【例3】请写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假.
(1)两直线平行,内错角相等;
(2)对顶角相等;
(3)等腰三角形有两条边相等;
(4)同角(或等角)的余角相等.

解：
(1) 逆命题：内错角相等，两直线平行。
该逆命题是真命题。
(2) 逆命题：相等的两个角是对顶角。
该逆命题是假命题。
(3) 逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
该逆命题是真命题。
(4) 逆命题：相等的两个角是同角（或等角）的余角。
该逆命题是假命题。

【分析】
解题前首先明确两个核心规则：①逆命题改写方法：先将原命题拆分为“题设（条件）”和“结论”两个部分，再将题设和结论互换位置，整理为通顺的语句即可得到逆命题；②真假命题判断规则：符合已学公理、定理、定义的命题为真命题，能举出反例证明不成立的命题为假命题。解题时逐个分析每个原命题的题设和结论，互换后得到逆命题，再结合所学几何知识判断真假即可。
【解析】
(1) 原命题题设为“两直线平行”，结论为“内错角相等”，互换后得到逆命题：内错角相等，两直线平行。该命题是平行线的判定定理，符合几何事实，为真命题。
(2) 原命题题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”，互换后得到逆命题：相等的两个角是对顶角。举反例：两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该命题不成立，为假命题。
(3) 原命题题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形有两条边相等”，互换后得到逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形。该命题是等腰三角形的定义，符合事实，为真命题。
(4) 原命题题设为“两个角是同角（或等角）的余角”，结论为“这两个角相等”，互换后得到逆命题：相等的两个角是同角（或等角）的余角。举反例：两个相等的钝角没有余角，不可能是同角或等角的余角，因此该命题不成立，为假命题。
【答案】
(1) 逆命题：内错角相等，两直线平行。该逆命题是真命题。
(2) 逆命题：相等的两个角是对顶角。该逆命题是假命题。
(3) 逆命题：有两条边相等的三角形是等腰三角形。该逆命题是真命题。
(4) 逆命题：相等的两个角是同角（或等角）的余角。该逆命题是假命题。
【知识点】
逆命题改写、真假命题判定、命题的结构
【点评】
本题是命题模块的基础常规题，重点考查学生对逆命题改写方法的掌握程度，以及结合已学几何知识判断命题真假的能力，判断假命题时只需举出一个合理反例即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

【变式3】“若$a=b$,则$a^2=b^2$”为原命题,则下列判定正确的是().

A.原命题为真命题,逆命题为假命题
B.原命题与逆命题均为真命题
C.原命题为假命题,逆命题为真命题
D.原命题与逆命题均为假命题

A

【分析】
解题时先分两步走：第一步判断原命题的真假，根据等式的性质，两个相等的数平方必然相等，可确定原命题为真；第二步先写出原命题的逆命题（将原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题），再判断逆命题的真假，可通过举反例验证，最后结合选项选出正确答案。
【解析】
1. 判断原命题真假：
若a=b，根据等式的基本性质，两边同时平方可得a²=b²，因此原命题是真命题，排除C、D选项。
2. 写出逆命题并判断真假：
原命题的题设为“a=b”，结论为“a²=b²”，将题设和结论互换得到逆命题：“若a²=b²，则a=b”。
举反例：当a=2，b=-2时，a²=4，b²=4，满足a²=b²，但2≠-2，因此逆命题是假命题，排除B选项。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
真假命题判定；原命题与逆命题；平方的性质
【点评】
本题重点考查命题相关的基础概念，解题的核心是正确掌握逆命题的改写方法，判断逆命题真假时要注意考虑互为相反数的两个数平方相等的情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.8

1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的值为().

A.3
B.4
C.2
D.无法确定

A

【分析】
拿到题目首先提取关键条件：点P在AB的垂直平分线上，已知PA=3，要求PB的长度。此时我们需要联想到线段垂直平分线的核心性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此可以直接推出PA和PB长度相等，代入已知数值即可得到PB的结果。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PB = PA
又
∵ PA = 3
∴ PB = 3
故选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考查线段垂直平分线性质的直接应用，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图,点D为人眼的位置,人眼所看到的是烛焰A在平面镜里的虚像B.点A与点B到平面镜的距离相等,且它们的连线与平面镜垂直.若$∠ CAB=22°$,则$∠ ACD$的度数为().


A.$11°$
B.$22°$
C.$33°$
D.$44°$

D

【分析】
首先根据题目给出的“A与点B到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直”这一条件，可判断平面镜是线段AB的垂直平分线；结合点C在平面镜上，利用线段垂直平分线的性质可得AC=BC，即可推出△ACB为等腰三角形，两个底角相等。再根据平面镜成像的特点，反射光线的反向延长线过虚像B，可知D、C、B三点共线，因此∠ACD是△ABC的外角，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 由题意可知：平面镜垂直平分线段AB，点C在平面镜上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$ AC = BC $，因此$ △ ACB $是等腰三角形，$ ∠ CBA = ∠ CAB = 22° $。
2. 因为B是A在平面镜中的虚像，所以反射光线CD的反向延长线经过点B，即D、C、B三点共线，因此$ ∠ ACD $是$ △ ACB $的外角。
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$ ∠ ACD = ∠ CAB + ∠ CBA = 22° + 22° = 44° $。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合平面镜成像的情景考查几何性质，解题关键是能从题干信息中提炼出垂直平分线的几何模型，再结合三角形的相关性质计算角度，需要学生具备基本的跨学科信息提取能力。
【难度系数】
0.7

3. 命题“等边三角形的三个角相等”的逆命题是.

解：原命题的题设是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形的三个角相等”，将题设和结论互换，可得逆命题：
三个角相等的三角形是等边三角形。

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先要明确逆命题的构造规则：所有命题都由题设（已知条件）和结论（由条件推导得到的结果）两部分组成，逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的命题。解题时先拆分原命题的题设和结论，再将两者互换，调整语句使其通顺符合逻辑即可。
【解析】
第一步拆分原命题“等边三角形的三个角相等”的结构：
题设：一个三角形是等边三角形；
结论：这个三角形的三个角相等。
第二步根据逆命题的定义，将题设和结论互换，整理语句后得到逆命题。
【答案】
三个角相等的三角形是等边三角形
【知识点】
逆命题的概念；命题的结构
【点评】
本题考查命题相关的基础内容，解题核心是准确区分原命题的题设和结论，改写时注意语句通顺、逻辑合理，属于基础类题型，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在$△ ABC$中,$AC=12$,$BC=25$,边$AB$的垂直平分线$DE$交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,则$△ ACE$的周长是.

$\boldsymbol{37}$

【分析】
解题时先观察题干条件，看到线段垂直平分线首先联想到其核心性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可推导出AE=BE。再分析△ACE的周长组成，其周长为AC+CE+AE，利用AE=BE做等量替换，可将周长转化为AC+CE+BE，而CE+BE恰好等于BC的长度，因此只需代入已知的AC、BC的数值即可求出结果，无需计算未知线段，简化了计算过程。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得$AE=BE$
∵$△ ACE$的周长$=AC+CE+AE$
将$AE=BE$代入，可得：
$△ ACE$的周长$=AC+CE+BE=AC+BC$
已知$AC=12$，$BC=25$，代入得：
$△ ACE$的周长$=12+25=37$
【答案】
$\boldsymbol{37}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是通过性质完成线段的等量转化，将所求周长转化为已知线段的和，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

1. 如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上,且$AC=16$ cm,则MB的长为cm.

$\boldsymbol{8}$

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先根据M在AB、BC的垂直平分线上，分别推出MB=MA、MB=MC，再结合M在AC上，可得AC=MA+MC=2MB，最后代入AC的长度即可求出MB的值。
【解析】
∵ 点M在AB的垂直平分线上
∴ MB = MA（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵ 点M在BC的垂直平分线上
∴ MB = MC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ MA = MC = MB
又
∵ 点M在AC上，AC=16 cm
∴ AC = MA + MC = 2MB
∴ MB = AC ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 cm
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换；线段和差计算
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，核心是利用垂直平分线的性质得到线段相等关系，通过等量代换建立待求线段与已知线段的联系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB$,$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$E$,$F$. 若$∠ BAC=117°$,则$∠ EAF$的度数为________.

$\boldsymbol{54°}$

【分析】
解题时先利用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，实现角的等量转化，再结合三角形内角和定理计算目标角的度数。第一步：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$EA=EB$，$FA=FC$，进而推出对应底角相等，即$∠ B=∠ EAB$，$∠ C=∠ FAC$；第二步：利用三角形内角和为$180°$，结合已知$∠ BAC$的度数，算出$∠ B+∠ C$的和，也就得到$∠ EAB+∠ FAC$的和；第三步：用$∠ BAC$减去$∠ EAB+∠ FAC$的和，即可求出$∠ EAF$的度数。
【解析】
解：$\because$ $EG$是$AB$的垂直平分线，点$E$在$EG$上
$\therefore$ $EA=EB$，$\therefore$ $∠ B=∠ EAB$
同理，$FH$是$AC$的垂直平分线，点$F$在$FH$上
$\therefore$ $FA=FC$，$\therefore$ $∠ C=∠ FAC$
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$，已知$∠ BAC=117°$
$\therefore$ $∠ B+∠ C=180°-117°=63°$
$\therefore$ $∠ EAB+∠ FAC=∠ B+∠ C=63°$
$\therefore$ $∠ EAF=∠ BAC-(∠ EAB+∠ FAC)=117°-63°=54°$
【答案】
$54°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何角度计算题，核心是通过线段垂直平分线的性质实现角的等量转化，理清角度之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

3.(易错题)已知直线$ l $与线段$ AB $交于点$ O $，点$ P $在直线$ l $上，且$ AP=PB $，则下列结论：
①$ OA=OB $；②$ PO ⊥ AB $；③$ ∠ APO = ∠ BPO $；
④点$ P $在线段$ AB $的垂直平分线上.其中正确的是.(填序号)

解：
根据线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
∵AP=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故④正确。
题中仅说明直线l过点P且与线段AB交于点O，直线l不一定是线段AB的垂直平分线，无法推出OA=OB、PO⊥AB、∠APO=∠BPO，即①②③均错误。
综上，正确的是④。

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先根据已知条件AP=PB，可直接判断④的正确性；再分析其余结论：题目仅说明直线l与线段AB交于O、点P在l上，并没有说明直线l是线段AB的垂直平分线，因此无法推导OA与OB的关系、PO与AB的位置关系以及∠APO和∠BPO的数量关系，即可判断①②③是否成立。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
∵AP=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故④正确。
题中仅说明直线l过点P且与线段AB交于点O，没有给出直线l是线段AB的垂直平分线的条件，因此无法推出OA=OB、PO⊥AB、∠APO=∠BPO，即①②③均错误。
【答案】
④
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于易错题，解题时容易默认直线l就是线段AB的垂直平分线，从而误判①②③也正确，解题时要严格依据已知条件推导，不能自行添加题干未给出的前提条件，准确运用线段垂直平分线的判定定理是解题关键。
【难度系数】
0.6

4. 如图，AD为$△ ABC$的角平分线，$AE=AF$. 求证：线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线.

证明：
连接DE，DF。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = ∠FAD。
在△AED和△AFD中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\∠EAD = ∠FAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △AED ≌ △AFD（SAS）。
∴ DE = DF。
∴ 点D在线段EF的垂直平分线上。
又∵ AE = AF，
∴ 点A在线段EF的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线。

【分析】
要证明一条直线是线段的垂直平分线，可依据线段垂直平分线的判定思路：若能证明直线上有两个不同的点都到线段两端点的距离相等，结合“两点确定一条直线”即可完成证明。首先连接DE、DF，利用AD是角平分线得到一组等角，结合已知的AE=AF和公共边AD，通过SAS判定△AED和△AFD全等，推出DE=DF，即可得到点D在EF的垂直平分线上；再由已知条件AE=AF，可直接得到点A也在EF的垂直平分线上，最终根据两点确定一条直线，就能证明AD所在直线是EF的垂直平分线。
【解析】
证明：
连接DE，DF。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = ∠FAD。
在△AED和△AFD中，
$\{\begin{array}{l}AE = AF \\∠EAD = ∠FAD \\AD = AD\end{array} $
∴ △AED ≌ △AFD（SAS）。
∴ DE = DF。
∴ 点D在线段EF的垂直平分线上。
又
∵ AE = AF，
∴ 点A在线段EF的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线。
【答案】
线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定方法，通过全等三角形推导边相等的关系，结合直线的基本性质完成证明，能帮助学生巩固全等三角形、垂直平分线相关知识的应用。
【难度系数】
0.7