9 [2025枣庄薛城期中]如图,在四边形ABCD中,$∠ADC=∠ABC=90°$,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,其面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$.若$S_1=2,S_2=4,S_4=11$,则BC的长为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

9. C

【分析】
观察图形可知，四个正方形的面积分别对应四边形ABCD四条边长的平方。已知四边形中有两个直角，我们可以连接AC构造两个共用斜边AC的直角三角形，利用勾股定理建立四条边长平方之间的等量关系，代入已知的正方形面积即可求出BC边长的平方，进而得到BC的长度。
【解析】
连接AC，根据正方形面积等于边长的平方可得：
$S_1=AD^2=2$，$S_2=AB^2=4$，$S_4=CD^2=11$，设$S_3=BC^2$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$，即$AC^2 = S_1 + S_4 = 2 + 11 = 13$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$，代入$AC^2=13$、$S_2=4$可得：
$4 + S_3 = 13$，解得$S_3=9$，即$BC^2=9$。
因为BC为线段长度，是正数，所以$BC=\sqrt{9}=3$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是通过连接辅助线AC，找到两个直角三角形公共斜边的平方作为等量关系，结合正方形面积与边长平方的对应关系列式计算，是勾股定理结合图形性质的基础考法。
【难度系数】
0.7

10 新考向 探究题 学习了勾股定理之后，老师给大家留了一道作业题，小明看了之后，发现三角形各边长都不知道，无从下手，心中着急。请你帮助一下小明。如图，$△ ABC$的顶点$A,B,C$均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，$BD ⊥ AC$于点$D$，则$BD$的长为（）

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{8}{5}$
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{24}{5}$

10. C 【解析】由勾股定理,易得$AC=5$.因为$BD⊥AC$,所以$△ABC$的面积$=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×4×4$.所以$BD=\frac{16}{5}$.

【分析】
要求AC边上的高BD的长度，可采用等面积法求解：首先利用网格特征计算出△ABC的面积，再通过勾股定理求出AC的长度，最后根据同一个三角形面积的两种表示方法列出等式，即可解出BD的长。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 求AC的长度：观察网格可得，点A到点C的水平距离为3，竖直距离为4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
2. 计算△ABC的面积：以BC为底，BC的长度为4，BC边上的高为4，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
3. 因为$BD ⊥ AC$，所以△ABC的面积也可以表示为$\frac{1}{2} × AC × BD$，代入已知数据得：
$\frac{1}{2} × 5 × BD = 8$
解得：$BD=\frac{16}{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理的应用，解题的核心是灵活运用等面积法，将三角形面积的两种表达形式结合建立等式，是勾股定理相关的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7

11 新考向 新定义题 对角线互相垂直的四边形称为“垂美”四边形.如图,在“垂美”四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则$AB^2+CD^2=$.

11. 20

【分析】
首先理解“垂美”四边形的定义，可知其对角线互相垂直，即AC⊥BD，此时AC、BD相交形成的四个三角形均为直角三角形。我们可以利用勾股定理分别表示出$AB^2$、$CD^2$，将两式相加后，再和$AD^2$、$BC^2$的勾股定理表达式对比，即可得到$AB^2+CD^2$与已知边AD、BC的数量关系，代入数值即可算出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴ $AC⊥BD$，即$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOA=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：$AB^2=AO^2+BO^2$，
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，由勾股定理得：$CD^2=CO^2+DO^2$，
两式相加得：$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
同理，在$\mathrm{Rt}△ AOD$中：$AD^2=AO^2+DO^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中：$BC^2=BO^2+CO^2$，
两式相加得：$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，
∴ $AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
∵ $AD=2$，$BC=4$，
∴ $AB^2+CD^2=2^2+4^2=4+16=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；新定义问题；垂直的性质
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理的应用，解题的核心是抓住对角线互相垂直的特征，借助勾股定理将所求线段平方和转化为已知线段的平方和，是新定义类问题中较为基础的题型。
【难度系数】
0.7

12 [2024甘孜]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=4$,折叠$△ ABC$,使点A与点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为.

12. 3 【解析】由折叠,得$AE=BE$.因为$AC=8$,所以$AE=AC-CE=8-CE$,即$BE=8-CE$.在$\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得$BC^2+CE^2=BE^2$,即$4^2+CE^2=(8-CE)^2$.所以$CE=3$.

【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠后点A与点B重合，可得对应边AE=BE。要求CE的长度，我们可以设CE为未知量，将BE用含CE的式子表示，再观察到△BCE是直角三角形，可利用勾股定理建立关于CE的方程，解方程即可得到CE的长。
【解析】
解：由折叠的性质可知，AE=BE。
∵AC=8，
∴AE = AC - CE = 8 - CE，即BE = 8 - CE。
在Rt△BCE中，∠C=90°，根据勾股定理得：
$BC^2 + CE^2 = BE^2$
将BC=4，BE=8-CE代入上式：
$4^2 + CE^2 = (8 - CE)^2$
展开得：$16 + CE^2 = 64 - 16CE + CE^2$
消去两边的$CE^2$，整理得：$16CE = 48$
解得：$CE=3$
【答案】
3
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是勾股定理结合折叠问题的典型题目，解题关键是利用折叠的性质得到相等的线段，将已知和未知线段转化到同一个直角三角形中，通过勾股定理列方程求解，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

13 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，且CD=8 cm，BD=6 cm. 求：
(1) AD 的长；
(2) △ABC 的面积.

13. (1) 设$AD=x\ \mathrm{cm}$,则$AC=AB=(x+6)\mathrm{cm}$.根据题意,可得$x^2+8^2=(x+6)^2$,所以$x=\frac{7}{3}$.所以$AD=\frac{7}{3}\ \mathrm{cm}$ (2) 由(1),得$AB=6+\frac{7}{3}=\frac{25}{3}(\mathrm{cm})$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}(\mathrm{cm}^2)$

【分析】
解决第(1)问：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且CD⊥AB，可得△ADC为直角三角形，可借助勾股定理建立方程求解。设AD的长度为x cm，那么AB=AD+BD=(x+6)cm，即AC也等于(x+6)cm，将Rt△ADC的三边代入勾股定理公式列方程，即可求出AD的长。
解决第(2)问：三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$，此处以AB为底，CD是AB边上的高，长度已知为8cm，先根据第(1)问结果算出AB的长度，再代入面积公式计算即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 设$AD=x\ \mathrm{cm}$，
∵AB=AC，AB=AD+BD，BD=6 cm，
∴$AC=AB=(x+6)\mathrm{cm}$，
∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
代入数据得：$x^2+8^2=(x+6)^2$，
展开得$x^2 + 64 = x^2 + 12x + 36$，
化简得$12x=28$，
解得$x=\frac{7}{3}$，即$AD=\frac{7}{3}\ \mathrm{cm}$。
(2) 由(1)的结果可得$AB=BD+AD=6+\frac{7}{3}=\frac{25}{3}(\mathrm{cm})$，
∵CD是AB边上的高，CD=8 cm，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $\frac{7}{3}\ \mathrm{cm}$；(2) $\frac{100}{3}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用等腰三角形的边的关系结合勾股定理，通过方程思想求解未知线段长度，再代入面积公式计算，难度不大，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7

14 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$. 如图①，当$∠ C=90°$时，根据勾股定理，可得$a^2 + b^2 = c^2$. 如图②③，当$△ ABC$不是直角三角形时，请你类比勾股定理，猜想$a^2 + b^2$与$c^2$的大小关系，并说明理由.

14. 当$△ABC$是锐角三角形时,$a^2+b^2＞c^2$;当$△ABC$是钝角三角形,且$∠C$为钝角时,$a^2+b^2＜c^2$ 理由:如题图②,当$△ABC$是锐角三角形时,过点A作$AD⊥BC$于点D.设$CD=x$,则$BD=a-x$.根据勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2=AB^2-BD^2$,即$b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$.所以$a^2+b^2=c^2+2ax$.因为$a＞0,x＞0$,所以$2ax＞0$.所以$a^2+b^2＞c^2$.如题图③,当$△ABC$是钝角三角形,且$∠C$为钝角时,过点B作$BD⊥AC$,交AC的延长线于点D.设$CD=x$,则$AD=b+x$.根据勾股定理,得$BD^2=AB^2-AD^2=BC^2-CD^2$,即$c^2-(b+x)^2=a^2-x^2$.所以$a^2+b^2+2bx=c^2$.因为$b＞0,x＞0$,所以$2bx＞0$.所以$a^2+b^2＜c^2$.

【分析】
要探究非直角三角形中$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，我们可以通过作高将斜三角形转化为直角三角形，借助勾股定理建立边长等量关系。解题时先分两种情况讨论：①$△ ABC$是锐角三角形，过点$A$作$BC$边上的高，将$BC$分为两段，设其中一段长为$x$，利用公共高为等量，分别在两个直角三角形中表示高的平方，列等式化简后结合线段长度为正的特点判断大小；②$△ ABC$是钝角且$∠ C$为钝角，过点$B$作$AC$延长线上的高，同理用勾股定理建立等式化简，再判断大小即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC$是锐角三角形（如图②）时：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$CD=x$，则$BD=BC-CD=a-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=b^2-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=c^2-(a-x)^2$。
因此$b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$，
展开整理得：$a^2+b^2=c^2+2ax$。
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，故$a^2+b^2＞c^2$。
2. 当$△ ABC$是钝角三角形，且$∠ C$为钝角（如图③）时：
过点$B$作$BD⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$D$，设$CD=x$，则$AD=AC+CD=b+x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$BD^2=BC^2-CD^2=a^2-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$BD^2=AB^2-AD^2=c^2-(b+x)^2$。
因此$c^2-(b+x)^2=a^2-x^2$，
展开整理得：$a^2+b^2+2bx=c^2$。
因为$b＞0$，$x＞0$，所以$2bx＞0$，故$a^2+b^2＜c^2$。
【答案】
当$△ ABC$是锐角三角形时，$a^2+b^2＞c^2$；当$△ ABC$是钝角三角形且$∠ C$为钝角时，$a^2+b^2＜c^2$。
【知识点】
勾股定理，构造直角三角形，整式化简
【点评】
本题是勾股定理的拓展探究题，体现了类比、转化的数学思想，通过作高将非直角三角形转化为直角三角形，结合勾股定理和整式运算推导边长平方的大小关系，考查了知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6