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11. 如图，平面直角坐标系中，$△ ABC ≌ △ FED$，若A点的坐标为$(-3,1)$，B，C两点的纵坐标均为$-4$，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为
5
。答案
11.5
12. [2025德州期中] 如图，勤劳的小蜜蜂A,B,C,D,E,F分别位于蜂房(由若干个正六边形拼成)向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与$△ ACD$全等的三角形是
△CBA,△AED
。答案
12.$△ CBA$,$△ AED$
三、解答题（共48分）
13.（12分）如图，在$△ ABC$和$△ AED$中，$AB=AE$，$∠ BAE = ∠ CAD$，$AC=AD$。求证：$△ ABC≌△ AED$。
13.（12分）如图，在$△ ABC$和$△ AED$中，$AB=AE$，$∠ BAE = ∠ CAD$，$AC=AD$。求证：$△ ABC≌△ AED$。
答案
13.【证明】$\because ∠BAE=∠CAD$,
$\therefore ∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE$,
即$∠BAC=∠EAD$.
在$△ ABC$与$△ AED$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ AED(SAS)$.
$\therefore ∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE$,
即$∠BAC=∠EAD$.
在$△ ABC$与$△ AED$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ AED(SAS)$.
14. (16分) 2025·信阳期中 新趋势·跨学科 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图①,OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置,如图②,此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的A,B,O,C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得BD=8 cm,OD=17 cm.
(1)求证:∠COE=∠B;
(2)求DE的长.
(1)求证:∠COE=∠B;
(2)求DE的长.
答案
14.(1)【证明】$\because OB⊥OC,\therefore ∠BOD+∠COE=90^{\circ }$.
又$\because CE⊥OA,BD⊥OA,\therefore ∠CEO=∠ODB=90^{\circ }$,
$\therefore ∠BOD+∠B=90^{\circ },\therefore ∠COE=∠B$.
(2)【解】由题知$OB=OC$.
在$△ COE$和$△ OBD$中,$\begin{cases} ∠CEO=∠BDO=90^{\circ }, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌ △ OBD(AAS),\therefore OE=BD=8\ \mathrm{cm}$.
$\because OD=17\ \mathrm{cm},\therefore DE=OD-OE=9(\mathrm{cm})$.
又$\because CE⊥OA,BD⊥OA,\therefore ∠CEO=∠ODB=90^{\circ }$,
$\therefore ∠BOD+∠B=90^{\circ },\therefore ∠COE=∠B$.
(2)【解】由题知$OB=OC$.
在$△ COE$和$△ OBD$中,$\begin{cases} ∠CEO=∠BDO=90^{\circ }, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌ △ OBD(AAS),\therefore OE=BD=8\ \mathrm{cm}$.
$\because OD=17\ \mathrm{cm},\therefore DE=OD-OE=9(\mathrm{cm})$.
15.(20分)[2025周口月考] 如图,在$△ ABC$中,高线$AD,BE$相交于点$O$,$AE=BE$,$BD=2$,$DC=2BD$.
(1)证明:$△ AEO≌△ BEC$;
(2)求$OA$的长;
(3)$F$是射线$AC$上的一点,且$CF=BO$,动点$P$从点$O$出发,沿线段$OA$以每秒1个单位长度的速度向终点$A$运动,动点$Q$从点$B$出发,沿射线$BC$以每秒4个单位长度的速度运动,$P,Q$两点同时出发,当点$P$到达$A$点时,$P,Q$两点同时停止运动,设点$P$的运动时间为$t$秒,则是否存在$t$值,使得以点$B,O,P$为顶点的三角形与以点$F,C,Q$为顶点的三角形全等?若存在,请求出符合条件的$t$值,若不存在,请说明理由.
(1)证明:$△ AEO≌△ BEC$;
(2)求$OA$的长;
(3)$F$是射线$AC$上的一点,且$CF=BO$,动点$P$从点$O$出发,沿线段$OA$以每秒1个单位长度的速度向终点$A$运动,动点$Q$从点$B$出发,沿射线$BC$以每秒4个单位长度的速度运动,$P,Q$两点同时出发,当点$P$到达$A$点时,$P,Q$两点同时停止运动,设点$P$的运动时间为$t$秒,则是否存在$t$值,使得以点$B,O,P$为顶点的三角形与以点$F,C,Q$为顶点的三角形全等?若存在,请求出符合条件的$t$值,若不存在,请说明理由.
答案
15.(1)【证明】$\because AD,BE$是$△ ABC$的高,
$\therefore ∠AEB=∠BEC=∠BDA=90^{\circ }$.
$\because ∠AOE=∠BOD,\therefore ∠EAO=∠EBC$.
在$△ AEO$和$△ BEC$中,$\begin{cases} ∠AEO=∠BEC, \\ AE=BE, \\ ∠EAO=∠EBC, \end{cases}$
$\therefore △ AEO≌ △ BEC(ASA)$.
(2)【解】$\because BD=2,DC=2BD,\therefore DC=4$,
$\therefore BC=BD+DC=6$.
$\because △ AEO≌ △ BEC,\therefore OA=BC=6$.
(3)【解】存在,求解如下:
由题意得$OP=t,BQ=4t$.
如图①所示,当$△ BOP≌ △ FCQ$时,$OP=CQ$,此时$CQ=6-4t,\therefore t=6-4t$,解得$t=1.2$;
如图②所示,当$△ BOP≌ △ FCQ$时,$OP=CQ$,此时$CQ=4t-6,\therefore t=4t-6$,解得$t=2$.
综上所述,存在,当$t=1.2$秒或2秒时,以点$B,O,P$为顶点的三角形与以点$F,C,Q$为顶点的三角形全等.
