知 $a$,$b$,$c$ 在数轴上的位置如图所示,化简：$\sqrt{a^{2}} - |a + b| + \sqrt{(a - c)^{2}} + |b + c| = $
$\frac{1}{2}$
,$-8$ 的立方根是$-2$
；(2)已知 $a$,$b$,$c$ 在数轴上的位置如图所示,化简：$\sqrt{a^{2}} - |a + b| + \sqrt{(a - c)^{2}} + |b + c| = $
$-a$
.答案
(1)$\frac{1}{2}$，$-2$；
(2)$-a$
(2)$-a$
解析
（1）
求$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$。
求$-8$的立方根，因为$( - 2)^3=-8$，所以$-8$的立方根是$-2$。
（2）
由数轴可知$b\lt a\lt0\lt c$，且$\vert b\vert\gt\vert a\vert$，$\vert b\vert\gt c$。
对于$\sqrt{a^{2}}$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，可得$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=-a$。
对于$\vert a + b\vert$，因为$b\lt a\lt0$，所以$a + b\lt0$，则$\vert a + b\vert=-(a + b)=-a - b$。
对于$\sqrt{(a - c)^{2}}$，根据二次根式的性质可得$\sqrt{(a - c)^{2}}=\vert a - c\vert$，因为$a\lt c$，所以$a - c\lt0$，则$\vert a - c\vert=-(a - c)=c - a$。
对于$\vert b + c\vert$，因为$b\lt0$，$c\gt0$且$\vert b\vert\gt c$，所以$b + c\lt0$，则$\vert b + c\vert=-(b + c)=-b - c$。
将以上结果代入原式：
$\sqrt{a^{2}}-\vert a + b\vert+\sqrt{(a - c)^{2}}+\vert b + c\vert=-a-(-a - b)+(c - a)+(-b - c)$
$=-a + a + b + c - a - b - c=-a$
求$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$。
求$-8$的立方根，因为$( - 2)^3=-8$，所以$-8$的立方根是$-2$。
（2）
由数轴可知$b\lt a\lt0\lt c$，且$\vert b\vert\gt\vert a\vert$，$\vert b\vert\gt c$。
对于$\sqrt{a^{2}}$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，可得$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=-a$。
对于$\vert a + b\vert$，因为$b\lt a\lt0$，所以$a + b\lt0$，则$\vert a + b\vert=-(a + b)=-a - b$。
对于$\sqrt{(a - c)^{2}}$，根据二次根式的性质可得$\sqrt{(a - c)^{2}}=\vert a - c\vert$，因为$a\lt c$，所以$a - c\lt0$，则$\vert a - c\vert=-(a - c)=c - a$。
对于$\vert b + c\vert$，因为$b\lt0$，$c\gt0$且$\vert b\vert\gt c$，所以$b + c\lt0$，则$\vert b + c\vert=-(b + c)=-b - c$。
将以上结果代入原式：
$\sqrt{a^{2}}-\vert a + b\vert+\sqrt{(a - c)^{2}}+\vert b + c\vert=-a-(-a - b)+(c - a)+(-b - c)$
$=-a + a + b + c - a - b - c=-a$
5. 已知 $A$,$B$,$C$ 三地的位置如图所示,$\angle C = 90^{\circ}$,$A$,$C$ 两地的距离是 $4\mathrm{km}$,$B$,$C$ 两地的距离是 $3\mathrm{km}$,则 $A$,$B$ 两地的距离是
5
$\mathrm{km}$.答案
5
解析
根据题意，$\angle C = 90°$，$AC = 4 km$，$BC = 3 km$。
由于$\triangle ABC$是直角三角形，根据勾股定理有：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 km$。
由于$\triangle ABC$是直角三角形，根据勾股定理有：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 km$。
6. 计算：
(1)$\frac{3}{\sqrt{3}} - (\sqrt{3})^{2} + (\pi + 3)^{0} + 3^{-1} + |\sqrt{3} - 2|$；
(2)$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} - (\frac{1}{2})^{0}$；
(3)已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$,$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$,求 $x^{2} + 3xy + y^{2}$ 的值.
(1)$\frac{3}{\sqrt{3}} - (\sqrt{3})^{2} + (\pi + 3)^{0} + 3^{-1} + |\sqrt{3} - 2|$；
(2)$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} - (\frac{1}{2})^{0}$；
(3)已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$,$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$,求 $x^{2} + 3xy + y^{2}$ 的值.
答案
(1)$\frac{1}{3}$；(2)$1 + 3\sqrt{3}$；(3)$13$
解析
(1) $\frac{3}{\sqrt{3}} - (\sqrt{3})^{2} + (\pi + 3)^{0} + 3^{-1} + |\sqrt{3} - 2|$
$=\sqrt{3} - 3 + 1 + \frac{1}{3} + (2 - \sqrt{3})$
$=(\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (-3 + 1 + 2) + \frac{1}{3}$
$=0 + 0 + \frac{1}{3}$
$=\frac{1}{3}$
(2) $(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} - (\frac{1}{2})^{0}$
$=(3 - 1) + 3\sqrt{3} - 1$
$=2 + 3\sqrt{3} - 1$
$=1 + 3\sqrt{3}$
(3) 因为$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，所以$x + y = 2\sqrt{3}$，$xy = (\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2} = 3 - 2 = 1$
$x^{2} + 3xy + y^{2} = (x + y)^{2} + xy = (2\sqrt{3})^{2} + 1 = 12 + 1 = 13$
$=\sqrt{3} - 3 + 1 + \frac{1}{3} + (2 - \sqrt{3})$
$=(\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (-3 + 1 + 2) + \frac{1}{3}$
$=0 + 0 + \frac{1}{3}$
$=\frac{1}{3}$
(2) $(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} - (\frac{1}{2})^{0}$
$=(3 - 1) + 3\sqrt{3} - 1$
$=2 + 3\sqrt{3} - 1$
$=1 + 3\sqrt{3}$
(3) 因为$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，所以$x + y = 2\sqrt{3}$，$xy = (\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2} = 3 - 2 = 1$
$x^{2} + 3xy + y^{2} = (x + y)^{2} + xy = (2\sqrt{3})^{2} + 1 = 12 + 1 = 13$
7. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$ 各顶点的坐标分别为 $A(4,0)$,$B(-1,4)$,$C(-3,1)$.
(1)在图中作 $\triangle A'B'C'$,使 $\triangle A'B'C'$ 和 $\triangle ABC$ 关于 $x$ 轴对称；
(2)写出点 $A'$,$B'$,$C'$ 的坐标.
(1)在图中作 $\triangle A'B'C'$,使 $\triangle A'B'C'$ 和 $\triangle ABC$ 关于 $x$ 轴对称；
(2)写出点 $A'$,$B'$,$C'$ 的坐标.
答案
(1) 在图中作出点 $A(4, 0)$，$B(-1, 4)$，$C(-3, 1)$ 关于 $x$ 轴的对称点：
$A^{\prime}(4, 0)$，$B^{\prime}(-1, -4)$，$C^{\prime}(-3, -1)$，顺次连接 $A^{\prime}B^{\prime}$，$A^{\prime}C^{\prime}$，$B^{\prime}C^{\prime}$，得到 $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。
(2) 点 $A^{\prime}$，$B^{\prime}$，$C^{\prime}$ 的坐标分别为：
$A^{\prime}(4, 0)$，$B^{\prime}(-1, -4)$，$C^{\prime}(-3, -1)$。
$A^{\prime}(4, 0)$，$B^{\prime}(-1, -4)$，$C^{\prime}(-3, -1)$，顺次连接 $A^{\prime}B^{\prime}$，$A^{\prime}C^{\prime}$，$B^{\prime}C^{\prime}$，得到 $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$。
(2) 点 $A^{\prime}$，$B^{\prime}$，$C^{\prime}$ 的坐标分别为：
$A^{\prime}(4, 0)$，$B^{\prime}(-1, -4)$，$C^{\prime}(-3, -1)$。
8. 如图,折叠长方形纸片 $ABCD$ 的一边 $AD$,使点 $D$ 落在 $BC$ 边的点 $F$ 处,已知 $AB = 8\mathrm{cm}$,$BC = 10\mathrm{cm}$.
(1)求 $BF$ 的长；
(2)求 $EF$ 的长；
(3)求折痕 $AE$ 的长.
(1)求 $BF$ 的长；
(2)求 $EF$ 的长；
(3)求折痕 $AE$ 的长.
答案
(1) ∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，∠B=90°。折叠AD使D落在F处，∴AF=AD=10cm。在Rt△ABF中，AB=8cm，由勾股定理得：BF²=AF²-AB²=10²-8²=36，∴BF=6cm。
(2) 设EF=x，∵折叠性质得DE=EF=x，∴EC=CD-DE=8-x。∵BC=10cm，BF=6cm，∴FC=BC-BF=4cm。在Rt△EFC中，∠C=90°，由勾股定理得：FC²+EC²=EF²，即4²+(8-x)²=x²，解得x=5，∴EF=5cm。
(3) 在Rt△ADE中，AD=10cm，DE=EF=5cm，由勾股定理得：AE²=AD²+DE²=10²+5²=125，∴AE=5√5 cm。
(1) 6cm；(2) 5cm；(3) 5√5 cm。
(2) 设EF=x，∵折叠性质得DE=EF=x，∴EC=CD-DE=8-x。∵BC=10cm，BF=6cm，∴FC=BC-BF=4cm。在Rt△EFC中，∠C=90°，由勾股定理得：FC²+EC²=EF²，即4²+(8-x)²=x²，解得x=5，∴EF=5cm。
(3) 在Rt△ADE中，AD=10cm，DE=EF=5cm，由勾股定理得：AE²=AD²+DE²=10²+5²=125，∴AE=5√5 cm。
(1) 6cm；(2) 5cm；(3) 5√5 cm。
