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8. 已知$△ABC,AB＜BC$,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得$PA+PC= BC$,则下列选项正确的是 (
)
A.
B.
C.
D.
)
A.
B.
C.
D.
答案
B 解析:∵PB+PC=BC,PA+PC=BC,∴PA=PB,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上,故可判断B 选项正确.故选B.
9. 如图,$AD⊥BE$于点D,$BD= DE$,点E在线段AC的垂直平分线上,若$AB= 6cm,BD= 3cm$,则DC的长为 ()
A. 3cm
B. 6cm
C. 9cm
D. 12cm
A. 3cm
B. 6cm
C. 9cm
D. 12cm
答案
9.C 解析:由AD⊥BE,BD=DE,易得AE=AB=6cm.∵点E在线段AC 的垂直平分线上，∴AE=EC=6cm,∴DC=DE+EC=3+6=9(cm).故选C.
10. (2024·武汉期中)如图,在$△ABC$中,$∠A= α(40^{\circ}＜α＜60^{\circ})$,点M在$△ABC$的内部,BM,MC的垂直平分线分别交AB,AC于点P,Q,若PQ恰好经过点M,则$∠BMC$为(用含α的代数式表示) ()
A. $90^{\circ}+α$
B. $135^{\circ}-\frac {α}{2}$
C. $2α$
D. $90^{\circ}+\frac {α}{2}$
A. $90^{\circ}+α$
B. $135^{\circ}-\frac {α}{2}$
C. $2α$
D. $90^{\circ}+\frac {α}{2}$
答案
10.D 解析:∵BM,MC的垂直平分线分别交AB,AC于点P,Q,∴∠PBM=∠PMB,∠QMC=∠QCM.∵180°−∠BMC=∠BMP+∠CMQ=∠PBM+∠QCM=∠MBC+∠MCB,且∠A=α(40°＜α＜60°),∴180°−2(180°−∠BMC)=α,∴∠BMC=90°+α/2.故选D.
11. 在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张$5×5$的方格纸中,找出格点C,使$AC= BC$,则满足条件的格点C有______个.
答案
11.5 解析:如图,满足AC=BC,在AB的垂直平分线上且在格点上的点C有5个.
12. 一个三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内,那么这个三角形是______三角形;如果三角形有两条边的垂直平分线的交点恰是第三条边的中点,那么这个三角形是______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)
答案
12.锐角 直角
13. (1)在$△ABC$中,$AB= AC,OB= OC$,且点A到BC的距离为8,点O到BC的距离为3,则AO的长为______.
(2)在$△ABC$中,$BC= 10$,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,且$DE= 4$,则$AD+AE= $______.
(2)在$△ABC$中,$BC= 10$,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,且$DE= 4$,则$AD+AE= $______.
答案
13.(1)5或11 解析:分两种情况讨论:当点0在△ABC内时,如图①,∵AB=AC,OB=OC,∴AM为BC的垂直平分线,∴AM⊥BC,∴A0=AM−0M=8−3=5;当点0在△ABC外时,如图②,∵AB=AC,OB=OC,∴AM为BC的垂直平分线，∴AM⊥BC,∴A0=AM+OM=8+3=11.
(2)6或14 解析:∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,∴AD=BD,AE=CE,∴AD+AE=BD+CE.∵BC=10,DE=4,∴如图③,AD+AE=BD+CE=BC−DE=10−4=6;如图④,AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14.综上所述,AD+AE=6或14.
14. (南京中考)如图,线段AB,BC的垂直平分线$l_{1},l_{2}$相交于点O.若$∠1= 39^{\circ}$,则$∠AOC= $______°.
答案
14.78 解析:如图,连接BO,并延长BO到P.
∵线段AB,BC的垂直平分线I1,L2相交于点0.∴AO=0B=0C,∠BD0=∠BEO=90°，
∵∠DOE+∠ABC=180°,∠DOE+∠1=180°,∴∠ABC=∠1=39°.
易证∠A=∠ABO,∠OBC=∠C.∵∠AOP=∠A+∠ABO,
∠COP=∠C+∠OBC,∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°.
一题多解
连接OB,∵线段AB,BC的垂直平分线1,l2相交于点0,...AO=OB=OC.易证∠AOD=∠BOD,∠BOE=∠COE.∵∠DOE+∠1=180°,∠1=39°,∴∠D0E=141°,即∠B0D+∠B0E=141°,.∠A0D+∠C0E=141°.∴∠A0C=360°−(∠B0D+∠BOE)−∠AOD+∠COE)=78°.
15. 如图,在$△ABC$中,点E是BC边上的一点,连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,连接DE.
(1)若$△ABC$的周长为18,$△DEC$的周长为6,求AB的长;
(2)若$∠ABC= 30^{\circ},∠C= 45^{\circ}$,求$∠CDE$的度数.
(1)若$△ABC$的周长为18,$△DEC$的周长为6,求AB的长;
(2)若$∠ABC= 30^{\circ},∠C= 45^{\circ}$,求$∠CDE$的度数.
答案
15.(1)∵BD是线段AE的垂直平分线,∴AB=BE、AD=DE;∵△ABC的周长为18,△DEC的周长为6,∴AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE=CD+EC+AD=6,∴AB+BE=18−6=12.∴AB=6.
(2)∵∠ABC=30°,∠C=45°,∴∠BAC=180°−30°−45°=105°.在△BAD和△BED中,{BA=BE,BD=BD,DA=DE,∴△BAD≌△BED(SSS),∴∠BED=∠BAC=105°,∴∠CDE=∠BED−C=105°−45°=60°.
(2)∵∠ABC=30°,∠C=45°,∴∠BAC=180°−30°−45°=105°.在△BAD和△BED中,{BA=BE,BD=BD,DA=DE,∴△BAD≌△BED(SSS),∴∠BED=∠BAC=105°,∴∠CDE=∠BED−C=105°−45°=60°.
