1. [2026安庆期末] 下列各组图形中，一定是全等图形的是 （）

A.两个底边相等的等腰三角形
B.两个斜边相等的直角三角形
C.两个周长相等的长方形
D.两个面积相等的圆

D

【分析】
解题时首先明确全等图形的核心判定标准：能够完全重合的两个图形是全等图形，即需同时满足形状完全相同、大小完全相等两个条件。接下来结合各类平面图形的性质，逐一分析每个选项是否满足上述两个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，即两个图形的形状、大小均完全相同，逐一分析选项：
A选项：两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，图形大小可能不同，不一定是全等图形，排除；
B选项：两个斜边相等的直角三角形，两条直角边的长度组合不一定相同，图形形状、大小都可能不同，不一定是全等图形，排除；
C选项：两个周长相等的长方形，长和宽的组合不一定相同（如长4宽2、长5宽1的长方形周长均为12，但大小形状不同），不一定是全等图形，排除；
D选项：圆的面积公式为$S=π r^2$，若两个圆面积相等，则二者半径必然相等，半径相等的圆形状、大小均完全相同，一定是全等图形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等图形的定义
2. 平面图形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对全等图形判定条件的理解，解题时需注意全等图形必须同时满足形状、大小完全一致两个要求，结合各类图形的性质逐一排查即可。
【难度系数】
0.8

2. 如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等,那么判定$△ ABC$与$△ DEF$全等的依据是 （）

A.HL
B.ASA
C.AAS
D.SSS
（第2题）

A

【分析】首先结合实际场景判断，墙与地面垂直，因此△ABC和△DEF都是直角三角形。再整理已知条件：两个滑梯长度相同，即两个直角三角形的斜边BC和EF相等；题目明确给出左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，即一组直角边对应相等。直角三角形中斜边和一条直角边对应相等时，可依据HL判定全等，按照这个思路即可解题。
【解析】解：由题意可得墙与地面垂直，因此$∠ BAC=∠ EDF=90°$，$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
因为两个滑梯长度相同，所以斜边$BC=EF$；
又已知$AC=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$
【答案】A
【知识点】1. 直角三角形全等判定 2. HL定理
【点评】本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是先结合实际场景确定三角形为直角三角形，再根据已知的边相等条件匹配对应的判定定理即可。
【难度系数】0.8

3. 如图，$△ ABC ≌ △ DEC$，点A，E，C在同一条直线上，$AE=2$，$BC=3$，则CD的长为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

B

【分析】
解题时首先从题干给出的三角形全等的条件入手，回忆全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等。首先根据全等关系确定对应边：BC与EC是对应边，AC与DC是对应边。先利用已知的BC长度求出EC的长度，再结合A、E、C共线的条件，用线段和差关系求出AC的长度，最后根据AC与DC相等即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEC，根据全等三角形对应边相等可得：
$EC=BC=3$，$AC=DC$
∵点A、E、C在同一条直线上，且$AE=2$
∴$AC=AE+EC=2+3=5$
∴$CD=AC=5$
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边，结合线段的和差关系即可求解，易错点是对应边匹配错误。
【难度系数】
0.8

4.如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的,图中的各个顶点均为格点,则∠1−∠2−∠3的度数为（）

A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

C

【分析】
解题思路如下：1. 先观察网格特征，设每个小正方形边长为1，先分析∠1的度数：通过观察∠1两条边对应的直角三角形，结合全等三角形性质可证∠1的两条边互相垂直，得∠1=90°；2. 再求∠2与∠3的和：观察含∠2和∠3的直角三角形，通过网格构造全等图形拼接两个角，可发现二者之和等于正方形对角线与边的夹角，即45°；3. 最后代入式子∠1−(∠2+∠3)计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 求∠1的度数：观察∠1的两条边，分别对应两个直角边为1、2和2、1的直角三角形，根据SAS可证这两个直角三角形全等，因此对应角互余，可推出∠1的两条边互相垂直，即$\boldsymbol{∠1=90°}$。
2. 求∠2+∠3的度数：含∠2的直角三角形两直角边为1和2，含∠3的直角三角形两直角边为1和3，在网格中构造全等图形将∠2和∠3拼接，可证拼接后形成的三角形为等腰直角三角形，因此$\boldsymbol{∠2+∠3=45°}$。
3. 计算所求角度：
$\begin{aligned}∠1−∠2−∠3&=∠1−(∠2+∠3)\\&=90°−45°\\&=45°\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定，直角三角形性质，正方形的性质
【点评】
本题是网格类角度计算问题，解题核心是利用网格的规整性，结合全等三角形的性质将未知角的和差转化为90°、45°这类特殊角计算，对学生的图形观察能力和几何构造意识有一定要求。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AD$ 平分 $∠ CAB$,$DE⊥ AB$ 于点 $E$,则下列结论中,不正确的是()

A.$BD+ED=BC$
B.$DE$ 平分 $∠ ADB$
C.$DA$ 平分 $∠ EDC$
D.$ED+AC＞AD$

B

【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关定理：首先由AD是∠CAB的平分线、∠C=90°、DE⊥AB，可先得到角平分线性质的结论CD=DE，还可证明△ACD≌△AED，再逐一验证四个选项：
1. 验证A选项：将ED替换为相等的CD，即可得到BD+ED=BC，判断正误；
2. 验证C选项：由全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠ADE，即可判断DA是否平分∠EDC；
3. 验证D选项：利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，结合CD=DE即可判断；
4. 验证B选项：看现有条件是否能推出∠ADE=∠BDE，即可判断正误，最终选出不正确的选项。
【解析】
已知AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，根据角平分线的性质可得：CD=DE。
对选项A：BD+ED=BD+CD=BC，故A结论正确，不符合题意；
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠AED=90°\\∠CAD=∠EAD\\AD=AD\end{array} $
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，故选项C结论正确，不符合题意；
对选项D：在△ACD中，根据三角形三边关系，AC+CD＞AD，又
∵CD=DE，
∴AC+ED＞AD，故D结论正确，不符合题意；
对选项B：要使DE平分∠ADB，需满足∠ADE=∠BDE，现有已知条件无法推出该结论，故B结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，考查多个基础知识点的结合应用，解题时需逐一推导每个选项，注意不可自行添加题目未给出的特殊条件，细心即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，点$B$的坐标为$(1,5)$，点$C$的坐标是$(-2,0)$，则点$A$的坐标为（）

A.$(-7,3)$
B.$(-6,2)$
C.$(-5,3)$
D.$(-4,2)$

A
【点拨】如图,过点 A 作$AE⊥x$轴于点 E,过点 B 作$BF⊥x$轴于点 F,
$\therefore ∠AEC=∠CFB=90°.$
$\therefore ∠EAC+∠ACE=90°.$
$\because ∠ACB=90°,$
$\therefore ∠BCF+∠ACE=90°,$
$\therefore ∠EAC=∠BCF.$
又$\because AC=BC,\therefore △AEC≌△CFB(AAS),\therefore AE=CF,CE=BF.$
$\because$ 点 B 的坐标为$(1,5)$,点 C 的坐标是$(-2,0),\therefore CE=BF=5,OF=1,OC=2,\therefore AE=CF=OC+OF=3,OE=OC+CE=7,\therefore$ 点 A 的坐标为$(-7,3).$

【分析】
要解决求点A坐标的问题，首先明确平面直角坐标系中求点坐标的常用方法：过点向坐标轴作垂线，通过计算垂线段长度得到坐标绝对值，再结合象限确定符号。题目给出△ABC是等腰直角三角形（∠ACB=90°、AC=BC），可通过构造“三垂直”模型求解：分别过A、B作x轴的垂线得到两个直角三角形，利用同角的余角相等推出一组锐角相等，结合已知的边相等、直角相等，用AAS证明两个三角形全等，再将已知点的坐标转化为线段长度，利用全等三角形对应边相等计算出和点A坐标相关的线段长度，最终得到点A的坐标。
【解析】
解：如图，过点A作$AE⊥x$轴于点E，过点B作$BF⊥x$轴于点F，
$\therefore ∠AEC=∠CFB=90°$，
$\therefore ∠EAC+∠ACE=90°$（直角三角形两锐角互余）。
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠BCF+∠ACE=90°$，
$\therefore ∠EAC=∠BCF$（同角的余角相等）。
在$△ AEC$和$△ CFB$中：
$\{\begin{array}{l}∠AEC=∠CFB\\∠EAC=∠BCF\\AC=BC\end{array} $
$\therefore △AEC≌△CFB(AAS)$，
$\therefore AE=CF，CE=BF$（全等三角形对应边相等）。
$\because$ 点B的坐标为$(1,5)$，点C的坐标是$(-2,0)$，
$\therefore BF=5，OF=1，OC=2$，
$\therefore CE=BF=5，CF=OC+OF=2+1=3$，
$\therefore AE=CF=3$，$OE=OC+CE=2+5=7$，
$\because$ 点A在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
$\therefore$ 点A的坐标为$(-7,3)$。
【答案】
A

【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系内点的坐标
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的常规题型，核心是通过作垂线构造“三垂直”全等模型，将坐标问题转化为线段长度的计算，解题时要注意结合点所在象限确定坐标的符号。
【难度系数】
0.6

7.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$,过点$B$作$BM⊥ AC$于点$M$,连接$MD$,过点$D$作$DN⊥ MD$,交$BM$于点$N$.CD与BM相交于点$E$,若点$E$是CD的中点,下列结论:①$∠ AMD=45°$;②$NE-EM=MC$;③$EM:MC:NE=1:2:3$;④$S_{△ ACD}=2S_{△ DNE}$.其中正确的结论为 ()

A.①③
B.①②③
C.①③④
D.①②③④

B
【点拨】①$\because CD⊥AB,\therefore ∠BDC=∠ADC=90°.$
$\because ∠ABC=45°,\therefore ∠DCB=90°-∠DBC=45°=∠DBC,\therefore BD=CD. \because BM⊥AC,\therefore ∠AMB=90°=∠ADC,\therefore ∠A+∠DBN=90°,∠A+∠DCM=90°,$
$\therefore ∠DBN=∠DCM. \because DN⊥MD,\therefore ∠CDM+∠CDN=90°. \because ∠CDN+∠BDN=90°,\therefore ∠CDM=∠BDN,$
$\therefore △BDN≌△CDM(ASA),\therefore DN=DM. \because ∠MDN=90°,\therefore △DMN$ 是等腰直角三角形,$\therefore ∠DMN=45°,$
$\therefore ∠AMD=90°-45°=45°$,故①正确;②由①知,$DN=DM$,过点 D 作 $DF⊥MN$ 于 F,则 $∠DFE=90°=∠CME$,$\therefore$ 易得 $NF=FM. \because DN⊥MD,\therefore DF=FN,$
$\because$ 点E是CD的中点,$\therefore DE=CE$. 在$△DEF$与$△CEM$中,
$\begin{cases} ∠DEF=∠CEM, \\ ∠DFE=∠CME, \\ DE=CE, \end{cases}$
$\therefore △DEF≌△CEM(AAS),$
$\therefore ME=EF,CM=DF,\therefore FN=CM,\because NE-EF=FN,$
$\therefore NE-EM=MC$,故②正确;③由②知 $ME=EF,MF=NF$,设 $EF=x$,则 $EM=x,MC=MF=DF=2x,NE=3x,\therefore EM: MC : NE = 1 : 2 : 3$,故 ③ 正确;
④$\because ∠BDE=∠CDA=90°,∠DBN=∠DCM,BD=CD,\therefore △BED≌△CAD(ASA),\therefore S_{△BED}=S_{△CAD}.$ 由①知,$△BDN≌△CDM,\therefore BN=CM. \because CM=FN,$
$\therefore BN=FN,\therefore BN＜NE,\therefore S_{△BDN}＜S_{△DEN},\therefore S_{△BED}＜2S_{△DNE},\therefore S_{△ACD}＜2S_{△DNE}$,故④错误,$\therefore$ 正确的有①②③. 故选 B.

【分析】
这是一道全等三角形与等腰直角三角形结合的综合题，可按以下思路逐一验证结论：1. 先利用已知的垂直和45°角，得到BD=CD，再通过角的互余关系找相等的角，证明△BDN≌△CDM，得到DN=DM，进而推导∠AMD的度数验证①；2. 针对线段和差结论②，借助E是CD中点的条件，作DF⊥MN构造全等三角形，证明△DEF≌△CEM，将线段转化推导和差关系；3. 结论③可以通过设参数，结合②中得到的线段相等关系，分别表示出EM、MC、NE的长度，计算比例；4. 结论④通过全等转化△ACD和△BED的面积，再比较△BED和2S△DNE的大小即可判断。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 证明：
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=90°-∠DBC=45°=∠DBC，
∴BD=CD。
∵BM⊥AC，
∴∠AMB=90°=∠ADC，
∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，
∴∠DBN=∠DCM。
∵DN⊥MD，
∴∠MDN=90°，即∠CDM+∠CDN=90°，
又
∵∠BDN+∠CDN=∠BDC=90°，
∴∠CDM=∠BDN。
在△BDN和△CDM中：
$\begin{cases} ∠DBN=∠DCM \\ BD=CD \\ ∠BDN=∠CDM \end{cases}$
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN=DM。
∵∠MDN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN=45°，
∵BM⊥AC，
∴∠AMC=90°，
∴∠AMD=90°-∠DMN=45°，故①正确。
② 证明：过点D作DF⊥MN于F，则∠DFE=90°=∠CME。
∵△DMN是等腰直角三角形，DF⊥MN，
∴NF=FM，DF=FN=FM。
∵E是CD的中点，
∴DE=CE。
在△DEF和△CEM中：
$\begin{cases} ∠DEF=∠CEM \\ ∠DFE=∠CME \\ DE=CE \end{cases}$
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME=EF，CM=DF。
∴FN=CM，
∵NE-EF=FN，
∴NE-EM=MC，故②正确。
③ 证明：设EF=x，由②知EM=EF=x，
则MF=EM+EF=2x，
∴MC=DF=MF=2x，
NE=NF+EF=MF+EF=2x+x=3x，
∴EM:MC:NE=x:2x:3x=1:2:3，故③正确。
④ 证明：在△BED和△CAD中：
$\begin{cases} ∠DBE=∠DCA \\ BD=CD \\ ∠BDE=∠CDA=90° \end{cases}$
∴△BED≌△CAD（ASA），
∴$S_{△BED}=S_{△ACD}$。
由△BDN≌△CDM得BN=CM，又
∵CM=FN，
∴BN=FN，
∴BN＜NE，
∴$S_{△BDN}＜S_{△DEN}$，
∴$S_{△BED}=S_{△BDN}+S_{△DEN}＜2S_{△DNE}$，
∴$S_{△ACD}＜2S_{△DNE}$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，需要通过角的互余关系推导等角，多次运用全等三角形的判定实现线段、面积的等量转化，考察逻辑推理能力和转化思想，解题时要注意每个结论推导的严谨性，避免误判错误结论。
【难度系数】
0.4

8. ★★ 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线$BD$,$CE$相交于点$O$,$BD$交$AC$于点$D$,$CE$交$AB$于点$E$,若已知$△ ABC$的周长为$20$,$BC=7$,$AE:AD=4:3$,则$AE$的长为 ()



A.$\frac{18}{7}$
B.$\frac{24}{7}$
C.$\frac{26}{7}$
D.$4$

B
【点拨】如图,在 BC 上截取 $BH=BE$,连接 OH,
$\because BD$ 平分$∠ABC$,$CE$ 平分$∠ACB$,
$\therefore ∠ABD = ∠CBD = \frac{1}{2} ∠ABC,∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB.$
$\because ∠A = 60°,\therefore ∠ABC + ∠ACB = 180°-∠A=120°,$
$\therefore ∠CBD+∠BCE=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60°,$
$\therefore ∠BOC=180°-(∠CBD+∠BCE)=120°,$
$\therefore ∠COD=∠BOE=180°-∠BOC=60°.$
在$△EBO$和$△HBO$中,$\begin{cases} BE=BH, \\ ∠EBO=∠HBO, \\ BO=BO, \end{cases}$
$\therefore △EBO≌△HBO(SAS),\therefore ∠BOH=∠BOE=60°,$
$\therefore ∠COH=∠BOC-∠BOH=60°,\therefore ∠COD=∠COH.$
在$△COD$和$△COH$中,$\begin{cases} ∠COD=∠COH, \\ OC=OC, \\ ∠DCO=∠HCO, \end{cases}$
$\therefore △COD≌△COH(ASA),\therefore CD=CH. \therefore BE+CD=BH+CH=BC=7. \because △ABC$ 周长为 20,$\therefore AB+AC+BC=20,\therefore AB+AC=20-BC=13,\therefore AE+AD=AB-BE+AC-CD=(AB+AC)-(BE+CD)=13-7=6.$
$\because AE:AD=4:3,\therefore AD=\frac{3}{4}AE,$
$\therefore AE+\frac{3}{4}AE=6,解得 AE=\frac{24}{7}.$ 故选 B.

【分析】
已知AE与AD的比例为4:3，要计算AE的长度，只需要先求出AE+AD的和即可。解题思路如下：
1. 先根据三角形内角和为180°，结合∠A=60°，算出∠ABC+∠ACB的和，再根据角平分线的定义，算出∠BOC的度数，得到相关等角；
2. 角平分线相关的线段证明常用截长补短法构造全等，本题在BC上截取BH=BE，结合角平分线得到的等角、公共边BO，可证△EBO≌△HBO，得到对应角∠BOH=∠BOE=60°；
3. 进而推出∠COH=∠COD=60°，再结合角平分线的等角、公共边OC，证△COD≌△COH，得到CD=CH，由此可得BE+CD=BC=7；
4. 结合△ABC的周长和BC的长度，算出AB+AC=13，再将AB拆分为AE+BE、AC拆分为AD+CD，代入BE+CD=7，即可得到AE+AD=6；
5. 最后结合AE和AD的比例关系，代入计算即可得到AE的长度。
【解析】
如图，在BC上截取$BH=BE$，连接OH。
∵BD平分$∠ABC$，CE平分$∠ACB$，
∴$∠ABD = ∠CBD = \frac{1}{2} ∠ABC$，$∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB$。
∵$∠A = 60°$，
∴$∠ABC + ∠ACB = 180°-∠A=120°$，
∴$∠CBD+∠BCE=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60°$，
∴$∠BOC=180°-(∠CBD+∠BCE)=120°$，
∴$∠COD=∠BOE=180°-∠BOC=60°$。
在$△EBO$和$△HBO$中，
$\begin{cases} BE=BH, \\ ∠EBO=∠HBO, \\ BO=BO, \end{cases}$
∴$△EBO≌△HBO(SAS)$，
∴$∠BOH=∠BOE=60°$，
∴$∠COH=∠BOC-∠BOH=60°$，即$∠COD=∠COH$。
在$△COD$和$△COH$中，
$\begin{cases} ∠COD=∠COH, \\ OC=OC, \\ ∠DCO=∠HCO, \end{cases}$
∴$△COD≌△COH(ASA)$，
∴$CD=CH$。
∴$BE+CD=BH+CH=BC=7$。
∵$△ABC$周长为20，$BC=7$，
∴$AB+AC=20-BC=13$，
∴$AE+AD=(AB-BE)+(AC-CD)=(AB+AC)-(BE+CD)=13-7=6$。
∵$AE:AD=4:3$，
∴$AD=\frac{3}{4}AE$，代入得$AE+\frac{3}{4}AE=6$，
解得$AE=\frac{24}{7}$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的角平分线与全等三角形结合的题型，核心解题技巧是截长补短构造全等三角形，将未知线段的关系转化为已知线段的长度，同时结合周长和比例关系求解，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

9. 如图，$△ ABC ≌ △ DEC$，$AF ⊥ CD$，若$∠ BCE = 65°$，则$∠ CAF = \_\_\_\_\_\_°$。

25

【分析】
解题时首先利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠ACB与∠DCE相等，再通过角的和差关系推导得出∠ACD与已知的∠BCE相等；然后根据AF垂直CD可知△AFC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠CAF的度数。
【解析】
∵△ABC ≌ △DEC
∴∠ACB = ∠DCE
∴∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠ACD = ∠BCE
已知∠BCE = 65°，
∴∠ACD = 65°
∵AF ⊥ CD，
∴∠AFC = 90°
在Rt△AFC中，∠CAF + ∠ACD = 90°
∴∠CAF = 90° - 65° = 25°
【答案】
25
【知识点】
全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是通过全等三角形的性质找到等角，进而推导出待求角所在直角三角形的另一个锐角度数，是全等三角形性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$AC=CE$，$∠ ACE=90°$，$AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$DE=3\ \mathrm{cm}$，则$BD$等于。

8 cm

【分析】
首先结合已知的垂直条件，可得两个直角相等；再由∠ACE=90°，利用同角的余角相等推出一组角相等，结合已知AC=CE，即可用AAS判定△ABC和△CDE全等；最后根据全等三角形对应边相等，将BD拆分为BC+CD，代入对应边的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵$AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$
∴$∠ B=∠ D=90°$
∴$∠ BAC+∠ ACB=90°$
∵$∠ ACE=90°$
∴$∠ ACB+∠ DCE=180°-∠ ACE=90°$
∴$∠ BAC=∠ DCE$（同角的余角相等）
在$△ ABC$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D \\∠ BAC=∠ DCE \\AC=CE\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ CDE$（AAS）
∴$BC=DE=3\ \mathrm{cm}$，$CD=AB=5\ \mathrm{cm}$
∴$BD=BC+CD=3+5=8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8 cm
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 余角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是通过角度互余关系推导等角，进而证明三角形全等，再利用全等性质转化线段长度求解，需要注意找准全等三角形的对应边，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7

11.[2026重庆渝北期末] 如图，在锐角三角形ABC中，AB=10，△ABC的面积为30，BD平分∠ABC，若E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是。

(第11题) (第12题)

6
【点拨】如图,在 AB 上取点 P,使 $PB=BF$,连接 PE,CP. $\because BD$ 平分$∠ABC$,$\therefore ∠PBE=∠FBE$. 又 $\because PB=BF,BE=BE,\therefore △PBE≌△FBE(SAS),\therefore PE=FE,\therefore CE+EF=CE+EP≥CP,\therefore$ 当点 C,E,P 三点共线,且 $CP⊥AB$ 时,$CE+EF$ 有最小值,最小值为 CP 的长. $\because △ABC$ 的面积为 30,$AB=10,\therefore \frac{1}{2}×10CP=30,$
$\therefore CP=6. \therefore CE+EF$ 的最小值为 6.

【分析】
本题属于最短路径类问题，解题核心是利用角平分线的对称性转化线段，将两条折线段的和转化为可求的最短距离。首先，BD是∠ABC的角平分线，我们可以在AB上取点P使得PB=BF，利用SAS证明△PBE和△FBE全等，就能把EF转化为PE，此时CE+EF就变成了CE+EP，根据两点之间线段最短，CE+EP的最小值是C到AB上某点的连线长度，再根据点到直线的距离垂线段最短，可知当CP垂直AB时，CP的长度就是最小值，最后用三角形面积公式计算CP的长度即可。
【解析】
解：在AB上取点P，使$PB=BF$，连接PE、CP。
1. 证明线段相等：
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠PBE=∠FBE$。
在$△ PBE$和$△ FBE$中：
$\{\begin{array}{l} PB=BF\\ ∠PBE=∠FBE\\ BE=BE\end{array} $
∴$△ PBE≌△ FBE(SAS)$，
∴$PE=FE$。
2. 转化线段求最值：
∴$CE+EF=CE+EP$，根据两点之间线段最短，$CE+EP≥CP$，当且仅当C、E、P三点共线时取等号；
要让CP最短，根据垂线段最短，当$CP⊥AB$时，CP的长度最小，即为CE+EF的最小值。
3. 计算CP的长度：
∵$△ ABC$的面积为30，$AB=10$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×CP=30$，代入得$\frac{1}{2}×10×CP=30$，
解得$CP=6$。
【答案】
6

【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题
【点评】
本题是角平分线性质与最短路径结合的典型考题，解题关键是利用角平分线的对称性构造全等三角形，将未知的两条线段和转化为点到直线的距离，体现了转化的数学思想，同时结合三角形面积公式求解最短距离，对基础知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12. 2026·淮南期末 新考法·分类讨论法 如图，$AB// CD$，$AC$与$BD$交于点$O$，$OA=OC$，$AB=16\ \mathrm{cm}$. 点$M$从点$A$出发，沿$A→B→A$方向以$6\ \mathrm{cm/s}$的速度运动，同时点$N$从点$D$出发，沿$D→C$方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动，当点$M$回到点$A$时，$M$，$N$两点同时停止运动.
(1)$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
(2)连接$MN$，当线段$MN$经过点$O$时，点$M$的运动时间为$\mathrm{s}$.

(1)16 (2)$\frac{16}{7}$或$\frac{16}{5}$
【点拨】(1)$\because AB//CD,\therefore ∠A=∠C$. 在$△AOB$和$△COD$中,$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ AO=CO, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△COD(ASA),\therefore CD=AB=16\ \mathrm{cm}.$
(2)设运动时间为 $t$ s,当线段 $MN$ 经过点 $O$ 时,如图,在$△AOM$和$△CON$中,
$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ AO=CO, \\ ∠AOM=∠CON, \end{cases}$
$\therefore △AOM≌△CON(ASA),\therefore AM=CN$. 当点 M 沿 $A→B$ 方向运动时,$AM=6t$ cm,$DN=t$ cm,$\therefore CN=CD-DN=(16-t)$ cm,$\therefore 6t=16-t$,解得 $t=\frac{16}{7}$;当点 M 沿 $B→A$ 方向运动时,$AM=2AB-6t=(32-6t)$ cm,$CN=CD-DN=(16-t)$ cm,$\therefore 32-6t=16-t$,解得 $t=\frac{16}{5}$. 综上可知,$t$ 的值为$\frac{16}{7}$或$\frac{16}{5}$.

【分析】
(1) 已知$AB// CD$，可得内错角$∠ A=∠ C$，结合$OA=OC$、对顶角$∠ AOB=∠ COD$，可通过ASA判定$△ AOB$和$△ COD$全等，根据全等三角形对应边相等即可求出$CD$的长度。
(2) 点M为往返运动，因此需分两种情况讨论：①点M沿$A\to B$方向运动时；②点M沿$B\to A$方向运动时。当$MN$经过点$O$时，同理可证$△ AOM≌△ CON$，得到$AM=CN$的等量关系，结合两点的运动速度、路程表达式列方程求解，最后验证解是否在总运动时间范围内即可。
【解析】
(1) $\because AB// CD$，$\therefore ∠ A=∠ C$。
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AO=CO \\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，$\therefore CD=AB=16\ \mathrm{cm}$。
(2) 设点M的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点M往返总路程为$2×16=32\ \mathrm{cm}$，总运动时间为$\frac{32}{6}=\frac{16}{3}\ \mathrm{s}$，即$0≤ t≤\frac{16}{3}$。
当线段$MN$经过点$O$时，在$△ AOM$和$△ CON$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AO=CO \\∠ AOM=∠ CON\end{cases}$
$\therefore △ AOM≌△ CON(\mathrm{ASA})$，$\therefore AM=CN$。
分两种情况讨论：
① 当点M沿$A\to B$方向运动时（$0≤ t≤\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$）：$AM=6t\ \mathrm{cm}$，$DN=t\ \mathrm{cm}$，则$CN=CD-DN=(16-t)\ \mathrm{cm}$。
列方程：$6t=16-t$，解得$t=\frac{16}{7}$，符合取值范围。
② 当点M沿$B\to A$方向运动时（$\frac{8}{3}＜t≤\frac{16}{3}$）：$AM=2AB-6t=(32-6t)\ \mathrm{cm}$，$CN=(16-t)\ \mathrm{cm}$。
列方程：$32-6t=16-t$，解得$t=\frac{16}{5}$，符合取值范围。
综上，运动时间为$\frac{16}{7}\ \mathrm{s}$或$\frac{16}{5}\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{\frac{16}{7}}$或$\boxed{\frac{16}{5}}$

【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，动点分类讨论
【点评】
本题将全等三角形的判定与动点问题结合，重点考查分类讨论思想，解题时需注意动点运动方向变化时路程的表达式会发生改变，避免漏解，同时解出结果后要验证是否符合实际运动时间要求。
【难度系数】
0.6