3. 如图，，△OAB是等边三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O逆时针旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）

A.$150°$
B.$120°$
C.$90°$
D.$60°$

3.A

【分析】
要确定旋转角度，首先明确旋转角的定义：旋转前后，对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角。本题旋转中心为点O，OA旋转后对应边为OC，因此旋转角就是∠AOC。接下来结合已知条件计算∠AOC的度数即可：先根据等边三角形性质得到∠AOB的度数，再由垂直的定义得到∠BOC的度数，两者相加就是∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB = 60°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC = 90°，
∵△OAB绕点O逆时针旋转后OA与OC重合，
∴旋转角为∠AOC，
∴∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 90° = 150°，
即旋转角度是150°，故选A。
【答案】
A
【知识点】
旋转角的定义，等边三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题考查旋转相关的角度计算，解题关键是准确找到旋转角，再结合已知几何图形的性质计算角度，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7

4.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，连接AE，将$△ ADE$绕点A顺时针旋转$90°$，得到$△ ABF$，且$AF=2\sqrt{7}$，$DE=2$，则四边形AECF的面积为（）


A.$28$
B.$24$
C.$8\sqrt{6}$
D.$8\sqrt{7}$

4.B

【分析】
解题时先利用旋转的性质：旋转前后的图形全等，可得△ADE和△ABF全等，对应边AE=AF，且两个三角形面积相等，由此可推出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，将不规则图形面积转化为规则的正方形面积求解；再在直角△ADE中用勾股定理求出正方形边长的平方，也就是正方形的面积，即可得到所求四边形的面积。
【解析】
解：
∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF=2√7，$S_{△ ADE}=S_{△ ABF}$，
∴$S_{四边形AECF}=S_{正方形ABCD}$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2-DE^2=(2\sqrt{7})^2-2^2=28-4=24$，
∴$S_{正方形ABCD}=AD^2=24$，即$S_{四边形AECF}=24$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的性质完成不规则图形到规则正方形的面积转化，避免了复杂的面积计算，同时结合勾股定理即可快速得到结果，属于旋转性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7

5.在平面直角坐标系中，将点A(3,1)绕原点逆时针旋转$90°$，得到点B，则点B的坐标为（）

A.$(3,-1)$
B.$(-1,3)$
C.$(1,-3)$
D.$(-3,1)$

5.B

【分析】
要解决点绕原点逆时针旋转90°后的坐标问题，我们可以从两个方向思考：一是直接利用已总结的平面直角坐标系中点的旋转坐标变化规律求解；二是结合旋转的性质，通过构造全等三角形推导对应点的坐标，两种方法均符合现阶段知识要求，优先使用规律可更快得到结果。
【解析】
方法1：利用坐标旋转规律
在平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$90°$后，对应点的坐标规律为$(-y,x)$。
已知点$A$坐标为$(3,1)$，即$x=3$、$y=1$，代入规律可得旋转后点$B$的坐标为$(-1,3)$。
方法2：构造全等三角形推导
过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，过旋转后的点$B$作$BD⊥ y$轴于点$D$。
由旋转性质可得：$OA=OB$，$∠ AOB=90°$。
因为$∠ AOC+∠ BOC=90°$，$∠ BOD+∠ BOC=90°$，所以$∠ AOC=∠ BOD$。
又$∠ ACO=∠ BDO=90°$，可证$△ AOC≌△ BOD$（AAS）。
因此$BD=AC=1$，$OD=OC=3$，结合点$B$位于第二象限，可得点$B$坐标为$(-1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题属于基础考题，核心考查平面直角坐标系中点的旋转变换，既可以直接记忆旋转坐标规律快速解题，也可以通过构造全等三角形推导坐标，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

6.如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 50°$.将$△ ABC$绕点B逆时针旋转，得到$△ DBE$.若点A的对应点D恰好落在AC的延长线上，则$∠ ABD$的度数是.

6.$80°$

【分析】
解题时首先利用旋转的性质：旋转前后对应边相等，本题中△ABC绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点是D，可得AB=BD，即△ABD为等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠A=50°，可得到底角∠ADB的度数；最后利用三角形内角和为180°，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵ 将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点A的对应点为D，
∴ 由旋转的性质可得：AB=BD，
∴ △ABD是等腰三角形，
∴ ∠ADB = ∠A = 50°，
在△ABD中，根据三角形内角和定理：
∠ABD = 180° - ∠A - ∠ADB = 180° - 50° - 50° = 80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是抓住旋转前后对应边相等的性质，转化为等腰三角形的角度计算问题，只要熟练掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

7.如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$40°$，得到$△ A'B'C$，连接$AA'$.若$AC ⊥ A'B'$，则$∠ AA'B'$的度数为。

7.$20°$

【分析】
解题时先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。首先由旋转得到AC=A'C，旋转角∠ACA'=40°，可求出等腰△ACA'的底角∠CA'A的度数；再结合AC⊥A'B'的条件，在直角三角形中求出∠B'A'C的度数；最后用∠CA'A减去∠B'A'C即可得到∠AA'B'的度数。
【解析】
设AC与A'B'交于点D。
∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴AC = A'C，∠ACA' = 40°，∠BAC = ∠B'A'C，
∴△ACA'为等腰三角形，
∴$∠ CA'A = \frac{180° - ∠ ACA'}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$。
又
∵AC⊥A'B'，
∴∠A'DC = 90°，
在Rt△A'DC中，∠DA'C + ∠ACA' = 90°，
∴∠B'A'C = ∠DA'C = 90° - 40° = 50°，
∴∠AA'B' = ∠CA'A - ∠B'A'C = 70° - 50° = 20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用旋转的性质得到相等的边和角，再结合等腰三角形、直角三角形的角度性质推导即可，解题时注意理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

8.如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$，得到$△ EDC$，点$A$，$B$的对应点分别为点$E$，$D$，连接$AE$，点$D$恰好落在线段$AE$上。
(1)求证：$∠ BAD=90°$。
(2)连接$BD$，若$AD=5$，$DE=2$，求$BD$的长。

8. (1)【证明】由旋转的性质可知,$∠CAB=∠CED$,$∠ACE=90°$.
又点D在线段AE上，
$\therefore ∠CAD+∠CED=90°$.
$\therefore ∠CAD+∠CAB=90°$.
$\therefore ∠BAD=90°$.
(2)【解】由旋转的性质可知,$AB=ED=2$.
由(1)知,$∠BAD=90°$.
又$AD=5$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,由勾股定理,得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$.

【分析】
(1) 要证明∠BAD=90°，首先从旋转的性质入手：旋转前后对应角相等、旋转角相等，可得∠CAB=∠CED，旋转角∠ACE=90°。在△ACE中，直角三角形两锐角和为90°，因此∠CAD+∠CED=90°，将∠CED替换为相等的∠CAB，即可得到∠CAD+∠CAB=90°，也就是∠BAD=90°。
(2) 要求BD的长，首先根据旋转的性质，旋转前后对应边相等，可得AB=DE=2，结合(1)中已证的∠BAD=90°，可知△ABD是直角三角形，已知AD=5，直接利用勾股定理计算即可得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质可知，∠CAB=∠CED，旋转角∠ACE=90°。
∵点D在线段AE上，
∴在Rt△ACE中，∠CAD+∠CED=90°，
将∠CED替换为相等的∠CAB，得∠CAD+∠CAB=90°，
即∠BAD=90°，得证。
(2) 解：由旋转的性质可知，对应边AB=ED=2，
由(1)知∠BAD=90°，即△ABD为直角三角形，
已知AD=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
【答案】
(1) ∠BAD=90°得证；
(2) $BD=\sqrt{29}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；直角三角形判定
【点评】
本题以图形旋转为载体，综合考查旋转性质、直角三角形的判定及勾股定理的应用，解题核心是利用旋转前后对应角、对应边相等的性质，挖掘图中的角度等量关系和边长等量关系，属于旋转应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7

9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度，得到矩形AEFG，点B的对应点E恰好落在边CD上，点C，D的对应点分别为点F，G，连接BE。求证：$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ BAE$。

9.【证明】由旋转的性质可知,$AB=AE$.
$\therefore ∠AEB=∠ABE$.
$\therefore ∠ABE=\frac{1}{2}(180°-∠BAE)=90°-\frac{1}{2}∠BAE$.
$\because$ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore ∠ABE+∠CBE=90°$.
$\therefore 90°-\frac{1}{2}∠BAE+∠CBE=90°$.
$\therefore ∠CBE=\frac{1}{2}∠BAE$.

【分析】
要证明$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ BAE$，可按以下思路推导：首先根据旋转的性质可得对应边$AB=AE$，因此$△ ABE$是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$的性质，可推出$∠ ABE$与$∠ BAE$的数量关系；再利用矩形内角为直角的性质，得到$∠ ABE+∠ CBE=90°$，将$∠ ABE$的表达式代入该等式，化简后即可得到待证结论。
【解析】
证明：由旋转的性质可知，$AB=AE$。
$\therefore ∠ AEB=∠ ABE$。
$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=90°-\frac{1}{2}∠ BAE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ ABC=90°$，即$∠ ABE+∠ CBE=90°$。
把$∠ ABE=90°-\frac{1}{2}∠ BAE$代入上式得：
$90°-\frac{1}{2}∠ BAE+∠ CBE=90°$，
整理得$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ BAE$。
【答案】
证明：由旋转的性质可知,$AB=AE$.
$\therefore ∠ AEB=∠ ABE$.
$\therefore ∠ ABE=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=90°-\frac{1}{2}∠ BAE$.
$\because$ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore ∠ ABE+∠ CBE=90°$.
$\therefore 90°-\frac{1}{2}∠ BAE+∠ CBE=90°$.
$\therefore ∠ CBE=\frac{1}{2}∠ BAE$.
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查几何图形性质的综合应用，解题关键是通过旋转得到等腰三角形，再结合矩形的直角性质进行等量代换推导角度关系，熟练掌握相关图形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8