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1. 若 $M=4x^2-12xy+10y^2-4y+$ $9$($x,y$ 为实数), 则 $M$ 的最小值为
5
。答案
解析:$M=4x^{2}-12xy+10y^{2}-4y+9=4x^{2}-12xy+9y^{2}+y^{2}-4y+4+5=(2x-3y)^{2}+(y-2)^{2}+5.$ 因为$(2x-3y)^{2}≥0,(y-2)^{2}≥0,$所以$M≥5,$所以$M$的最小值为5.
2. 已知$x$为实数，则代数式$-3x^{2}+2x-4$的最大值为
$-\dfrac{11}{3}$
。答案
解析:$-3x^{2}+2x-4=-3(x^{2}-\dfrac{2}{3}x)-4=-3(x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9})-4=-3(x-\dfrac{1}{3})^{2}-\dfrac{11}{3}.$ 因为$(x-\dfrac{1}{3})^{2}≥0,$所以$-3(x-\dfrac{1}{3})^{2}≤0,$所以$-3(x-\dfrac{1}{3})^{2}-\dfrac{11}{3}≤-\dfrac{11}{3},$所以代数式$-3x^{2}+2x-4$的最大值为$-\dfrac{11}{3}.$
3. (2026·江苏南京期中)若实数 a ,b 满足 $b^{2}-$$3b+a+1=0$,求 a 的最大整数值.
答案
因为$b^{2}-3b+a+1=0,$所以$a=-b^{2}+3b-1=-(b-\dfrac{3}{2})^{2}+\dfrac{5}{4}.$ 因为$(b-\dfrac{3}{2})^{2}≥0,$所以$-(b-\dfrac{3}{2})^{2}≤0,$所以$-(b-\dfrac{3}{2})^{2}+\dfrac{5}{4}≤\dfrac{5}{4},$即$a≤\dfrac{5}{4},$所以$a$的最大整数值为1.
4. 已知 $x^{2}+y^{2}+4x-6y+13=0$，则代数式 $2x+y$ 的值是 （
A.1
B.7
C.$-1$
D.$-7$
C
）A.1
B.7
C.$-1$
D.$-7$
答案
解析:因为$x^{2}+y^{2}+4x-6y+13=0,$所以$x^{2}+4x+4+y^{2}-6y+9=0,$所以$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=0.$ 因为$(x+2)^{2}≥0,(y-3)^{2}≥0,$所以$x+2=0,y-3=0,$解得$x=-2,y=3,$所以$2x+y=2×(-2)+3=-1.$
5. 已知实数 $x,y$ 满足 $9x^{2}+y^{2}+24x-6y+$$25=0$ 和 $axy-3x=y$, 则 $2a+1=$
$\dfrac{3}{2}$
.答案
解析:因为$9x^{2}+y^{2}+24x-6y+25=0,$所以$9x^{2}+24x+16+y^{2}-6y+9=0,$所以$(3x+4)^{2}+(y-3)^{2}=0.$ 因为$(3x+4)^{2}≥0,(y-3)^{2}≥0,$所以$3x+4=0,y-3=0,$解得$x=-\dfrac{4}{3},y=3.$ 因为$axy-3x=y,$所以$a×(-\dfrac{4}{3})×3-3×(-\dfrac{4}{3})=3,$解得$a=\dfrac{1}{4},$所以$2a+1=2×\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{2}.$
6. 已知 $a+b+c=2\sqrt{a+1}+4\sqrt{b+1}+6\sqrt{c-2}-14$，则 $a+2b+c=$
17
。答案
解析:因为$a+b+c=2\sqrt{a+1}+4\sqrt{b+1}+6\sqrt{c-2}-14,$所以$a+1+b+1+c-2-2\sqrt{a+1}-4\sqrt{b+1}-6\sqrt{c-2}+14=0,$所以$[(\sqrt{a+1})^{2}-2\sqrt{a+1}+1]+[(\sqrt{b+1})^{2}-4\sqrt{b+1}+4]+[(\sqrt{c-2})^{2}-6\sqrt{c-2}+9]=0,$所以$(\sqrt{a+1}-1)^{2}+(\sqrt{b+1}-2)^{2}+(\sqrt{c-2}-3)^{2}=0.$ 因为$(\sqrt{a+1}-1)^{2}≥0,(\sqrt{b+1}-2)^{2}≥0,(\sqrt{c-2}-3)^{2}≥0,$所以$\sqrt{a+1}-1=0,\sqrt{b+1}-2=0,\sqrt{c-2}-3=0,$解得$a=0,b=3,c=11,$所以$a+2b+c=0+2×3+11=17.$
7. 新趋势 推导探究 已知 $a=\dfrac{17}{19}x+2\ 026,b=\dfrac{17}{19}x+2\ 024,c=\dfrac{17}{19}x+2\ 025$ , 则代数式 $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$ 的值是否与 $x$ 的取值有关? 若有关, 请说明理由; 若无关, 请求出该代数式的值.
答案
因为$a=\dfrac{17}{19}x+2026,b=\dfrac{17}{19}x+2024,c=\dfrac{17}{19}x+2025,$所以$a-b=2,a-c=1,c-b=1,$所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc=(\dfrac{a^{2}}{2}-ab+\dfrac{b^{2}}{2})+(\dfrac{a^{2}}{2}-ac+\dfrac{c^{2}}{2})+(\dfrac{c^{2}}{2}-bc+\dfrac{b^{2}}{2})=\dfrac{(a-b)^{2}}{2}+\dfrac{(a-c)^{2}}{2}+\dfrac{(c-b)^{2}}{2}=\dfrac{2^{2}}{2}+\dfrac{1^{2}}{2}+\dfrac{1^{2}}{2}=3.$ 故代数式$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc$的值与$x$的取值无关,且$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc$的值是3.
8. 已知 $M=2a^{2}-3a+\dfrac{1}{2},N=a^{2}-$
$a-\dfrac{1}{2}$，对任意实数 $a$，试比较 $M$ 与 $N$ 的大小.
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$a-\dfrac{1}{2}$，对任意实数 $a$，试比较 $M$ 与 $N$ 的大小.
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答案
因为$M=2a^{2}-3a+\dfrac{1}{2},N=a^{2}-a-\dfrac{1}{2},$所以$M-N=a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}≥0,$所以对任意实数$a$，$M≥ N.$
9. 已知三角形的三边长 a , b , c 满足
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc$,请你判
断该三角形的形状.
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$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc$,请你判
断该三角形的形状.
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答案
因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+ac+bc,$所以$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc=0,$所以$(a^{2}-2ab+b^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})=0,$所以$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0.$ 因为$(a-b)^{2}≥0,(a-c)^{2}≥0,(b-c)^{2}≥0,$所以$a-b=0,a-c=0,b-c=0,$所以$a=b=c,$所以该三角形是等边三角形.
10. 当 $a , b$ 为何值时, 关于 $x$ 的方程
$x^{2}+2(1+a)x+(3a^{2}+4ab+$
$4b^{2}+2)=0$
有实数根?
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$x^{2}+2(1+a)x+(3a^{2}+4ab+$
$4b^{2}+2)=0$
有实数根?
上分秘籍
答案
要使原方程有实数根,则$[2(1+a)]^{2}-4(3a^{2}+4ab+4b^{2}+2)≥0.$ 整理,得$2a^{2}+4b^{2}-2a+4ab+1≤0,$即$(a^{2}+4ab+4b^{2})+(a^{2}-2a+1)≤0,$所以$(a+2b)^{2}+(a-1)^{2}≤0.$ 因为$(a+2b)^{2}≥0,(a-1)^{2}≥0,$所以$(a+2b)^{2}+(a-1)^{2}≥0,$所以$(a+2b)^{2}+(a-1)^{2}=0,$所以$\begin{cases}a+2b=0,\\a-1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-\dfrac{1}{2}.\end{cases}$ 故当$a=1,b=-\dfrac{1}{2}$时,原方程有实数根.
11. 新素养 推理能力 已知 a , b , c 为常数,且
$(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)$
是完全平方式. 求证:$a=b=c.$
$(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)$
是完全平方式. 求证:$a=b=c.$
答案
原式$=3x^{2}+2(a+b+c)x+ab+ac+bc.$ 因为它是完全平方式,所以关于$x$的方程$3x^{2}+2(a+b+c)x+ab+ac+bc=0$的根的判别式为0,即$4(a+b+c)^{2}-12(ab+ac+bc)=0,$所以$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0,$所以$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0.$ 要使该等式成立,则$\begin{cases}a-b=0,\\b-c=0,\\c-a=0,\end{cases}$即$a=b=c.$
