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4 如图,在菱形ABCD中,对角线AC的长为6,菱形ABCD的面积为24,则菱形ABCD的周长为(
A.5
B.10
C.20
D.30
（第4题）
C
)A.5
B.10
C.20
D.30
（第4题）答案
4. C
解析
【分析】
要计算菱形的周长，首先需要求出菱形的边长。我们可以结合菱形的性质逐步推导：首先回忆菱形的面积公式，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，已知面积和其中一条对角线AC的长度，可先求出另一条对角线BD的长度；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半与菱形的边长可构成直角三角形，借助勾股定理即可算出菱形的边长，最后乘4得到周长。
【解析】
解：
∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知AC=6，菱形ABCD的面积为24
∴$24=\frac{1}{2}×6× BD$，解得$BD=8$
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半长度分别为$\frac{AC}{2}=3$，$\frac{BD}{2}=4$
由勾股定理可得菱形的边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$
∴菱形ABCD的周长为$4×5=20$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
菱形面积计算、菱形对角线性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查菱形的相关性质以及勾股定理的应用，解题的关键是牢记菱形的面积公式和对角线互相垂直平分的特点，熟练运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.8
要计算菱形的周长，首先需要求出菱形的边长。我们可以结合菱形的性质逐步推导：首先回忆菱形的面积公式，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，已知面积和其中一条对角线AC的长度，可先求出另一条对角线BD的长度；再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，两条对角线的一半与菱形的边长可构成直角三角形，借助勾股定理即可算出菱形的边长，最后乘4得到周长。
【解析】
解：
∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知AC=6，菱形ABCD的面积为24
∴$24=\frac{1}{2}×6× BD$，解得$BD=8$
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半长度分别为$\frac{AC}{2}=3$，$\frac{BD}{2}=4$
由勾股定理可得菱形的边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$
∴菱形ABCD的周长为$4×5=20$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
菱形面积计算、菱形对角线性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查菱形的相关性质以及勾股定理的应用，解题的关键是牢记菱形的面积公式和对角线互相垂直平分的特点，熟练运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.8
5 如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,BE⊥AB,DF⊥CD,垂足分别为B,D.若AB=6 cm,则EF=
$2\sqrt{3}$
cm.答案
5. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先利用菱形的性质得到边长、内角平分线的结论：菱形四边相等，对角线平分一组内角，可得∠BAC=30°，AB=6cm；再在Rt△ABE中，利用三角函数或直角三角形性质求出AE的长度，同理求出CF的长度，同时计算出对角线AC的总长度；最后观察线段关系：AE+CF = AC + EF，通过该和差关系即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=6cm，
∴AB=BC=CD=AD=6cm，AC平分∠DAB和∠BCD，
∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DCA=30°，
计算AC的长度：在菱形中，$AC=2× AB×\cos30°=2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，$\cos∠ BAE=\frac{AB}{AE}$，
∴$AE=\frac{AB}{\cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
同理，DF⊥CD，可求得$CF=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系可知：$AE+CF=AC+EF$，
∴$EF=AE+CF-AC=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，直角三角形边角关系，线段和差计算
【点评】
本题是菱形与直角三角形的综合基础题，解题的关键是熟练掌握菱形的内角、对角线性质，结合直角三角形的相关性质求出对应线段的长度，再通过线段间的和差关系推导得到所求线段长度，有助于锻炼几何图形的观察分析能力。
【难度系数】
0.6
首先利用菱形的性质得到边长、内角平分线的结论：菱形四边相等，对角线平分一组内角，可得∠BAC=30°，AB=6cm；再在Rt△ABE中，利用三角函数或直角三角形性质求出AE的长度，同理求出CF的长度，同时计算出对角线AC的总长度；最后观察线段关系：AE+CF = AC + EF，通过该和差关系即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=6cm，
∴AB=BC=CD=AD=6cm，AC平分∠DAB和∠BCD，
∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DCA=30°，
计算AC的长度：在菱形中，$AC=2× AB×\cos30°=2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，$\cos∠ BAE=\frac{AB}{AE}$，
∴$AE=\frac{AB}{\cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
同理，DF⊥CD，可求得$CF=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
由线段和差关系可知：$AE+CF=AC+EF$，
∴$EF=AE+CF-AC=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，直角三角形边角关系，线段和差计算
【点评】
本题是菱形与直角三角形的综合基础题，解题的关键是熟练掌握菱形的内角、对角线性质，结合直角三角形的相关性质求出对应线段的长度，再通过线段间的和差关系推导得到所求线段长度，有助于锻炼几何图形的观察分析能力。
【难度系数】
0.6
6 [2025青海]如图，在菱形ABCD中，BD=6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的周长为
$4\sqrt{13}$
。答案
6. $4\sqrt{13}$
解析
【分析】
要计算菱形的周长，需先求出菱形的边长。第一步，根据E、F是AB、BC的中点，可判断EF是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理求出对角线AC的长度；第二步，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，得到两条对角线一半的长度；第三步，在直角三角形中用勾股定理求出菱形的边长，边长乘4即可得到周长。
【解析】
1. 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AC$。
已知$EF=2$，代入得$AC=2EF=2×2=4$。
2. 因为四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直平分，已知$BD=6$，所以：
$AO=\frac{1}{2}AC=2$，$BO=\frac{1}{2}BD=3$，且$∠ AOB=90°$。
3. 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
4. 菱形四条边相等，因此周长为$4AB=4\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题是菱形相关计算的典型题型，解题的核心是利用中位线求出未知对角线的长度，再结合菱形对角线的特殊性质转化为直角三角形求边长，难度适中，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
要计算菱形的周长，需先求出菱形的边长。第一步，根据E、F是AB、BC的中点，可判断EF是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理求出对角线AC的长度；第二步，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，得到两条对角线一半的长度；第三步，在直角三角形中用勾股定理求出菱形的边长，边长乘4即可得到周长。
【解析】
1. 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AC$。
已知$EF=2$，代入得$AC=2EF=2×2=4$。
2. 因为四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直平分，已知$BD=6$，所以：
$AO=\frac{1}{2}AC=2$，$BO=\frac{1}{2}BD=3$，且$∠ AOB=90°$。
3. 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
4. 菱形四条边相等，因此周长为$4AB=4\sqrt{13}$。
【答案】
$4\sqrt{13}$
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题是菱形相关计算的典型题型，解题的核心是利用中位线求出未知对角线的长度，再结合菱形对角线的特殊性质转化为直角三角形求边长，难度适中，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
7 以点 A 为圆心,5 为半径画弧,再以点 B 为圆心,相同长度为半径画弧,交前弧于 M,N 两点,已知 AB=6,则以 A,M,B,N 四点为顶点的四边形的面积是
24
.答案
7. 24
解析
【分析】
首先根据作图规则可知，AM=AN=BM=BN=5，由此可判定四边形AMBN是菱形，菱形面积可通过“对角线乘积的一半”计算。已知对角线AB=6，我们只需先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线MN的长度，即可代入公式算出四边形面积。
【解析】
解：由作图过程可得：$AM=AN=BM=BN=5$，
$\therefore$ 四边形$AMBN$是菱形，
$\therefore AB$与$MN$互相垂直平分，设$AB$、$MN$的交点为$O$，
则$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$MO=\sqrt{AM^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
$\therefore MN=2MO=2×4=8$，
$\therefore$ 四边形$AMBN$的面积$=\frac{1}{2}× AB× MN=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
$24$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题将尺规作图和菱形的性质结合考查，解题的关键是先根据作图特征判断出四边形为菱形，再结合勾股定理求出未知对角线的长度，最后代入菱形面积公式求解，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.7
首先根据作图规则可知，AM=AN=BM=BN=5，由此可判定四边形AMBN是菱形，菱形面积可通过“对角线乘积的一半”计算。已知对角线AB=6，我们只需先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线MN的长度，即可代入公式算出四边形面积。
【解析】
解：由作图过程可得：$AM=AN=BM=BN=5$，
$\therefore$ 四边形$AMBN$是菱形，
$\therefore AB$与$MN$互相垂直平分，设$AB$、$MN$的交点为$O$，
则$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$MO=\sqrt{AM^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
$\therefore MN=2MO=2×4=8$，
$\therefore$ 四边形$AMBN$的面积$=\frac{1}{2}× AB× MN=\frac{1}{2}×6×8=24$。
【答案】
$24$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题将尺规作图和菱形的性质结合考查，解题的关键是先根据作图特征判断出四边形为菱形，再结合勾股定理求出未知对角线的长度，最后代入菱形面积公式求解，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.7
8[2025成都成华期末]如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,点E在边AD上,连接并延长EO交BC于点F.若AB=2,∠BAD=60°,则△DOE与△COF的面积之和为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
8. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用菱形的性质结合全等三角形的判定，证明△AOE≌△COF，将△COF的面积转化为△AOE的面积，此时△DOE与△COF的面积和就转化为△AOD的面积；②再结合菱形的边长和内角条件，证明△ABD是等边三角形，求出对角线BD的长度，进而得到OD、AO的长度；③最后计算△AOD的面积即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，OA=OC，AD=AB=2，AC⊥BD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴$S_{△ DOE}+S_{△ COF}=S_{△ DOE}+S_{△ AOE}=S_{△ AOD}$。
∵AB=AD=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × AO × OD=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即△DOE与△COF的面积之和为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形面积计算的典型题，解题核心是利用全等关系将分散的阴影面积转化为同一个规则三角形的面积，简化了计算过程，避免了分别求解两个三角形面积的繁琐步骤，着重考查了图形转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先利用菱形的性质结合全等三角形的判定，证明△AOE≌△COF，将△COF的面积转化为△AOE的面积，此时△DOE与△COF的面积和就转化为△AOD的面积；②再结合菱形的边长和内角条件，证明△ABD是等边三角形，求出对角线BD的长度，进而得到OD、AO的长度；③最后计算△AOD的面积即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，OA=OC，AD=AB=2，AC⊥BD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴$S_{△ DOE}+S_{△ COF}=S_{△ DOE}+S_{△ AOE}=S_{△ AOD}$。
∵AB=AD=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ AOD}=\frac{1}{2} × AO × OD=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即△DOE与△COF的面积之和为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形面积计算的典型题，解题核心是利用全等关系将分散的阴影面积转化为同一个规则三角形的面积，简化了计算过程，避免了分别求解两个三角形面积的繁琐步骤，着重考查了图形转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
9 如图,在等腰三角形 ABC 中,$AB=BC$,BO平分$∠ABC$,过点 A 作$AD// BC$,交 BO 的延长线于点 D,连接 CD,过点 D 作$DE⊥BD$,交 BC 的延长线于点 E.
（1）判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由；
（2）若$AB=3$,$∠ABE=120°$,求 DE 的长.
（1）判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由；
（2）若$AB=3$,$∠ABE=120°$,求 DE 的长.
答案
9.（1）四边形 ABCD 是菱形 理由：$\because$ BO 平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABO = ∠ CBO. \because AD // BC, \therefore ∠ ADB = ∠ DBC.$ $\therefore ∠ ABO=∠ ADB. \therefore AB = AD. 又\because AB = BC, \therefore AD = BC. \because AD// BC, \therefore$ 四边形 ABCD 是平行四边形. $\because AB=BC$，$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形.
（2）$\because$ BO 平分$∠ ABC,∠ ABE=120°,\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABE=60°.\because$ 四边形 ABCD 是菱形，$\therefore BC=CD=AB=3. \therefore △ BCD$ 是等边三角形. $\therefore BD=BC=3. \because BD⊥ DE, \therefore ∠ BDE=90°. \therefore ∠ E=90°-∠ DBC=30°.$ $\therefore BE=2BD=6. \therefore DE = \sqrt{BE^2-BD^2} = \sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{3}.$ $\therefore DE$ 的长为 $3\sqrt{3}$
（2）$\because$ BO 平分$∠ ABC,∠ ABE=120°,\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABE=60°.\because$ 四边形 ABCD 是菱形，$\therefore BC=CD=AB=3. \therefore △ BCD$ 是等边三角形. $\therefore BD=BC=3. \because BD⊥ DE, \therefore ∠ BDE=90°. \therefore ∠ E=90°-∠ DBC=30°.$ $\therefore BE=2BD=6. \therefore DE = \sqrt{BE^2-BD^2} = \sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{3}.$ $\therefore DE$ 的长为 $3\sqrt{3}$
解析
【分析】
（1）要判断四边形ABCD的形状，可按“先判定平行四边形，再判定特殊平行四边形”的思路思考：首先利用角平分线性质和平行线的内错角相等，推导得到AB=AD，结合已知AB=BC可得AD=BC，再结合AD//BC可先判定是平行四边形，最后结合邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论。
（2）求DE的长度时，先利用角平分线求出∠DBC的度数，再结合菱形的边长相等推导△BCD是等边三角形，得到BD的长度，最后在Rt△BDE中利用直角三角形的性质和勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵BO平分$∠ABC$，
∴$∠ABO = ∠CBO$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ADB = ∠DBC$，
∴$∠ABO=∠ADB$，
∴$AB = AD$。
又
∵$AB = BC$，
∴$AD = BC$。
∵$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵$AB=BC$，
∴平行四边形ABCD是菱形。
（2）
∵BO平分$∠ABC$，$∠ABE=120°$，
∴$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABE=60°$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$BC=CD=AB=3$，
∴$△BCD$是等边三角形，
∴$BD=BC=3$。
∵$BD⊥ DE$，
∴$∠BDE=90°$，
∴$∠E=90°-∠DBC=30°$，
∴$BE=2BD=6$。
由勾股定理得：
$DE = \sqrt{BE^2-BD^2} = \sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{3}$。
【答案】
（1）四边形ABCD是菱形；
（2）DE的长为$3\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了角平分线、平行线的性质与特殊四边形、特殊三角形的相关知识，解题的核心是通过边角关系的转化识别出特殊图形，再结合对应图形的性质推导计算，需要熟练掌握各类特殊几何图形的判定和性质。
【难度系数】
0.7
（1）要判断四边形ABCD的形状，可按“先判定平行四边形，再判定特殊平行四边形”的思路思考：首先利用角平分线性质和平行线的内错角相等，推导得到AB=AD，结合已知AB=BC可得AD=BC，再结合AD//BC可先判定是平行四边形，最后结合邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论。
（2）求DE的长度时，先利用角平分线求出∠DBC的度数，再结合菱形的边长相等推导△BCD是等边三角形，得到BD的长度，最后在Rt△BDE中利用直角三角形的性质和勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵BO平分$∠ABC$，
∴$∠ABO = ∠CBO$。
∵$AD// BC$，
∴$∠ADB = ∠DBC$，
∴$∠ABO=∠ADB$，
∴$AB = AD$。
又
∵$AB = BC$，
∴$AD = BC$。
∵$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵$AB=BC$，
∴平行四边形ABCD是菱形。
（2）
∵BO平分$∠ABC$，$∠ABE=120°$，
∴$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABE=60°$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$BC=CD=AB=3$，
∴$△BCD$是等边三角形，
∴$BD=BC=3$。
∵$BD⊥ DE$，
∴$∠BDE=90°$，
∴$∠E=90°-∠DBC=30°$，
∴$BE=2BD=6$。
由勾股定理得：
$DE = \sqrt{BE^2-BD^2} = \sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{3}$。
【答案】
（1）四边形ABCD是菱形；
（2）DE的长为$3\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了角平分线、平行线的性质与特殊四边形、特殊三角形的相关知识，解题的核心是通过边角关系的转化识别出特殊图形，再结合对应图形的性质推导计算，需要熟练掌握各类特殊几何图形的判定和性质。
【难度系数】
0.7
10 在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB=CD$.下列说法中，能使四边形$ABCD$为矩形的是（
A.$AB// CD$
B.$AD=BC$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ A=∠ D$
C
）A.$AB// CD$
B.$AD=BC$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ A=∠ D$
答案
10. C
解析
【分析】
首先明确已知条件：四边形ABCD中AD//BC，AB=CD，此时该四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形。我们需要结合矩形的判定规则，逐一验证每个选项添加后能否判定四边形为矩形：矩形判定要么先证是平行四边形再证有一个内角为直角，要么直接证明四边形存在直角。
1. 选项A：添加AB//CD，可证四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，不符合要求；
2. 选项B：添加AD=BC，可证四边形是平行四边形，同样无法判定为矩形，不符合要求；
3. 选项C：添加∠A=∠B，由AD//BC得同旁内角互补，即∠A+∠B=180°，结合∠A=∠B可推出两个角均为90°，无论原四边形是平行四边形还是等腰梯形，有一个内角为直角即可判定为矩形，符合要求；
4. 选项D：添加∠A=∠D，这是等腰梯形的固有性质，无法推出存在直角，不能判定为矩形，不符合要求。
【解析】
解：已知四边形ABCD中AD//BC，AB=CD，此时四边形为平行四边形或等腰梯形，逐一分析选项：
A. 若AB//CD，则两组对边分别平行，四边形ABCD是平行四边形，无法判定为矩形，排除；
B. 若AD=BC，则一组对边平行且相等，四边形ABCD是平行四边形，无法判定为矩形，排除；
C. 若∠A=∠B，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，代入得∠A=∠B=90°，有一个内角为直角的平行四边形/等腰梯形均为矩形，可判定为矩形，符合要求；
D. 若∠A=∠D，属于等腰梯形的固有性质，无法推出存在直角，不能判定为矩形，排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、等腰梯形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是先明确已知条件下四边形的两种可能类型，再结合矩形判定规则逐一验证选项，注意不要遗漏等腰梯形的情况。
【难度系数】
0.65
首先明确已知条件：四边形ABCD中AD//BC，AB=CD，此时该四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形。我们需要结合矩形的判定规则，逐一验证每个选项添加后能否判定四边形为矩形：矩形判定要么先证是平行四边形再证有一个内角为直角，要么直接证明四边形存在直角。
1. 选项A：添加AB//CD，可证四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，不符合要求；
2. 选项B：添加AD=BC，可证四边形是平行四边形，同样无法判定为矩形，不符合要求；
3. 选项C：添加∠A=∠B，由AD//BC得同旁内角互补，即∠A+∠B=180°，结合∠A=∠B可推出两个角均为90°，无论原四边形是平行四边形还是等腰梯形，有一个内角为直角即可判定为矩形，符合要求；
4. 选项D：添加∠A=∠D，这是等腰梯形的固有性质，无法推出存在直角，不能判定为矩形，不符合要求。
【解析】
解：已知四边形ABCD中AD//BC，AB=CD，此时四边形为平行四边形或等腰梯形，逐一分析选项：
A. 若AB//CD，则两组对边分别平行，四边形ABCD是平行四边形，无法判定为矩形，排除；
B. 若AD=BC，则一组对边平行且相等，四边形ABCD是平行四边形，无法判定为矩形，排除；
C. 若∠A=∠B，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，代入得∠A=∠B=90°，有一个内角为直角的平行四边形/等腰梯形均为矩形，可判定为矩形，符合要求；
D. 若∠A=∠D，属于等腰梯形的固有性质，无法推出存在直角，不能判定为矩形，排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定、等腰梯形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是先明确已知条件下四边形的两种可能类型，再结合矩形判定规则逐一验证选项，注意不要遗漏等腰梯形的情况。
【难度系数】
0.65
11 [2025 烟台莱州期末]如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,连接OE.若∠ODA=30°,则∠BOE的度数为 (
A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
C
)A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
11. C
解析
【分析】
首先从矩形的性质入手，矩形的四个角为直角，对角线相等且互相平分，可得到对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形；再结合AE是角平分线，可判断出△ABE是等腰直角三角形，得到AB=BE；接下来根据∠ODA=30°推出△AOB是等边三角形，得到AB=OB，进而推出OB=BE，最后在等腰△OBE中计算底角∠BOE的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，且AC=BD，
∴OA=OB。
在Rt△ABD中，∠ODA=30°，
∴∠ABD=90°-∠ODA=60°，
又
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴OB=BE。
∵∠OBE=∠ABC - ∠ABO=90°-60°=30°，
在△OBE中，OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=$\frac{180°-∠OBE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合已知条件推出△AOB为等边三角形、△ABE为等腰直角三角形，进而得到等腰△OBE再计算角度，需要熟练掌握特殊三角形和矩形的相关性质。
【难度系数】
0.6
首先从矩形的性质入手，矩形的四个角为直角，对角线相等且互相平分，可得到对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形；再结合AE是角平分线，可判断出△ABE是等腰直角三角形，得到AB=BE；接下来根据∠ODA=30°推出△AOB是等边三角形，得到AB=OB，进而推出OB=BE，最后在等腰△OBE中计算底角∠BOE的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，且AC=BD，
∴OA=OB。
在Rt△ABD中，∠ODA=30°，
∴∠ABD=90°-∠ODA=60°，
又
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴OB=BE。
∵∠OBE=∠ABC - ∠ABO=90°-60°=30°，
在△OBE中，OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=$\frac{180°-∠OBE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合已知条件推出△AOB为等边三角形、△ABE为等腰直角三角形，进而得到等腰△OBE再计算角度，需要熟练掌握特殊三角形和矩形的相关性质。
【难度系数】
0.6
12 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在AC上，连接BE，CE=CB。若AB=6，BD=10，则AE的长为
2
。答案
12. 2
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质得到对角线AC的长度以及∠ABC为直角，再在直角三角形ABC中运用勾股定理求出BC的长度，结合CE=CB的条件得到CE的长度，最后用AC的总长减去CE的长度即可求出AE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=10，根据勾股定理可得：
BC=√(AC² - AB²)=√(10² - 6²)=√64=8，
∵CE=CB，
∴CE=8，
∴AE=AC - CE=10 - 8=2。
【答案】
2
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握矩形对角线相等、内角为直角的性质，结合勾股定理计算相关线段长度即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用矩形的性质得到对角线AC的长度以及∠ABC为直角，再在直角三角形ABC中运用勾股定理求出BC的长度，结合CE=CB的条件得到CE的长度，最后用AC的总长减去CE的长度即可求出AE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=10，根据勾股定理可得：
BC=√(AC² - AB²)=√(10² - 6²)=√64=8，
∵CE=CB，
∴CE=8，
∴AE=AC - CE=10 - 8=2。
【答案】
2
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握矩形对角线相等、内角为直角的性质，结合勾股定理计算相关线段长度即可求解。
【难度系数】
0.8
13 如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,且AF=$\frac{1}{2}$BC.
(1)求证:四边形ADFE是矩形;
(2)若∠B=60°,AF=4,求出矩形ADFE的面积.
(1)求证:四边形ADFE是矩形;
(2)若∠B=60°,AF=4,求出矩形ADFE的面积.
答案
13.（1）连接 $DE. \because D,E,F$ 分别是边 $AB,AC,BC$ 的中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB,EF,DE,DF$ 都是$△ ABC$ 的中位线. $\therefore EF// AB,EF=\frac{1}{2}AB,DE=\frac{1}{2}BC. \therefore AD = EF. \therefore$ 四边形 $ADFE$ 为平行四边形. $\because AF=\frac{1}{2}BC, \therefore DE=AF. \therefore$ 四边形 $ADFE$ 是矩形
（2）由(1)可知,$DE=AF=\frac{1}{2}BC=4$,四边形 $ADFE$ 为矩形,$\therefore BC=2AF=8,∠ BAC=90°.\because ∠ B=60°,\therefore ∠ C=90°-60°=30°. \therefore AB=\frac{1}{2}BC=4. \therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}. \because D,E$ 分别是边 $AB,AC$ 的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2,AE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}. \therefore$ 矩形 $ADFE$ 的面积$=AE · AD=2\sqrt{3} × 2=4\sqrt{3}$
（2）由(1)可知,$DE=AF=\frac{1}{2}BC=4$,四边形 $ADFE$ 为矩形,$\therefore BC=2AF=8,∠ BAC=90°.\because ∠ B=60°,\therefore ∠ C=90°-60°=30°. \therefore AB=\frac{1}{2}BC=4. \therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}. \because D,E$ 分别是边 $AB,AC$ 的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2,AE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}. \therefore$ 矩形 $ADFE$ 的面积$=AE · AD=2\sqrt{3} × 2=4\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ADFE是矩形，需先证其为平行四边形，再证明对角线相等或有一个内角为直角。题中给出多组边的中点，优先考虑三角形中位线定理：利用中位线性质可推得EF与AD平行且相等，即可证得四边形ADFE是平行四边形；再结合已知AF=1/2BC，以及中位线DE=1/2BC，可得平行四边形的对角线AF=DE，即可判定其为矩形。
(2) 求矩形面积需先求得邻边AD、AE的长度。由(1)的结论可推出BC=2AF=8，且△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；结合∠B=60°可推出∠C=30°，利用直角三角形30°角的性质可得AB的长度，再用勾股定理求得AC的长度；最后根据D、E是AB、AC的中点，求得AD、AE的长度，二者相乘即为矩形面积。
【解析】
(1) 连接$DE$。
$\because D,E,F$分别是边$AB,AC,BC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$，$EF、DE$都是$△ ABC$的中位线，
$\therefore EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore AD = EF$且$AD// EF$，
$\therefore$四边形$ADFE$为平行四边形。
又$\because AF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DE=AF$，
$\therefore$对角线相等的平行四边形是矩形，即四边形$ADFE$是矩形。
(2) 由(1)可知，$DE=AF=\frac{1}{2}BC=4$，四边形$ADFE$为矩形，
$\therefore BC=2AF=8$，$∠ BAC=90°$。
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ C=90°-60°=30°$，
$\therefore AB=\frac{1}{2}BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
$\because D,E$分别是边$AB,AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2$，$AE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore$矩形$ADFE$的面积$=AD · AE=2 × 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{4\sqrt{3}}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形中点相关性质、特殊四边形的判定和直角三角形的计算结合考查，解题的核心是先利用中位线性质完成平行四边形的判定，再结合已知条件推导矩形，最后利用直角三角形的边角关系计算边长，需要熟练掌握相关定理并灵活应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ADFE是矩形，需先证其为平行四边形，再证明对角线相等或有一个内角为直角。题中给出多组边的中点，优先考虑三角形中位线定理：利用中位线性质可推得EF与AD平行且相等，即可证得四边形ADFE是平行四边形；再结合已知AF=1/2BC，以及中位线DE=1/2BC，可得平行四边形的对角线AF=DE，即可判定其为矩形。
(2) 求矩形面积需先求得邻边AD、AE的长度。由(1)的结论可推出BC=2AF=8，且△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；结合∠B=60°可推出∠C=30°，利用直角三角形30°角的性质可得AB的长度，再用勾股定理求得AC的长度；最后根据D、E是AB、AC的中点，求得AD、AE的长度，二者相乘即为矩形面积。
【解析】
(1) 连接$DE$。
$\because D,E,F$分别是边$AB,AC,BC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$，$EF、DE$都是$△ ABC$的中位线，
$\therefore EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DE=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore AD = EF$且$AD// EF$，
$\therefore$四边形$ADFE$为平行四边形。
又$\because AF=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DE=AF$，
$\therefore$对角线相等的平行四边形是矩形，即四边形$ADFE$是矩形。
(2) 由(1)可知，$DE=AF=\frac{1}{2}BC=4$，四边形$ADFE$为矩形，
$\therefore BC=2AF=8$，$∠ BAC=90°$。
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ C=90°-60°=30°$，
$\therefore AB=\frac{1}{2}BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
$\because D,E$分别是边$AB,AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2$，$AE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore$矩形$ADFE$的面积$=AD · AE=2 × 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{4\sqrt{3}}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将三角形中点相关性质、特殊四边形的判定和直角三角形的计算结合考查，解题的核心是先利用中位线性质完成平行四边形的判定，再结合已知条件推导矩形，最后利用直角三角形的边角关系计算边长，需要熟练掌握相关定理并灵活应用。
【难度系数】
0.7
