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11. 已知 $ 0＜x＜1 $,那么在①$ x $;②$ \sqrt{x} $;③$ \frac{1}{x} $;④$ x^2 $中,最大的数是____.(只需填写序号即可)
答案
③ 解析:$\because 0＜x＜1,\therefore \frac {1}{x}＞1,0＜x^{2}＜x＜1,0＜x＜\sqrt {x}＜1,\therefore \frac {1}{x}＞\sqrt {x}＞x＞$ $x^{2}$,故最大的数是$\frac {1}{x}$.故答案为③.
12. 新题型 新运算 我们规定运算符号 $ \otimes $ 的意义:当 $ a＞b $ 时,$ a \otimes b= a+b $;当 $ a \leq b $ 时,$ a \otimes b= a-b $,其他运算符号意义不变.按上述规定,计算 $ \left(\sqrt{3} \otimes \frac{3}{2}\right)+\left[(1-\sqrt{3}) \otimes \left(-\frac{1}{2}\right)\right] $ 的结果为____.
答案
3 解析:$(\sqrt {3}\otimes \frac {3}{2})+[(1-\sqrt {3})\otimes (-\frac {1}{2})]=\sqrt {3}+\frac {3}{2}+1-\sqrt {3}+$ $\frac {1}{2}=3$.
13. 观察下列等式,利用你发现的规律解答下列问题:
$ (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)= 1,(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})= 1 $,
$ (\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})= 1,(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})= 1,… $.
(1)计算: $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}\right)(\sqrt{2026}+1) $;
(2)试比较 $ \sqrt{11}-\sqrt{10} $ 与 $ \sqrt{12}-\sqrt{11} $ 的大小.
$ (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)= 1,(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})= 1 $,
$ (\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})= 1,(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})= 1,… $.
(1)计算: $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}\right)(\sqrt{2026}+1) $;
(2)试比较 $ \sqrt{11}-\sqrt{10} $ 与 $ \sqrt{12}-\sqrt{11} $ 的大小.
答案
(1)原式$=(\sqrt {2}-1+\sqrt {3}-\sqrt {2}+\sqrt {4}-\sqrt {3}+... +\sqrt {2026}-\sqrt {2025})\cdot $ $(\sqrt {2026}+1)$ $=(\sqrt {2026}-1)(\sqrt {2026}+1)$ $=2026-1=2025$.
(2)$\because \sqrt {12}＞\sqrt {10},\therefore \sqrt {12}+\sqrt {11}＞\sqrt {11}+\sqrt {10},$ $\therefore \frac {1}{\sqrt {12}+\sqrt {11}}＜\frac {1}{\sqrt {11}+\sqrt {10}}$. 又$\because (\sqrt {12}-\sqrt {11})(\sqrt {12}+\sqrt {11})=1,(\sqrt {11}-\sqrt {10})(\sqrt {11}+$ $\sqrt {10})=1,\therefore \sqrt {12}-\sqrt {11}=\frac {1}{\sqrt {12}+\sqrt {11}},\sqrt {11}-\sqrt {10}=\frac {1}{\sqrt {11}+\sqrt {10}},$ $\therefore \sqrt {12}-\sqrt {11}＜\sqrt {11}-\sqrt {10}$.
(2)$\because \sqrt {12}＞\sqrt {10},\therefore \sqrt {12}+\sqrt {11}＞\sqrt {11}+\sqrt {10},$ $\therefore \frac {1}{\sqrt {12}+\sqrt {11}}＜\frac {1}{\sqrt {11}+\sqrt {10}}$. 又$\because (\sqrt {12}-\sqrt {11})(\sqrt {12}+\sqrt {11})=1,(\sqrt {11}-\sqrt {10})(\sqrt {11}+$ $\sqrt {10})=1,\therefore \sqrt {12}-\sqrt {11}=\frac {1}{\sqrt {12}+\sqrt {11}},\sqrt {11}-\sqrt {10}=\frac {1}{\sqrt {11}+\sqrt {10}},$ $\therefore \sqrt {12}-\sqrt {11}＜\sqrt {11}-\sqrt {10}$.
14. (台州中考)任何实数 $ a $,可用 $ [a] $ 表示不超过 $ a $ 的最大整数,如 $ [4]= 4,[\sqrt{3}]= 1 $.现对72进行如下操作: $ 72 \xrightarrow{\text{第一次}} [\sqrt{72}]= 8 \xrightarrow{\text{第二次}} [\sqrt{8}]= 2 \xrightarrow{\text{第三次}} [\sqrt{2}]= 1 $,这样对72只需进行3次操作后变为1.类似地:
(1)对81只需进行____次操作后变为1;
(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是____.
(1)对81只需进行____次操作后变为1;
(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是____.
答案
(1)3 解析:$[\sqrt {81}]=9,[\sqrt {9}]=3,[\sqrt {3}]=1$.
(2)255 解析:$[\sqrt {255}]=15,[\sqrt {15}]=3,[\sqrt {3}]=1$,而$[\sqrt {256}]=$ $16,[\sqrt {16}]=4,[\sqrt {4}]=2,[\sqrt {2}]=1$,即只需进行3次操作后变为1 的所有正整数中,最大的是 255.
(2)255 解析:$[\sqrt {255}]=15,[\sqrt {15}]=3,[\sqrt {3}]=1$,而$[\sqrt {256}]=$ $16,[\sqrt {16}]=4,[\sqrt {4}]=2,[\sqrt {2}]=1$,即只需进行3次操作后变为1 的所有正整数中,最大的是 255.
15. (2025·邯郸期中)阅读下面的文字,解答问题:
大家知道 $ \sqrt{2} $ 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 $ \sqrt{2} $ 的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用 $ \sqrt{2}-1 $ 来表示 $ \sqrt{2} $ 的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理的,因为 $ \sqrt{2} $ 的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
又例如: $ \because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9} $,即 $ 2＜\sqrt{7}＜3 $,
$ \therefore \sqrt{7} $ 的整数部分为2,小数部分为 $ \sqrt{7}-2 $.
请解答:
(1)$ \sqrt{17} $ 的整数部分是____,小数部分是____.
(2)①如果 $ \sqrt{5} $ 的小数部分为 $ a,\sqrt{13} $ 的整数部分为 $ b $,则 $ a+b-\sqrt{5}= $____;
②已知 $ 2+\sqrt{6} $ 的小数部分为 $ a,5-\sqrt{6} $ 的小数部分为 $ b $,求 $ a+b $ 的值.
(3)已知 $ 10+\sqrt{3}= x+y $,其中 $ x $ 是整数,且 $ 0＜y＜1 $,求 $ x-y $ 的相反数.
大家知道 $ \sqrt{2} $ 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 $ \sqrt{2} $ 的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用 $ \sqrt{2}-1 $ 来表示 $ \sqrt{2} $ 的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理的,因为 $ \sqrt{2} $ 的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
又例如: $ \because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9} $,即 $ 2＜\sqrt{7}＜3 $,
$ \therefore \sqrt{7} $ 的整数部分为2,小数部分为 $ \sqrt{7}-2 $.
请解答:
(1)$ \sqrt{17} $ 的整数部分是____,小数部分是____.
(2)①如果 $ \sqrt{5} $ 的小数部分为 $ a,\sqrt{13} $ 的整数部分为 $ b $,则 $ a+b-\sqrt{5}= $____;
②已知 $ 2+\sqrt{6} $ 的小数部分为 $ a,5-\sqrt{6} $ 的小数部分为 $ b $,求 $ a+b $ 的值.
(3)已知 $ 10+\sqrt{3}= x+y $,其中 $ x $ 是整数,且 $ 0＜y＜1 $,求 $ x-y $ 的相反数.
答案
(1)4 $\sqrt {17}-4$
(2)①1 解析:$\because 2＜\sqrt {5}＜3,\therefore a=\sqrt {5}-2.\because 3＜\sqrt {13}＜4,\therefore b=3,\therefore a+$ $b-\sqrt {5}=\sqrt {5}-2+3-\sqrt {5}=1$.
②$\because 4＜6＜9,\therefore 2＜\sqrt {6}＜3$,即$4＜2+\sqrt {6}＜5,2＜5-\sqrt {6}＜3$,则$a=2+\sqrt {6}-4,$ $b=5-\sqrt {6}-2$,则$a+b=2+\sqrt {6}-4+5-\sqrt {6}-2=1$.
(3)$\because 1＜3＜4,\therefore 1＜\sqrt {3}＜2,\therefore 11＜10+\sqrt {3}＜12.\because 10+\sqrt {3}=x+y$,其中x 是整数,且$0＜y＜1,\therefore x=11,y=10+\sqrt {3}-11=\sqrt {3}-1,\therefore x-y=11-(\sqrt {3}-$ $1)=12-\sqrt {3},\therefore x-y$的相反数是$-12+\sqrt {3}$.
(2)①1 解析:$\because 2＜\sqrt {5}＜3,\therefore a=\sqrt {5}-2.\because 3＜\sqrt {13}＜4,\therefore b=3,\therefore a+$ $b-\sqrt {5}=\sqrt {5}-2+3-\sqrt {5}=1$.
②$\because 4＜6＜9,\therefore 2＜\sqrt {6}＜3$,即$4＜2+\sqrt {6}＜5,2＜5-\sqrt {6}＜3$,则$a=2+\sqrt {6}-4,$ $b=5-\sqrt {6}-2$,则$a+b=2+\sqrt {6}-4+5-\sqrt {6}-2=1$.
(3)$\because 1＜3＜4,\therefore 1＜\sqrt {3}＜2,\therefore 11＜10+\sqrt {3}＜12.\because 10+\sqrt {3}=x+y$,其中x 是整数,且$0＜y＜1,\therefore x=11,y=10+\sqrt {3}-11=\sqrt {3}-1,\therefore x-y=11-(\sqrt {3}-$ $1)=12-\sqrt {3},\therefore x-y$的相反数是$-12+\sqrt {3}$.
