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1 (2026·河北衡水期中)下面是用配方法解方程:$2x^2 -7=5x$ 的部分解答过程,请将过程补充完整.
解:移项,得 $2x^2 -5x=7$,
二次项系数化为1,得 $x^2 - \frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$,
配方,得 $x^2 - \frac{5}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = \frac{7}{2} + \_\_\_\_\_\_$,
即 $(\_\_\_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_\_\_$,
两边直接开平方,得 ______,
$\therefore x_1 = \_\_\_\_\_\_, x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
解:移项,得 $2x^2 -5x=7$,
二次项系数化为1,得 $x^2 - \frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$,
配方,得 $x^2 - \frac{5}{2}x + \_\_\_\_\_\_ = \frac{7}{2} + \_\_\_\_\_\_$,
即 $(\_\_\_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_\_\_$,
两边直接开平方,得 ______,
$\therefore x_1 = \_\_\_\_\_\_, x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$\frac{25}{16}$ $\frac{25}{16}$ $x-\frac{5}{4}$ $\frac{81}{16}$ $x-\frac{5}{4}=\pm\frac{9}{4}$ $\frac{7}{2}$ $-1$
2 (2025·江西景德镇期中)请用配方法讨论关于$x$的一元二次方程$x^2 -2x -c +2=0$的根的情况.
答案
配方后方程转化为$(x-1)^2=c-1$.
当$c-1≥0$,即$c≥1$时,方程有实数根；
当$c-1＜0$,即$c＜1$时,方程无实数根.
当$c-1≥0$,即$c≥1$时,方程有实数根；
当$c-1＜0$,即$c＜1$时,方程无实数根.
3（2026·北京海淀区期末）阅读材料：
用配方法因式分解：$a^2 + 6a + 8$。
解：原式$=a^2 + 6a + 9 -1=(a+3)^2 -1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)$。
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：$a^2 +4a + \_\_\_\_\_\_$。
（2）用配方法因式分解：$a^2 -24a +143$。
用配方法因式分解：$a^2 + 6a + 8$。
解：原式$=a^2 + 6a + 9 -1=(a+3)^2 -1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)$。
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：$a^2 +4a + \_\_\_\_\_\_$。
（2）用配方法因式分解：$a^2 -24a +143$。
答案
(1)4
(2)原式$=a^2 -24a +144 -1$
$=(a-12)^2 -1^2$
$=(a-12+1)(a-12-1)$
$=(a-11)(a-13)$.
(2)原式$=a^2 -24a +144 -1$
$=(a-12)^2 -1^2$
$=(a-12+1)(a-12-1)$
$=(a-11)(a-13)$.
4 (2025·山东威海环翠区期末)分解因式：$3x^2 - 2x + \frac{1}{3}$
答案
原式$=3(x^2-\frac{2}{3}x)+\frac{1}{3}$
$=3(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})+\frac{1}{3}$
$=3(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$
$=3(x-\frac{1}{3})^2$.
$=3(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})+\frac{1}{3}$
$=3(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$
$=3(x-\frac{1}{3})^2$.
5 分解因式:$2x^2 - 3xy - y^2$.
答案
原式$=2(x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{9}{16}y^2-\frac{9}{16}y^2)-y^2$
$=2(x-\frac{3}{4}y)^2-\frac{17}{8}y^2$
$=(\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{34}-3\sqrt{2}}{4}y)(\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{34}+3\sqrt{2}}{4}y)$.
$=2(x-\frac{3}{4}y)^2-\frac{17}{8}y^2$
$=(\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{34}-3\sqrt{2}}{4}y)(\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{34}+3\sqrt{2}}{4}y)$.
6 (2026·广西崇左宁明月考)代数式 $2x^2 -6x +1$ 的最小值为
-3.5
。答案
$-3.5$
7（2026·北京石景山区期中）求证：无论$x$取何值，代数式$x^2 -6x +10$的值恒大于0.
答案
$\because x^2 -6x +10=(x-3)^2 +1＞0$,
$\therefore$ 无论$x$取何值,$x^2 -6x +10$的值均大于0.
$\therefore$ 无论$x$取何值,$x^2 -6x +10$的值均大于0.
