7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$P$是射线$AC$上的一点.
（1）把$△ ABC$沿着过点$P$的直线折叠，使点$A$与点$B$重合，请用直尺和圆规作出点$P$（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求$AP$的长；
（3）若把$△ ABC$沿着直线$BP$翻折，当点$C$恰好落在直线$AB$上时，$AP$的长为________.

7. (1) 如图①所示：

(2) 连接 BP. 因为$∠ACB=90°,AB=10\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm}$,所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=8\ \mathrm{cm}$. 由折叠的性质,得$AP=BP$. 设$AP=BP=x\ \mathrm{cm}$,则$PC=(8-x)\mathrm{cm}$. 因为$BP^2=BC^2+PC^2$,所以$x^2=6^2+(8-x)^2$,解得$x=\frac{25}{4}$. 所以 AP 的长为$\frac{25}{4}\ \mathrm{cm}$.
(3) 5 cm或20 cm 解析:因为点 P 在射线 AC 上,且点 C 恰好落在直线 AB 上,所以分类讨论如下:① 当点 P 在边 AC 上时,如图②.由折叠的性质,得$BC'=BC,C'P=CP,∠BC'P=∠ACB=90°$. 又$BC=6\ \mathrm{cm},AB=10\ \mathrm{cm},∠AC'P+∠BC'P=180°$,所以$AC'=AB-BC'=AB-BC=4\ \mathrm{cm},∠AC'P=90°$.由(2),得$AC=8\ \mathrm{cm}$.设$AP=m\ \mathrm{cm}$,则$PC'=PC=(8-m)\mathrm{cm}$. 又$AP^2=AC'^2+PC'^2$,所以$m^2=16+(8-m)^2$,解得$m=5$.所以$AP=5\ \mathrm{cm}$;② 当点 P 在 AC 的延长线上时,折叠后点 C 的对应点$C'$在 AB 的延长线上,如图③.同理,得$BC'=BC=6\ \mathrm{cm},PC'=PC,∠AC'P=90°$,所以$AC'=AB+BC'=16\ \mathrm{cm}$.设$PC'=PC=n\ \mathrm{cm}$,则$AP=(8+n)\mathrm{cm}$. 又$AP^2=AC'^2+PC'^2$,所以$(8+n)^2=16^2+n^2$,解得$n=12$.所以$AP=8+n=20(\mathrm{cm})$.综上,AP 的长为 5 cm 或 20 cm.