1.定义:顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内嵌菱形.
以下是2种不同的作矩形的内嵌菱形的方法.
方法一:如图1,将矩形纸片横对折后再竖对折,沿对角线剪一刀得到一个直角三角形,展开后就是矩形ABCD的内嵌菱形.
方法二:如图2,作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF,与AD边交于点E,与BC边交于F,连接AF,CE,则四边形AECF是矩形ABCD的内嵌菱形.
(1)图1中菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为.
(2)尺规作图:请你在图2中完成“方法二”的作图过程.(保留作图痕迹)
(3)如图2,在矩形ABCD中,若AB=6,BC=18,求菱形AECF的面积.

(1)1:2.
(2)如图.

(3)设菱形AECF的边长为x,则AF=CF=x,
∵ BC=18,
∴ BF=18−x,
在Rt△ABF中,AB²+BF²=AF²,AB=6,
∴ 6²+(18−x)²=x²,解得x=10,
∴ 菱形AECF的边长为10,
∴ 菱形AECF的面积为CF·AB=10×6=60.

【分析】
(1) 解决第一问时，先根据对折操作的性质，明确菱形EHGF的两条对角线分别对应矩形ABCD的长和宽，再分别代入矩形和菱形的面积公式计算比值即可。
(2) 第二问是尺规作线段的垂直平分线，按照“分别以线段两端点为圆心、大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点得到垂直平分线”的标准步骤操作，再连接对应边得到菱形即可。
(3) 第三问求菱形面积，首先利用菱形四边相等的性质设边长为x，将边长和已知的AB、BC长度转化到Rt△ABF中，用勾股定理列方程求出边长，再用底乘高的方法计算菱形面积即可。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的长为a，宽为b，则矩形面积$S_{ABCD}=ab$。由对折操作可知，菱形EHGF的两条对角线长度分别为a、b，根据菱形面积公式，$S_{EHGF}=\frac{1}{2}× a× b=\frac{1}{2}ab$，因此二者面积比为$\frac{1}{2}ab:ab=1:2$。
(2) 作图步骤：①分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧在AC上下两侧各有一个交点；②连接两个交点得到直线EF，交AD于E，交BC于F；③连接AF、CE，四边形AECF即为所求，保留画弧的痕迹即可。
(3) 设菱形AECF的边长为x，则$AF=CF=x$。
∵ 矩形ABCD中$BC=18$，
∴ $BF=BC-CF=18-x$。
∵ 矩形的内角为直角，
∴ $∠ B=90°$，在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得$AB^2+BF^2=AF^2$。
代入$AB=6$，得$6^2+(18-x)^2=x^2$，
展开计算：$36+324-36x+x^2=x^2$，
化简得$36x=360$，解得$x=10$。
菱形面积可采用底乘高计算，底为$CF=10$，高等于矩形的宽$AB=6$，因此$S_{AECF}=10×6=60$。
【答案】
(1)$1:2$
(2)如图。
(3)$60$
【知识点】
菱形的性质与判定，勾股定理，尺规作垂直平分线
【点评】
本题结合操作定义考察矩形、菱形的性质，同时涉及尺规作图和勾股定理的应用，既锻炼对操作类几何题的理解能力，也考察方程思想在几何计算中的运用，是几何综合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

2.如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形,且正八边形至少有四个顶点在正方形的四条边上,那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗?甲同学给出了正八边形内嵌于正方形的一种情形,如图1所示.
(1)若正方形ABCD的边长为a,则正八边形的边长是多少?
(2)如图2,已知,正方形ABCD,你能用尺规作内嵌于正方形ABCD的正八边形吗?(要求:正八边形的八个顶点均在正方形四条边上)
(3)如图3,已知,正方形ABCD,你能用尺规作内嵌于正方形ABCD的正八边形吗?(要求:正八边形中只有四个顶点在正方形四条边上)

(1)由题意得,△AEL≌△BGF≌△CIH≌△DKJ,且四个三角形均为等腰直角三角形,
设BG=x,则FG=GH=√2x,
∵ BC=BG+GH+CH,
∴ 2x+√2x=a,
∴ x=(1−√2/2)a,
∴ 正八边形的边长为√2×(1−√2/2)a=(√2−1)a.
(2)如图,八边形EFGHIJKL即为所求.

详解:
∵ 正八边形的八个顶点都在正方形的边上,
∴ 只要确定正八边形的顶点的位置即可.由(1)可得,
BH=CG=BC−BG=a−(1−√2/2)a=√2/2a,
∴ 只要构造出长为√2/2a的线段即可,长为√2/2a的线段即长为正方形对角线长的一半的线段.
①连接AC,BD交于点O,以点B为圆心,以BO的长为半径画弧,分别与AB,BC交于点E,H;
②同理确定其余六个顶点的位置,八边形EFGHIJKL即为所求.
(3)如图,八边形EFGHIJKL即为所求.

【分析】
(1) 要求正八边形的边长，观察图形可知正方形四个角截去的是全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的直角边长为x，那么正八边形的边长就是等腰直角三角形的斜边长$\sqrt{2}x$，再结合正方形边长为a列出关于x的方程，解方程求出x后即可得到正八边形边长。
(2) 要作八个顶点都在正方形边上的正八边形，由(1)的结论可知，需要在正方形每条边上截出长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$的线段，而正方形对角线长度的一半恰好是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，因此先作出正方形对角线得到其一半的长度，再以正方形各顶点为圆心，对角线一半长为半径画弧，与正方形各边相交得到八个顶点，顺次连接即可。
(3) 要作只有四个顶点在正方形边上的正八边形，先作出正方形的两条对称轴，得到正方形各边上的四个中点作为正八边形在正方形边上的四个顶点，再结合正八边形各边相等、各角相等的性质，确定其余四个在正方形内部的顶点，顺次连接即可。
【解析】
(1) 由题意可知，正方形四个角截去的$△ AEL$、$△ BGF$、$△ CIH$、$△ DKJ$是全等的等腰直角三角形。
设等腰直角三角形的直角边长为$x$，即$BG=x$，则等腰直角三角形的斜边长$FG=\sqrt{2}x$，也就是正八边形的边长为$\sqrt{2}x$。
正方形$BC$边的长度为$BG+GH+CH$，其中$CH=BG=x$，$GH$是正八边形边长为$\sqrt{2}x$，因此：
$x + \sqrt{2}x + x = a$
整理得$(2+\sqrt{2})x = a$，解得$x = \frac{a}{2+\sqrt{2}} = (1-\frac{\sqrt{2}}{2})a$
因此正八边形的边长为$\sqrt{2}x = \sqrt{2} × (1-\frac{\sqrt{2}}{2})a = (\sqrt{2}-1)a$。
(2) 作图步骤：
① 连接正方形的对角线$AC$、$BD$，交于点$O$，此时$BO$的长度为正方形对角线长度的一半，即$BO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$；
② 以点$B$为圆心，$BO$的长为半径画弧，分别与$AB$、$BC$交于点$E$、$H$；
③ 同理，分别以点$C$、$D$、$A$为圆心，$BO$的长为半径画弧，在正方形其余边上得到对应的六个顶点$F$、$I$、$J$、$K$、$L$、$G$；
④ 顺次连接$E$、$F$、$G$、$H$、$I$、$J$、$K$、$L$，得到所求正八边形。
(3) 作图步骤：
① 分别作正方形$ABCD$两组对边的垂直平分线（即正方形的横竖对称轴），横向对称轴交$AB$于点$E$、交$CD$于点$I$，纵向对称轴交$AD$于点$K$、交$BC$于点$G$，$E$、$I$、$G$、$K$即为正八边形在正方形边上的四个顶点；
② 结合正八边形边长相等、内角相等的性质，确定正方形内部的四个顶点$L$、$F$、$H$、$J$；
③ 顺次连接八个顶点得到所求正八边形。
【答案】
(1) $(\sqrt{2}-1)a$；
(2) ；
(3)
【知识点】
正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，尺规作图
【点评】
本题将正多边形的性质、等腰直角三角形的计算与尺规作图相结合，既考查了学生的代数运算能力，也考查了几何动手操作能力，需要学生准确把握正八边形和正方形的边角关系，灵活运用所学性质解决问题。
【难度系数】
0.6