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1. [2026 淮北期末] 下列各组图形是全等图形的是（
① ② ③
⑤ ⑥ ⑦
A.②和⑥
B.②和⑦
C.③和④
D.⑥和⑦
C
）① ② ③
⑤ ⑥ ⑦A.②和⑥
B.②和⑦
C.③和④
D.⑥和⑦
答案
1.C
解析
【分析】
解题的核心是明确全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，判断时需要同时满足形状、大小完全相同，内部的所有元素（包括分割线、内部图案的大小和位置）都能对应重合，和图形的摆放方向无关。解题时先逐个比对选项中两个图形的外轮廓、内部分割线、圆的大小和位置，判断是否能完全重合即可。
【解析】
根据全等图形的定义逐一分析选项：
选项A：图形②内部是竖线分割+一条对角线，小圆位于右侧正方形区域；图形⑥内部是横线分割+一条对角线，小圆位于左上角三角形区域，二者结构、元素位置均不同，无法重合，不是全等图形。
选项B：图形②的圆为小圆，图形⑦的圆为大圆，且二者内部分割结构不同，无法重合，不是全等图形。
选项C：图形③和④仅摆放方向相反，将其中一个图形翻转后，外轮廓、内部分割线、圆的大小和所处位置都能完全重合，符合全等图形的定义，是全等图形。
选项D：图形⑥的圆为小圆，图形⑦的圆为大圆，大小不同，无法重合，不是全等图形。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等图形的概念
【点评】
本题考查全等图形的识别，解题时要注意不仅要观察外轮廓是否一致，还要核对内部的分割线条、内置图案的大小和位置是否都能对应匹配，全等图形与摆放的方向、角度无关，只要能通过平移、旋转、翻折后完全重合即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，判断时需要同时满足形状、大小完全相同，内部的所有元素（包括分割线、内部图案的大小和位置）都能对应重合，和图形的摆放方向无关。解题时先逐个比对选项中两个图形的外轮廓、内部分割线、圆的大小和位置，判断是否能完全重合即可。
【解析】
根据全等图形的定义逐一分析选项：
选项A：图形②内部是竖线分割+一条对角线，小圆位于右侧正方形区域；图形⑥内部是横线分割+一条对角线，小圆位于左上角三角形区域，二者结构、元素位置均不同，无法重合，不是全等图形。
选项B：图形②的圆为小圆，图形⑦的圆为大圆，且二者内部分割结构不同，无法重合，不是全等图形。
选项C：图形③和④仅摆放方向相反，将其中一个图形翻转后，外轮廓、内部分割线、圆的大小和所处位置都能完全重合，符合全等图形的定义，是全等图形。
选项D：图形⑥的圆为小圆，图形⑦的圆为大圆，大小不同，无法重合，不是全等图形。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等图形的概念
【点评】
本题考查全等图形的识别，解题时要注意不仅要观察外轮廓是否一致，还要核对内部的分割线条、内置图案的大小和位置是否都能对应匹配，全等图形与摆放的方向、角度无关，只要能通过平移、旋转、翻折后完全重合即可。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法不正确的是 （
A.用同一张底片冲洗出来的10张一英寸照片是全等形
B.我国国旗上的4颗小五角星是全等形
C.全等形的面积一定相等
D.所有的正方形都是全等形
D
）A.用同一张底片冲洗出来的10张一英寸照片是全等形
B.我国国旗上的4颗小五角星是全等形
C.全等形的面积一定相等
D.所有的正方形都是全等形
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查全等形的相关概念，解题思路如下：首先回忆全等形的定义与性质：能够完全重合的图形叫做全等形，全等形的形状、大小均完全相同，且面积、周长等对应量相等。接下来逐一判断每个选项的说法是否符合全等形的特征，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
首先明确全等形的核心特征：能够完全重合的图形是全等形，其形状、大小完全相同。
对各选项逐一分析：
A. 同一张底片冲洗出来的10张一英寸照片，形状、大小完全一致，可完全重合，属于全等形，该选项说法正确，不符合题意；
B. 我国国旗上的4颗小五角星，形状、大小完全一致，可完全重合，属于全等形，该选项说法正确，不符合题意；
C. 全等形能够完全重合，因此面积一定相等，这是全等形的基本性质，该选项说法正确，不符合题意；
D. 所有的正方形仅形状相同，但边长不一定相等，大小可能存在差异，无法保证完全重合，因此不是所有正方形都是全等形，该选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
全等形的定义；全等形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住全等形“形状、大小均完全相同，可完全重合”的核心特征，易错点是容易忽略全等形对大小相等的要求，误判D选项的说法。
【难度系数】
0.8
本题考查全等形的相关概念，解题思路如下：首先回忆全等形的定义与性质：能够完全重合的图形叫做全等形，全等形的形状、大小均完全相同，且面积、周长等对应量相等。接下来逐一判断每个选项的说法是否符合全等形的特征，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
首先明确全等形的核心特征：能够完全重合的图形是全等形，其形状、大小完全相同。
对各选项逐一分析：
A. 同一张底片冲洗出来的10张一英寸照片，形状、大小完全一致，可完全重合，属于全等形，该选项说法正确，不符合题意；
B. 我国国旗上的4颗小五角星，形状、大小完全一致，可完全重合，属于全等形，该选项说法正确，不符合题意；
C. 全等形能够完全重合，因此面积一定相等，这是全等形的基本性质，该选项说法正确，不符合题意；
D. 所有的正方形仅形状相同，但边长不一定相等，大小可能存在差异，无法保证完全重合，因此不是所有正方形都是全等形，该选项说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
全等形的定义；全等形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住全等形“形状、大小均完全相同，可完全重合”的核心特征，易错点是容易忽略全等形对大小相等的要求，误判D选项的说法。
【难度系数】
0.8
3. 教材母题 教材P₉₃习题T₂变式 如图，$△ AOC ≌ △ BOD$，点A与点B、点C与点D是对应顶点，下列命题是假命题的是（
A.$∠ A$与$∠ B$是对应角
B.$∠ AOC$与$∠ BOD$是对应角
C.OC与OB是对应边
D.OC与OD是对应边
（第3题）
C
）A.$∠ A$与$∠ B$是对应角
B.$∠ AOC$与$∠ BOD$是对应角
C.OC与OB是对应边
D.OC与OD是对应边
（第3题）答案
3.C
解析
【分析】
解题的核心是依据全等三角形给出的明确对应顶点，来判断对应角和对应边：对应角是对应顶点处的角，对应边是两个对应顶点连接形成的边，逐一核对各选项的对应关系，即可找出假命题。
【解析】
已知$△ AOC ≌ △ BOD$，对应顶点为$A↔B$、$C↔D$，公共顶点$O$为对应顶点，据此逐一判断：
选项A：$∠ A$的顶点为A，对应顶点是B，因此$∠ A$与$∠ B$是对应角，该命题为真命题；
选项B：$∠ AOC$的三个顶点A、O、C的对应顶点为B、O、D，因此$∠ AOC$与$∠ BOD$是对应角，该命题为真命题；
选项C：边OC的两个端点O、C的对应顶点是O、D，因此OC的对应边是OD，不是OB，该命题为假命题；
选项D：由选项C的分析可知，OC与OD是对应边，该命题为真命题。
综上，假命题是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的对应顶点
2. 全等三角形的对应角
3. 全等三角形的对应边
【点评】
本题属于基础考查题，解题关键是根据已知的对应顶点梳理清楚全等三角形的对应关系，只要不混淆对应顶点的匹配，就能快速准确判断对应边、对应角。
【难度系数】
0.9
解题的核心是依据全等三角形给出的明确对应顶点，来判断对应角和对应边：对应角是对应顶点处的角，对应边是两个对应顶点连接形成的边，逐一核对各选项的对应关系，即可找出假命题。
【解析】
已知$△ AOC ≌ △ BOD$，对应顶点为$A↔B$、$C↔D$，公共顶点$O$为对应顶点，据此逐一判断：
选项A：$∠ A$的顶点为A，对应顶点是B，因此$∠ A$与$∠ B$是对应角，该命题为真命题；
选项B：$∠ AOC$的三个顶点A、O、C的对应顶点为B、O、D，因此$∠ AOC$与$∠ BOD$是对应角，该命题为真命题；
选项C：边OC的两个端点O、C的对应顶点是O、D，因此OC的对应边是OD，不是OB，该命题为假命题；
选项D：由选项C的分析可知，OC与OD是对应边，该命题为真命题。
综上，假命题是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的对应顶点
2. 全等三角形的对应角
3. 全等三角形的对应边
【点评】
本题属于基础考查题，解题关键是根据已知的对应顶点梳理清楚全等三角形的对应关系，只要不混淆对应顶点的匹配，就能快速准确判断对应边、对应角。
【难度系数】
0.9
4.如图，$△ AOC$和$△ BOD$全等，且$C$与$D$为对应顶点，$∠ AOC$和$∠ BOD$为对应角.
(1)表示这两个三角形全等：______；
(2)$OC$的对应边是________；
(3)$∠ D$的对应角是________.
(1)表示这两个三角形全等：______；
(2)$OC$的对应边是________；
(3)$∠ D$的对应角是________.
答案
4.(1)$△ AOC ≌ △ BOD$ (2)$OD$ (3)$∠C$
解析
【分析】
解题时先明确全等三角形的相关规则：①表示全等时，对应顶点必须写在对应位置；②对应顶点所连的边是对应边，对应顶点为顶点的角是对应角。首先根据题目的已知条件确定对应顶点：已知C与D是对应顶点，∠AOC和∠BOD是对应角，可得∠AOC的顶点O与∠BOD的顶点O是对应顶点，剩下的顶点A与顶点B是对应顶点，即对应顶点顺序为A↔B、O↔O、C↔D，再根据对应顶点的关系依次解决三个问题即可。
【解析】
(1) 全等三角形表示要求对应顶点写在对应位置，结合确定的对应顶点顺序A↔B、O↔O、C↔D，可得两个三角形全等表示为$△ AOC ≌ △ BOD$；
(2) 对应顶点构成的边为对应边，边OC的两个端点是O、C，它们的对应顶点分别是O、D，因此OC的对应边是$OD$；
(3) 对应顶点为顶点的角为对应角，∠D的顶点D的对应顶点是C，因此∠D的对应角是$∠ C$。
【答案】
(1)$△ AOC ≌ △ BOD$ (2)$OD$ (3)$∠C$
【知识点】
全等三角形的表示；全等三角形的对应元素
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，核心考查对应顶点的确定方法，熟练掌握全等的表示规则和对应边、对应角与对应顶点的关联，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先明确全等三角形的相关规则：①表示全等时，对应顶点必须写在对应位置；②对应顶点所连的边是对应边，对应顶点为顶点的角是对应角。首先根据题目的已知条件确定对应顶点：已知C与D是对应顶点，∠AOC和∠BOD是对应角，可得∠AOC的顶点O与∠BOD的顶点O是对应顶点，剩下的顶点A与顶点B是对应顶点，即对应顶点顺序为A↔B、O↔O、C↔D，再根据对应顶点的关系依次解决三个问题即可。
【解析】
(1) 全等三角形表示要求对应顶点写在对应位置，结合确定的对应顶点顺序A↔B、O↔O、C↔D，可得两个三角形全等表示为$△ AOC ≌ △ BOD$；
(2) 对应顶点构成的边为对应边，边OC的两个端点是O、C，它们的对应顶点分别是O、D，因此OC的对应边是$OD$；
(3) 对应顶点为顶点的角为对应角，∠D的顶点D的对应顶点是C，因此∠D的对应角是$∠ C$。
【答案】
(1)$△ AOC ≌ △ BOD$ (2)$OD$ (3)$∠C$
【知识点】
全等三角形的表示；全等三角形的对应元素
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，核心考查对应顶点的确定方法，熟练掌握全等的表示规则和对应边、对应角与对应顶点的关联，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 如图，$△ ABC ≌ △ CDE$，若$∠ D = 35°$，$∠ ACB = 45°$，则$∠ DCE$的度数为________。
答案
5.$100°$
解析
【分析】
解题时首先利用全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，将已知的△ABC中的角转化为△CDE的内角，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠DCE的度数。第一步先根据全等关系确定△CDE中∠CED的度数，第二步代入内角和公式计算未知角。
【解析】
∵ $△ ABC ≌ △ CDE$
∴ $∠ CED = ∠ ACB = 45°$（全等三角形的对应角相等）
在$△ CDE$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ DCE = 180° - ∠ D - ∠ CED$
将$∠ D=35°$，$∠ CED=45°$代入得：
$∠ DCE = 180° - 35° - 45° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是根据全等三角形的对应关系准确找到相等的角，再结合三角形内角和公式计算，解题时要注意对应角不要找错。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，将已知的△ABC中的角转化为△CDE的内角，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠DCE的度数。第一步先根据全等关系确定△CDE中∠CED的度数，第二步代入内角和公式计算未知角。
【解析】
∵ $△ ABC ≌ △ CDE$
∴ $∠ CED = ∠ ACB = 45°$（全等三角形的对应角相等）
在$△ CDE$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ DCE = 180° - ∠ D - ∠ CED$
将$∠ D=35°$，$∠ CED=45°$代入得：
$∠ DCE = 180° - 35° - 45° = 100°$
【答案】
$100°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题核心是根据全等三角形的对应关系准确找到相等的角，再结合三角形内角和公式计算，解题时要注意对应角不要找错。
【难度系数】
0.8
6.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则
∠1+∠2+∠3=
∠1+∠2+∠3=
$135°$
.答案
6.$135°$
解析
【分析】
解题可按三步思路推导：1. 先分析特殊角∠2，正方形对角线平分90°内角，可直接得出∠2的度数；2. 观察∠1和∠3所在的直角三角形，因所有小正方形边长相等，可通过边长关系证明两个三角形全等；3. 利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，得出∠1+∠3的度数，最后求和即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求∠2的度数：∠2位于小正方形的对角线上，正方形内角为90°，对角线将内角平分为两个相等的角，因此$∠ 2=45°$。
2. 证明∠1和∠3所在的直角三角形全等：包含∠1的直角三角形两条直角边长分别为1、3，包含∠3的直角三角形两条直角边长也为1、3，两个三角形均为直角三角形，直角相等，且夹直角的两组边对应相等，根据SAS全等判定定理，两个直角三角形全等。
3. 求∠1+∠3的度数：由全等三角形对应角相等可知，∠1和∠3的余角相等，因此$∠ 1+∠3=90°$。
4. 计算三个角的和：$∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合正方形性质和全等三角形知识命题，解题核心是通过观察图形找到全等的直角三角形，能有效锻炼图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思路推导：1. 先分析特殊角∠2，正方形对角线平分90°内角，可直接得出∠2的度数；2. 观察∠1和∠3所在的直角三角形，因所有小正方形边长相等，可通过边长关系证明两个三角形全等；3. 利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，得出∠1+∠3的度数，最后求和即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求∠2的度数：∠2位于小正方形的对角线上，正方形内角为90°，对角线将内角平分为两个相等的角，因此$∠ 2=45°$。
2. 证明∠1和∠3所在的直角三角形全等：包含∠1的直角三角形两条直角边长分别为1、3，包含∠3的直角三角形两条直角边长也为1、3，两个三角形均为直角三角形，直角相等，且夹直角的两组边对应相等，根据SAS全等判定定理，两个直角三角形全等。
3. 求∠1+∠3的度数：由全等三角形对应角相等可知，∠1和∠3的余角相等，因此$∠ 1+∠3=90°$。
4. 计算三个角的和：$∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合正方形性质和全等三角形知识命题，解题核心是通过观察图形找到全等的直角三角形，能有效锻炼图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(3,3),B(-1,1),C(2,1),若要使△ABC与△DBC全等,则点D的坐标为
$(3,-1)或(-2,-1)或(-2,3)$
.答案
7.$(3,-1)或(-2,-1)或(-2,3)$
解析
【分析】
已知BC是△ABC和△DBC的公共边，要使两三角形全等，需结合全等三角形对应边相等的性质，分情况讨论点D的位置：①点D与点A在直线BC的异侧，且关于BC对称；②点D与点A关于BC的垂直平分线对称，分别在BC的上、下两侧，即可求出所有符合条件的D点坐标。
【解析】
由B(-1,1)、C(2,1)可知，直线BC平行于x轴，解析式为$y=1$，BC长度为$2-(-1)=3$，分三种情况讨论：
1. 当点D与点A关于直线$y=1$对称时：
A(3,3)到直线$y=1$的距离为$3-1=2$，因此对称点D的纵坐标为$1-2=-1$，横坐标不变，得$D_1(3,-1)$，可验证$△ D_1BC≌△ ABC$。
2. 当点D与点A关于BC的垂直平分线对称且在BC上方时：
BC的中点为$(0.5,1)$，垂直平分线为直线$x=0.5$，A(3,3)关于$x=0.5$的对称点横坐标为$0.5-(3-0.5)=-2$，纵坐标不变为3，得$D_2(-2,3)$，可验证$△ D_2BC≌△ ABC$。
3. 当点D与$D_2$关于直线$y=1$对称时：
对称点纵坐标为$1-2=-1$，横坐标不变为-2，得$D_3(-2,-1)$，可验证$△ D_3BC≌△ ABC$。
【答案】
$(3,-1)$或$(-2,-1)$或$(-2,3)$
【知识点】
全等三角形的性质；坐标与图形性质；轴对称的性质
【点评】
本题解题关键是抓住公共边BC，分类讨论不同的顶点对应情况，避免漏解，结合平面直角坐标系的对称性质可快速求出点的坐标。
【难度系数】
0.6
已知BC是△ABC和△DBC的公共边，要使两三角形全等，需结合全等三角形对应边相等的性质，分情况讨论点D的位置：①点D与点A在直线BC的异侧，且关于BC对称；②点D与点A关于BC的垂直平分线对称，分别在BC的上、下两侧，即可求出所有符合条件的D点坐标。
【解析】
由B(-1,1)、C(2,1)可知，直线BC平行于x轴，解析式为$y=1$，BC长度为$2-(-1)=3$，分三种情况讨论：
1. 当点D与点A关于直线$y=1$对称时：
A(3,3)到直线$y=1$的距离为$3-1=2$，因此对称点D的纵坐标为$1-2=-1$，横坐标不变，得$D_1(3,-1)$，可验证$△ D_1BC≌△ ABC$。
2. 当点D与点A关于BC的垂直平分线对称且在BC上方时：
BC的中点为$(0.5,1)$，垂直平分线为直线$x=0.5$，A(3,3)关于$x=0.5$的对称点横坐标为$0.5-(3-0.5)=-2$，纵坐标不变为3，得$D_2(-2,3)$，可验证$△ D_2BC≌△ ABC$。
3. 当点D与$D_2$关于直线$y=1$对称时：
对称点纵坐标为$1-2=-1$，横坐标不变为-2，得$D_3(-2,-1)$，可验证$△ D_3BC≌△ ABC$。
【答案】
$(3,-1)$或$(-2,-1)$或$(-2,3)$
【知识点】
全等三角形的性质；坐标与图形性质；轴对称的性质
【点评】
本题解题关键是抓住公共边BC，分类讨论不同的顶点对应情况，避免漏解，结合平面直角坐标系的对称性质可快速求出点的坐标。
【难度系数】
0.6
8. 如图，$△ ABC ≌ △ CDA$，下列结论：①AB与AD是对应边；②AC与CA是对应边；③$∠ BAC$与$∠ DAC$是对应角；④$∠ CAB$与$∠ ACD$是对应角。其中正确的是
②④
（填序号）。答案
8. ②④ 【点拨】找准对应顶点是关键.由$△ ABC≌△ CDA$可知,点 A 与点 C、点 B 与点 D、点 C 与点 A 是对应顶点,从而得出 AB 与 CD 是对应边,AC 与 CA 是对应边,$∠ BAC$与$∠ DCA$是对应角,$∠ CAB$与$∠ ACD$是对应角,故②④正确,①③错误.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用全等三角形的书写规则判断对应元素：全等符号前后的顶点顺序为对应顶点的顺序，先根据△ABC≌△CDA确定三组对应顶点，再由对应顶点推导对应边、对应角，最后逐一验证4个结论即可。
【解析】
根据全等三角形的表示规则，全等符号前后的顶点一一对应，因此由△ABC≌△CDA可得对应顶点为：点A对应点C，点B对应点D，点C对应点A。
逐一分析结论：
①AB的对应顶点为A、B，对应的边应为点C、D组成的边CD，因此AB与AD不是对应边，①错误；
②AC的对应顶点为A、C，对应的边应为点C、A组成的边CA，因此AC与CA是对应边，②正确；
③∠BAC的顶点为A，对应角的顶点应为对应点C，即对应角是∠DCA，因此∠BAC与∠DAC不是对应角，③错误；
④∠CAB就是∠BAC，其对应角为∠ACD（即∠DCA），因此∠CAB与∠ACD是对应角，④正确。
综上，正确的结论是②④。
【答案】
②④
【知识点】
全等三角形的对应关系，全等的表示规则
【点评】
本题是全等三角形的基础题，解题的关键是牢记全等表达式中顶点的一一对应关系，只要找准对应顶点，就能快速、准确地判断对应边和对应角，避免因主观看图判断对应元素出错。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用全等三角形的书写规则判断对应元素：全等符号前后的顶点顺序为对应顶点的顺序，先根据△ABC≌△CDA确定三组对应顶点，再由对应顶点推导对应边、对应角，最后逐一验证4个结论即可。
【解析】
根据全等三角形的表示规则，全等符号前后的顶点一一对应，因此由△ABC≌△CDA可得对应顶点为：点A对应点C，点B对应点D，点C对应点A。
逐一分析结论：
①AB的对应顶点为A、B，对应的边应为点C、D组成的边CD，因此AB与AD不是对应边，①错误；
②AC的对应顶点为A、C，对应的边应为点C、A组成的边CA，因此AC与CA是对应边，②正确；
③∠BAC的顶点为A，对应角的顶点应为对应点C，即对应角是∠DCA，因此∠BAC与∠DAC不是对应角，③错误；
④∠CAB就是∠BAC，其对应角为∠ACD（即∠DCA），因此∠CAB与∠ACD是对应角，④正确。
综上，正确的结论是②④。
【答案】
②④
【知识点】
全等三角形的对应关系，全等的表示规则
【点评】
本题是全等三角形的基础题，解题的关键是牢记全等表达式中顶点的一一对应关系，只要找准对应顶点，就能快速、准确地判断对应边和对应角，避免因主观看图判断对应元素出错。
【难度系数】
0.8
9. [2026淮北月考] 如图，已知$△ AOB ≌ △ ADC$，$∠ O = ∠ D = 90°$. 记$∠ OAD = α$，$∠ ABO = β$，当$BC // OA$时，$α$与$β$之间的数量关系为 （
A.$α + β = 90°$
B.$α + 2β = 90°$
C.$2β - α = 45°$
D.$α = 2β$
D
）A.$α + β = 90°$
B.$α + 2β = 90°$
C.$2β - α = 45°$
D.$α = 2β$
答案
9.D
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，利用全等三角形的性质，得到对应边相等、对应角相等，推导出△ABC是等腰三角形，且顶角∠BAC和已知角∠OAD=α相等；第二步，根据等腰三角形内角和规律，用α表示出底角∠ABC的度数；第三步，结合BC//OA的条件，由平行线同旁内角互补得到∠OBC=90°，而∠OBC由∠ABO=β和∠ABC组成，代入化简即可得到α与β的数量关系。
【解析】
解：$\because △ AOB ≌ △ ADC$，
$\therefore AB=AC$，$∠ OAB=∠ DAC$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ BAD = ∠ DAC + ∠ BAD$，即$∠ BAC=∠ OAD=α$。
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=(180° - ∠ BAC)÷2=90° - \frac{α}{2}$。
$\because BC// OA$，$∠ O=90°$，
$\therefore ∠ O + ∠ OBC=180°$，解得$∠ OBC=90°$。
又$\because ∠ OBC=∠ ABO + ∠ ABC=β + ∠ ABC$，
$\therefore β + 90° - \frac{α}{2}=90°$，
化简得$β=\frac{α}{2}$，即$α=2β$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何性质综合应用题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，通过等腰三角形、平行线的性质将分散的已知角和待推导角建立关联，避免因对应角找错导致推导错误。
【难度系数】
0.65
解题可按三步思考：第一步，利用全等三角形的性质，得到对应边相等、对应角相等，推导出△ABC是等腰三角形，且顶角∠BAC和已知角∠OAD=α相等；第二步，根据等腰三角形内角和规律，用α表示出底角∠ABC的度数；第三步，结合BC//OA的条件，由平行线同旁内角互补得到∠OBC=90°，而∠OBC由∠ABO=β和∠ABC组成，代入化简即可得到α与β的数量关系。
【解析】
解：$\because △ AOB ≌ △ ADC$，
$\therefore AB=AC$，$∠ OAB=∠ DAC$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ BAD = ∠ DAC + ∠ BAD$，即$∠ BAC=∠ OAD=α$。
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=(180° - ∠ BAC)÷2=90° - \frac{α}{2}$。
$\because BC// OA$，$∠ O=90°$，
$\therefore ∠ O + ∠ OBC=180°$，解得$∠ OBC=90°$。
又$\because ∠ OBC=∠ ABO + ∠ ABC=β + ∠ ABC$，
$\therefore β + 90° - \frac{α}{2}=90°$，
化简得$β=\frac{α}{2}$，即$α=2β$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是几何性质综合应用题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，通过等腰三角形、平行线的性质将分散的已知角和待推导角建立关联，避免因对应角找错导致推导错误。
【难度系数】
0.65
