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10.如图,将一副三角板的直角顶点重合,摆放在桌面上,此时$AB⊥OC$,三角板$OAB$绕点$O$以15度/秒的速度顺时针旋转,同时三角板$OCD$绕点$O$以10度/秒的速度逆时针旋转,时间为$t$秒,当$AB$与$CD$第三次平行时,$t=$
15.6
秒.答案
10.15.6
解析
【分析】
本题是旋转动态背景下的平行线求解问题，解题思路如下：首先明确两个三角板的旋转方向和速度，二者反向旋转，相对旋转速度为两个速度之和；其次结合三角板的角度特征，确定AB与CD第一次平行时需要的相对旋转角度，两条直线每相对旋转180°就会再次平行，第三次平行时总相对旋转角度为第一次平行的角度加2个180°；最后用总相对角度除以相对速度即可算出时间t。
【解析】
解：已知三角板OAB顺时针旋转速度为15°/秒，三角板OCD逆时针旋转速度为10°/秒，二者反向旋转，因此每秒相对转动的角度为：
$15°+10°=25°$
结合初始$AB⊥ OC$的条件和三角板的固定角度，第一次平行时二者需要相对转动30°，之后每相对转动180°，AB和CD会再次平行，因此第三次平行时总相对转动角度为：
$30° + 180°×2=390°$
则对应时间$t$为：
$t=390°÷25°/秒=15.6$秒
【答案】
15.6
【知识点】
旋转的性质，平行线的判定，动态角度计算
【点评】
本题属于动态几何的常考题型，需要将两个旋转对象的运动转化为相对运动简化计算，易错点是误算相对旋转速度，以及对第三次平行对应的总旋转角度判断错误。
【难度系数】
0.3
本题是旋转动态背景下的平行线求解问题，解题思路如下：首先明确两个三角板的旋转方向和速度，二者反向旋转，相对旋转速度为两个速度之和；其次结合三角板的角度特征，确定AB与CD第一次平行时需要的相对旋转角度，两条直线每相对旋转180°就会再次平行，第三次平行时总相对旋转角度为第一次平行的角度加2个180°；最后用总相对角度除以相对速度即可算出时间t。
【解析】
解：已知三角板OAB顺时针旋转速度为15°/秒，三角板OCD逆时针旋转速度为10°/秒，二者反向旋转，因此每秒相对转动的角度为：
$15°+10°=25°$
结合初始$AB⊥ OC$的条件和三角板的固定角度，第一次平行时二者需要相对转动30°，之后每相对转动180°，AB和CD会再次平行，因此第三次平行时总相对转动角度为：
$30° + 180°×2=390°$
则对应时间$t$为：
$t=390°÷25°/秒=15.6$秒
【答案】
15.6
【知识点】
旋转的性质，平行线的判定，动态角度计算
【点评】
本题属于动态几何的常考题型，需要将两个旋转对象的运动转化为相对运动简化计算，易错点是误算相对旋转速度，以及对第三次平行对应的总旋转角度判断错误。
【难度系数】
0.3
三、解答题
11.计算：$\sqrt{3}-(\dfrac{1}{2})^{-1}+\left|3-\sqrt{3}\right|.$
11.计算：$\sqrt{3}-(\dfrac{1}{2})^{-1}+\left|3-\sqrt{3}\right|.$
答案
11.1.
解析
【分析】
本题属于实数混合运算题，解题时先分别计算出每一项的结果，再合并计算即可。第一步先回忆负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\ne0$，$p$为正整数），算出$(\frac{1}{2})^{-1}$的值；第二步判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，化简$|3-\sqrt{3}|$；最后把所有项展开，合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：分步计算各项后合并：
1. 计算负整数指数幂：$(\dfrac{1}{2})^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$
2. 化简绝对值：因为$3＞\sqrt{3}$，所以$|3-\sqrt{3}|=3-\sqrt{3}$
3. 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3}-2 + 3 - \sqrt{3}\\&=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-2+3)\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
负整数指数幂运算，绝对值化简，实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查对负整数指数幂运算规则、绝对值化简方法的掌握，计算时注意去绝对值前要先判断绝对值内表达式的正负，再正确化简，合并时注意同类二次根式的抵消。
【难度系数】
0.8
本题属于实数混合运算题，解题时先分别计算出每一项的结果，再合并计算即可。第一步先回忆负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\ne0$，$p$为正整数），算出$(\frac{1}{2})^{-1}$的值；第二步判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，化简$|3-\sqrt{3}|$；最后把所有项展开，合并同类项得到最终结果。
【解析】
解：分步计算各项后合并：
1. 计算负整数指数幂：$(\dfrac{1}{2})^{-1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$
2. 化简绝对值：因为$3＞\sqrt{3}$，所以$|3-\sqrt{3}|=3-\sqrt{3}$
3. 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3}-2 + 3 - \sqrt{3}\\&=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-2+3)\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
负整数指数幂运算，绝对值化简，实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查对负整数指数幂运算规则、绝对值化简方法的掌握，计算时注意去绝对值前要先判断绝对值内表达式的正负，再正确化简，合并时注意同类二次根式的抵消。
【难度系数】
0.8
12.已知:如图,EF//CD,GD//CA.
(1)求证:∠1+∠2=180°;
(2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且∠A=40°,求∠ACB的度数.
(1)求证:∠1+∠2=180°;
(2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且∠A=40°,求∠ACB的度数.
答案
12. 解:(1) $\because EF// CD.$
$\therefore ∠ 1+∠ ECD=180°,$
又$\because GD// AC,$
$\therefore ∠ 2=∠ ECD.$
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°;$
(2) $\because GD// AC,$
$\therefore ∠ GDB=∠ A=40°,∠ ACD=∠ 2.$
$\because DG$平分$∠ CDB,$
$\therefore ∠ 2=∠ BDG=40°$
$\therefore ∠ ACD=∠ 2=40°,$
又$\because CD$平分$∠ ACB,$
$\therefore ∠ ACB=2∠ ACD=80°.$
$\therefore ∠ 1+∠ ECD=180°,$
又$\because GD// AC,$
$\therefore ∠ 2=∠ ECD.$
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°;$
(2) $\because GD// AC,$
$\therefore ∠ GDB=∠ A=40°,∠ ACD=∠ 2.$
$\because DG$平分$∠ CDB,$
$\therefore ∠ 2=∠ BDG=40°$
$\therefore ∠ ACD=∠ 2=40°,$
又$\because CD$平分$∠ ACB,$
$\therefore ∠ ACB=2∠ ACD=80°.$
解析
【分析】
(1) 要证明∠1+∠2=180°，可借助平行线的性质推导角的关系：首先由EF//CD可得∠1和∠ECD是同旁内角，满足互补关系；再由GD//CA可得∠2和∠ECD是内错角，满足相等关系，通过等量代换即可得证。
(2) 要求∠ACB的度数，已知CD平分∠ACB，因此只需要先求出∠ACD的度数即可。首先由GD//AC，结合平行线同位角相等的性质可得∠GDB=∠A=40°，再根据DG平分∠CDB推出∠2=∠GDB=40°；接着结合GD//AC的内错角相等性质，得∠ACD=∠2，最后利用角平分线的定义即可求出∠ACB的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// CD$，
$\therefore ∠ 1+∠ ECD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because GD// CA$，
$\therefore ∠ 2=∠ ECD$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°$（等量代换）。
(2) 解：
$\because GD// AC$，
$\therefore ∠ GDB=∠ A=40°$（两直线平行，同位角相等），$∠ ACD=∠ 2$（两直线平行，内错角相等），
$\because DG$平分$∠ CDB$，
$\therefore ∠ 2=∠ BDG=40°$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ACD=∠ 2=40°$（等量代换），
又$\because CD$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACB=2∠ ACD=2×40°=80°$（角平分线的定义）。
【答案】
(1) $∠ 1+∠ 2=180°$，得证；
(2) $∠ ACB=80°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是熟练运用平行线的性质梳理角之间的数量关系，结合角平分线的定义完成角度推导，能够帮助学生巩固平行线与角平分线的组合应用逻辑。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明∠1+∠2=180°，可借助平行线的性质推导角的关系：首先由EF//CD可得∠1和∠ECD是同旁内角，满足互补关系；再由GD//CA可得∠2和∠ECD是内错角，满足相等关系，通过等量代换即可得证。
(2) 要求∠ACB的度数，已知CD平分∠ACB，因此只需要先求出∠ACD的度数即可。首先由GD//AC，结合平行线同位角相等的性质可得∠GDB=∠A=40°，再根据DG平分∠CDB推出∠2=∠GDB=40°；接着结合GD//AC的内错角相等性质，得∠ACD=∠2，最后利用角平分线的定义即可求出∠ACB的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// CD$，
$\therefore ∠ 1+∠ ECD=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because GD// CA$，
$\therefore ∠ 2=∠ ECD$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°$（等量代换）。
(2) 解：
$\because GD// AC$，
$\therefore ∠ GDB=∠ A=40°$（两直线平行，同位角相等），$∠ ACD=∠ 2$（两直线平行，内错角相等），
$\because DG$平分$∠ CDB$，
$\therefore ∠ 2=∠ BDG=40°$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ ACD=∠ 2=40°$（等量代换），
又$\because CD$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACB=2∠ ACD=2×40°=80°$（角平分线的定义）。
【答案】
(1) $∠ 1+∠ 2=180°$，得证；
(2) $∠ ACB=80°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等量代换
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是熟练运用平行线的性质梳理角之间的数量关系，结合角平分线的定义完成角度推导，能够帮助学生巩固平行线与角平分线的组合应用逻辑。
【难度系数】
0.75
13.【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：$2x + 4 = 2$的解为$x = -1$，$\begin{cases}2x - 3 ＜ 9 - x, \\5x + 5 ≥ 2x - 4\end{cases}$的解集为$-3 ≤ x ＜ 4$，不难发现$x = -1$在$-3 ≤ x ＜ 4$的范围内，所以$2x + 4 = 2$是$\begin{cases}2x - 3 ＜ 9 - x, \\5x + 5 ≥ 2x - 4\end{cases}$的“子方程”。
【问题解决】(1)在方程①$4x - 5 = x + 7$，②$\frac{1}{11}x - \frac{1}{3} = 0$，③$2x + 3(x + 2) = 2$中，不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ -x + 8, \\3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$的“子方程”是 ______ （填序号）；
(2)若关于$x$的方程$2x - k = 4$是不等式组$\begin{cases}5x - 7 ＞ 11 - x, \\2x ≥ 3x - 6\end{cases}$的“子方程”，求$k$的取值范围。
【问题解决】(1)在方程①$4x - 5 = x + 7$，②$\frac{1}{11}x - \frac{1}{3} = 0$，③$2x + 3(x + 2) = 2$中，不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ -x + 8, \\3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$的“子方程”是 ______ （填序号）；
(2)若关于$x$的方程$2x - k = 4$是不等式组$\begin{cases}5x - 7 ＞ 11 - x, \\2x ≥ 3x - 6\end{cases}$的“子方程”，求$k$的取值范围。
答案
13. 解:(1)①②;
(2)解不等式 $5x-7＞11-x$,得:$x＞3$,
解不等式 $2x≥3x-6$,得:$x≤6$,
则不等式组 $\begin{cases}5x-7＞11-x, \\2x≥3x-6\end{cases}$ 的解集为 $3＜x≤6$,
解方程 $2x-k=4$,得 $x=\dfrac{k+4}{2}$,
由题意,得 $3＜\dfrac{k+4}{2}≤6$,
$\therefore 6＜k+4≤12$,
解得:$2＜k≤8.$
(2)解不等式 $5x-7＞11-x$,得:$x＞3$,
解不等式 $2x≥3x-6$,得:$x≤6$,
则不等式组 $\begin{cases}5x-7＞11-x, \\2x≥3x-6\end{cases}$ 的解集为 $3＜x≤6$,
解方程 $2x-k=4$,得 $x=\dfrac{k+4}{2}$,
由题意,得 $3＜\dfrac{k+4}{2}≤6$,
$\therefore 6＜k+4≤12$,
解得:$2＜k≤8.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要准确理解“子方程”的定义：即一元一次方程的解落在对应一元一次不等式组的解集范围内。
对于第(1)问，解题步骤为：①先求解给定的不等式组，得到其解集；②分别求解3个一元一次方程的解；③逐一判断每个方程的解是否在不等式组的解集内，符合的就是“子方程”。
对于第(2)问，解题步骤为：①先求解不等式组得到x的取值范围；②求解关于x的方程，用含k的代数式表示x；③根据“子方程”的定义，让含k的x的代数式落在不等式组的解集范围内，得到关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 先求解不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ -x + 8 \\3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$：
解第一个不等式：$2x -1 ＞ -x +8$，移项得$3x＞9$，解得$x＞3$；
解第二个不等式：$3(x-2)-x ≤4$，展开得$3x-6 -x ≤4$，合并同类项得$2x ≤10$，解得$x ≤5$；
因此不等式组的解集为$3 ＜ x ≤5$。
分别求解3个方程的解：
①解方程$4x - 5 = x + 7$，移项得$3x=12$，解得$x=4$，$4$在$3 ＜x ≤5$范围内，是“子方程”；
②解方程$\frac{1}{11}x - \frac{1}{3} = 0$，移项得$\frac{1}{11}x=\frac{1}{3}$，解得$x=\frac{11}{3}$，$\frac{11}{3}\approx3.67$，在$3 ＜x ≤5$范围内，是“子方程”；
③解方程$2x + 3(x + 2) = 2$，展开得$2x+3x+6=2$，合并同类项得$5x=-4$，解得$x=-\frac{4}{5}$，不在$3 ＜x ≤5$范围内，不是“子方程”。
(2) 先求解不等式组$\begin{cases}5x - 7 ＞ 11 - x \\2x ≥ 3x - 6\end{cases}$：
解不等式$5x-7＞11-x$，移项得$6x＞18$，解得$x＞3$；
解不等式$2x≥3x-6$，移项得$-x≥-6$，解得$x≤6$；
因此不等式组的解集为$3 ＜ x ≤6$。
解方程$2x - k = 4$，移项得$2x=k+4$，解得$x=\frac{k+4}{2}$。
根据“子方程”的定义，$x=\frac{k+4}{2}$需满足$3 ＜ \frac{k+4}{2} ≤6$，
不等式三边同时乘2得：$6 ＜ k+4 ≤12$，
三边同时减4得：$2 ＜ k ≤8$。
【答案】
(1)①②；(2)$2 ＜ k ≤8$
【知识点】
解一元一次方程、解一元一次不等式组、新定义应用
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“子方程”的定义，将问题转化为常规的一元一次方程、一元一次不等式组求解即可，解题过程中要注意计算的准确性，解不等式时不等号方向是否改变要判断正确。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要准确理解“子方程”的定义：即一元一次方程的解落在对应一元一次不等式组的解集范围内。
对于第(1)问，解题步骤为：①先求解给定的不等式组，得到其解集；②分别求解3个一元一次方程的解；③逐一判断每个方程的解是否在不等式组的解集内，符合的就是“子方程”。
对于第(2)问，解题步骤为：①先求解不等式组得到x的取值范围；②求解关于x的方程，用含k的代数式表示x；③根据“子方程”的定义，让含k的x的代数式落在不等式组的解集范围内，得到关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 先求解不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ -x + 8 \\3(x - 2) - x ≤ 4\end{cases}$：
解第一个不等式：$2x -1 ＞ -x +8$，移项得$3x＞9$，解得$x＞3$；
解第二个不等式：$3(x-2)-x ≤4$，展开得$3x-6 -x ≤4$，合并同类项得$2x ≤10$，解得$x ≤5$；
因此不等式组的解集为$3 ＜ x ≤5$。
分别求解3个方程的解：
①解方程$4x - 5 = x + 7$，移项得$3x=12$，解得$x=4$，$4$在$3 ＜x ≤5$范围内，是“子方程”；
②解方程$\frac{1}{11}x - \frac{1}{3} = 0$，移项得$\frac{1}{11}x=\frac{1}{3}$，解得$x=\frac{11}{3}$，$\frac{11}{3}\approx3.67$，在$3 ＜x ≤5$范围内，是“子方程”；
③解方程$2x + 3(x + 2) = 2$，展开得$2x+3x+6=2$，合并同类项得$5x=-4$，解得$x=-\frac{4}{5}$，不在$3 ＜x ≤5$范围内，不是“子方程”。
(2) 先求解不等式组$\begin{cases}5x - 7 ＞ 11 - x \\2x ≥ 3x - 6\end{cases}$：
解不等式$5x-7＞11-x$，移项得$6x＞18$，解得$x＞3$；
解不等式$2x≥3x-6$，移项得$-x≥-6$，解得$x≤6$；
因此不等式组的解集为$3 ＜ x ≤6$。
解方程$2x - k = 4$，移项得$2x=k+4$，解得$x=\frac{k+4}{2}$。
根据“子方程”的定义，$x=\frac{k+4}{2}$需满足$3 ＜ \frac{k+4}{2} ≤6$，
不等式三边同时乘2得：$6 ＜ k+4 ≤12$，
三边同时减4得：$2 ＜ k ≤8$。
【答案】
(1)①②；(2)$2 ＜ k ≤8$
【知识点】
解一元一次方程、解一元一次不等式组、新定义应用
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“子方程”的定义，将问题转化为常规的一元一次方程、一元一次不等式组求解即可，解题过程中要注意计算的准确性，解不等式时不等号方向是否改变要判断正确。
【难度系数】
0.7
