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14. 核心素养 抽象能力 聚焦中考 直接经验学习 「2026 山东青岛城阳月考」综
合与探究：
【概念学习】
现规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫作除方,比如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$写作$2^{③}$,读作“2 的圈 3 次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$写作$(-3)^{④}$,读作“(-3)的圈4次方”.一般地,把$\underbrace{a÷a÷···÷a}_{n个a}(a≠0)$写作$a^{ⓝ}$,读作“a 的圈 n 次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
乘方幂的形式
(2)试一试:仿照上面的算式,把下列除方运算直接写成乘方幂的形式:
$(-3)^{⑤}=$
(3)算一算:$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑥}-(-\frac{1}{3})^{⑥}÷3^{3}$.
(4)小明深入思考后发现:除方运算能够转化成乘方运算,且结果可以写成幂的形式,请推导出除方的运算公式$a^{ⓝ}$(n为正整数,$a≠0,n≥2$),要求写出推导过程,将结果写成乘方幂的形式.(结果用含$a,n$的式子表示)
合与探究：
【概念学习】
现规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫作除方,比如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等,类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$写作$2^{③}$,读作“2 的圈 3 次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$写作$(-3)^{④}$,读作“(-3)的圈4次方”.一般地,把$\underbrace{a÷a÷···÷a}_{n个a}(a≠0)$写作$a^{ⓝ}$,读作“a 的圈 n 次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
$\dfrac{1}{2}$
;$(-\frac{1}{2})^{③}=$$-2$
.【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
乘方幂的形式
(2)试一试:仿照上面的算式,把下列除方运算直接写成乘方幂的形式:
$(-3)^{⑤}=$
$(-\dfrac{1}{3})^3$
, $(-\frac{1}{5})^{⑥}=$$5^4$
.(3)算一算:$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑥}-(-\frac{1}{3})^{⑥}÷3^{3}$.
(4)小明深入思考后发现:除方运算能够转化成乘方运算,且结果可以写成幂的形式,请推导出除方的运算公式$a^{ⓝ}$(n为正整数,$a≠0,n≥2$),要求写出推导过程,将结果写成乘方幂的形式.(结果用含$a,n$的式子表示)
答案
14.解析 (1)$\dfrac{1}{2}$;$-2$.
详解:$2^{③}=2÷2÷2=\dfrac{1}{2}$,$(-\dfrac{1}{2})^{③}=(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})=-2$.
(2)$(-3)^{⑤}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$
$=(-3)×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^3$,
$(-\dfrac{1}{5})^{⑥}=(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{5}}×5×5×5×5×5=5^4$.
故答案为$(-\dfrac{1}{3})^3$;$5^4$.
(3)原式$=144÷(-3)^2×(-\dfrac{1}{2})^4-(-3)^4÷3^3$
$=144×\dfrac{1}{9}×\dfrac{1}{16}-81×\dfrac{1}{27}=-2$.
(4)根据题意得$a^{ⓝ}=\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}$
$=a×\underbrace{\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}×…×\dfrac{1}{a}}_{(n-1)个\dfrac{1}{a}}$
$=(a×\dfrac{1}{a})×(\dfrac{1}{a})^{n-2}$
$=1×(\dfrac{1}{a})^{n-2}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$.
详解:$2^{③}=2÷2÷2=\dfrac{1}{2}$,$(-\dfrac{1}{2})^{③}=(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})÷(-\dfrac{1}{2})=-2$.
(2)$(-3)^{⑤}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$
$=(-3)×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^3$,
$(-\dfrac{1}{5})^{⑥}=(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{1}{5})=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{5}}×5×5×5×5×5=5^4$.
故答案为$(-\dfrac{1}{3})^3$;$5^4$.
(3)原式$=144÷(-3)^2×(-\dfrac{1}{2})^4-(-3)^4÷3^3$
$=144×\dfrac{1}{9}×\dfrac{1}{16}-81×\dfrac{1}{27}=-2$.
(4)根据题意得$a^{ⓝ}=\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}$
$=a×\underbrace{\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}×…×\dfrac{1}{a}}_{(n-1)个\dfrac{1}{a}}$
$=(a×\dfrac{1}{a})×(\dfrac{1}{a})^{n-2}$
$=1×(\dfrac{1}{a})^{n-2}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$.
1.「2026山东淄博高青期末」若$|x-1|+|y+2|=0$，则$5x-2y$的值为（
A.$-9$
B.$3$
C.$9$
D.$-1$
C
）A.$-9$
B.$3$
C.$9$
D.$-1$
答案
1.C
∵|x−1|+|y+2|=0,
∴x−1=0,y+2=0,
∴x=1,y=−2,
∴5x−2y=5×1−2×(−2)=9.
故选C.
∵|x−1|+|y+2|=0,
∴x−1=0,y+2=0,
∴x=1,y=−2,
∴5x−2y=5×1−2×(−2)=9.
故选C.
3.若$|-2+a|+4(3-b)^2=0$,则$b=$
4.「2026山东烟台期末」已知$|a+2|+(b-3)^2=0$,则
3
,$a=$2
.4.「2026山东烟台期末」已知$|a+2|+(b-3)^2=0$,则
答案
3.答案 3;2
解析 因为|−2+a|+4(3−b)²=0,
所以−2+a=0,3−b=0,
所以a=2,b=3.
解析 因为|−2+a|+4(3−b)²=0,
所以−2+a=0,3−b=0,
所以a=2,b=3.
A.-9 B.3 C.9 D.-1
2.若$|m+2|$与$(n-3)^2$互为相反数，则$mn=$
4.「2026山东烟台期末」已知$|a+2|+(b-3)^2=0$，则 $-b^2+a=$
2.若$|m+2|$与$(n-3)^2$互为相反数，则$mn=$
-6
.4.「2026山东烟台期末」已知$|a+2|+(b-3)^2=0$，则 $-b^2+a=$
-11
.答案
2.答案 -6
解析 因为|m+2|与$(n-3)^2$互为相反数,
所以$|m+2|+(n-3)^2=0$,
所以m+2=0,n−3=0,
解得m=−2,n=3,
所以mn=(−2)×3=−6.
4.答案 -11
解析
∵|a+2|+(b−3)²=0,
∴a+2=0,b−3=0,
∴a=−2,b=3,
∴−b²+a=a−b²=−2−3²=−11.
故答案为−11.
解析 因为|m+2|与$(n-3)^2$互为相反数,
所以$|m+2|+(n-3)^2=0$,
所以m+2=0,n−3=0,
解得m=−2,n=3,
所以mn=(−2)×3=−6.
4.答案 -11
解析
∵|a+2|+(b−3)²=0,
∴a+2=0,b−3=0,
∴a=−2,b=3,
∴−b²+a=a−b²=−2−3²=−11.
故答案为−11.
