7. 在数$-1$、$1$、$2$中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数$y = x - 2$图象上的概率是（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{6}$

7. D 解析:画树状图如图所示.由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中只有$(1,-1)$在一次函数$y=x-2$的图象上,
∴点在一次函数$y=x-2$图象上的概率是$\dfrac{1}{6}$。

【分析】
要解决这个概率问题，需分三步思考：第一步，用树状图（或列举法）找出从-1、1、2中任取两个数作为点坐标的所有等可能结果；第二步，将每个点的横、纵坐标代入一次函数$y=x-2$，判断该点是否在函数图象上；第三步，利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
首先，根据树状图（如题图所示），所有等可能的点坐标共有6种，分别为：$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$。
然后，逐一验证这些点是否在一次函数$y=x-2$的图象上：
当$x=-1$时，$y=-1-2=-3$，对应点$(-1,1)$、$(-1,2)$均不满足；
当$x=1$时，$y=1-2=-1$，对应点$(1,-1)$满足，$(1,2)$不满足；
当$x=2$时，$y=2-2=0$，对应点$(2,-1)$、$(2,1)$均不满足；
因此，只有1个点$(1,-1)$在函数图象上。
根据概率公式，所求概率为符合条件的结果数（1）除以总结果数（6），即$\dfrac{1}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
概率计算、一次函数图象上的点
【点评】
本题结合树状图考查概率计算，关键是准确列举所有等可能结果，并正确判断点是否在一次函数图象上，属于基础概率题，需注意列举结果时不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.3

8. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会$4×100\ \mathrm{m}$接力跑比赛，如果任意安排这四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{8}$
D.$\dfrac{1}{12}$

8. A 解析:画树状图如图所示.由树状图可知,共有24种等可能的结果,其中恰好由甲将接力棒交给乙的结果有6种,
∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是$\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}$。

【分析】
要计算恰好由甲将接力棒交给乙的概率，需先确定所有可能的接力顺序总数，再找出满足“甲交棒给乙”的情况数。首先，4位同学的接力顺序是全排列，总共有24种等可能结果；“甲交棒给乙”意味着甲和乙相邻且甲在乙前一位，可将甲、乙视为一个固定顺序的整体，转化为3个元素的排列，得到符合条件的情况数，最后用概率公式计算即可。
【解析】
1. 计算总情况数：4位同学的接力顺序为全排列，总共有 $4! = 4×3×2×1 = 24$ 种等可能的结果。
2. 计算符合条件的情况数：“甲将接力棒交给乙”要求甲与乙相邻，且甲在乙的前一位（交棒顺序）。将甲、乙看作一个“甲在前、乙在后”的固定整体，此时相当于对这个整体、丙、丁共3个元素进行排列，排列数为 $3! = 3×2×1 = 6$ 种，即符合条件的结果有6种。
3. 计算概率：根据等可能事件的概率公式，概率 $P = \frac{符合条件的结果数}{总结果数} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率、排列与组合
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，通过树状图或排列组合均可求解，核心是准确区分总情况数与符合条件的情况数，属于概率基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

9. 在一个不透明的口袋中装有五个分别标有数字$-\sqrt{3},\sqrt{6},0,2,π$的小球,这些小球除数字外其他完全相同.从口袋中随机摸出两个小球,两个小球上的数字之积恰好是有理数的概率是.

9. $\dfrac{2}{5}$ 解析:画树状图如图所示.由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中两个小球上的数字之积恰好是有理数的结果有8种,
∴两个小球上的数字之积恰好是有理数的概率是$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$。

【分析】
本题是求随机事件的概率问题，解题思路如下：首先根据题目给出的树状图，确定从5个小球中随机摸出2个小球的所有等可能结果数；接着判断两个小球上数字的乘积是否为有理数，统计出乘积为有理数的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算所求概率。
【解析】
从树状图可知，共有 $5 × 4 = 20$ 种等可能的结果。
五个数字分别为 $-\sqrt{3},\sqrt{6},0,2,π$，其中只有当两个数字中包含0时，乘积为0（有理数），其余组合的乘积均为无理数。
包含0的有序组合有：$(0,-\sqrt{3}), (0,\sqrt{6}), (0,2), (0,π), (-\sqrt{3},0), (\sqrt{6},0), (2,0), (π,0)$，共8种结果。
根据概率公式，所求概率为 $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
概率计算、有理数的判断
【点评】
本题结合树状图考查概率计算，核心是准确统计所有等可能结果和符合条件的结果，需注意有序组合的计数，难度适中。
【难度系数】
0.5

10. 有四张背面完全相同的卡片,正面分别画了等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆,现将这些卡片背面朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片上的图形后(不放回),再从中随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率是.

10. $\dfrac{1}{6}$ 解析:将等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆分别记为 A、B、C、D,画树状图如图所示.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有2种,
∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率是$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。

【分析】首先明确中心对称图形的定义，判断四张卡片对应的图形中哪些是中心对称图形；再利用树状图法列举不放回抽取两张卡片的所有等可能结果，最后找出两张都是中心对称图形的结果数，根据概率公式计算概率。
【解析】将等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆分别记为A、B、C、D，其中中心对称图形是B（平行四边形）和D（圆），共2个。根据树状图可知，不放回抽取两张卡片，共有$4×3=12$种等可能的结果；其中两张都是中心对称图形的结果有：第一次抽B第二次抽D、第一次抽D第二次抽B，共2种。根据概率公式，所求概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】$\dfrac{1}{6}$
【知识点】概率计算、中心对称图形
【点评】本题结合中心对称图形的概念考查概率计算，需先准确判断中心对称图形，再通过树状图列举所有等可能结果，是基础的概率应用题，注重对基础知识点的综合运用。
【难度系数】0.5

11.【跨学科】如图,电路图上有A、B、C、D 4个开关和1个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡发亮.
(1)任意闭合其中的1个开关,小灯泡发亮的概率是多少?
(2)任意闭合其中的2个开关,小灯泡发亮的概率是多少?

11. (1)共有4个开关,闭合其中一个开关,有4种情况,只有闭合开关D才能使灯泡发亮,
∴小灯泡发亮的概率是$\dfrac{1}{4}$.
(2)画树状图如图所示.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中任意闭合两个开关,小灯泡发亮的结果有6种,
∴小灯泡发亮的概率是$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$。

【分析】
本题结合电路知识考查概率计算，解题思路是：先确定事件发生的所有等可能情况数，再找出满足“小灯泡发亮”条件的情况数，最后根据概率公式计算概率。
（1）任意闭合1个开关时，总共有4种等可能的闭合情况，仅闭合D时灯亮，据此求概率；
（2）任意闭合2个开关时，通过树状图列出所有等可能结果，再筛选出使灯亮的结果数，进而计算概率。
【解析】
（1）任意闭合其中1个开关，共有4种等可能的结果，分别为闭合A、闭合B、闭合C、闭合D，其中只有闭合开关D时小灯泡发亮，根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，可得小灯泡发亮的概率为$\frac{1}{4}$；
（2）任意闭合其中2个开关，画树状图（如图所示），可知共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发亮的结果有：（A,D）、（B,D）、（C,D）、（D,A）、（D,B）、（D,C），共6种，根据概率公式，可得小灯泡发亮的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、树状图法、电路通路
【点评】
本题是跨学科题目，将电路知识与概率计算结合，重点考查树状图列举等可能结果的方法，解题关键是明确小灯泡发亮的条件，整体难度不大，适合学生巩固概率知识的应用。
【难度系数】
0.3

12. 甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动,各自从辣椒、茄子、西红柿这三种蔬菜中随机选择一种进行种植.记种植辣椒为 A,种植茄子为 B,种植西红柿为 C.假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响,且每一种蔬菜被选到的可能性相等.记甲同学的选择为 x,乙同学的选择为 y.
(1)请用画树状图的方法写出$(x,y)$所有可能出现的结果.
(2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率 P.

12. (1)画树状图如图所示.由树状图可知,共有9种等可能的结果,分别为$(A,A)$、$(A,B)$、$(A,C)$、$(B,A)$、$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,A)$、$(C,B)$、$(C,C)$.

(2)由(1)可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的结果有3种,
∴甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率 $P=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.

【分析】
本题是概率计算问题，解题思路为：①利用树状图法列举甲、乙两名同学选择蔬菜的所有等可能结果，甲有3种选择，对甲的每一种选择，乙都有3种选择，总共有3×3=9种等可能结果；②从中找出甲、乙选择同一种蔬菜的结果数；③根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算所求概率。
【解析】
(1) 画树状图：从“开始”出发，第一层为甲的选择$x$，分别为A、B、C；第二层对应每个$x$，乙的选择$y$分别为A、B、C，由此得到所有等可能的结果为：$(A,A)$、$(A,B)$、$(A,C)$、$(B,A)$、$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,A)$、$(C,B)$、$(C,C)$，共9种。
(2) 由(1)可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙选择同一种蔬菜的结果有$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$，共3种。根据概率公式，可得甲、乙选择同一种蔬菜的概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 所有可能的结果为$(A,A)$、$(A,B)$、$(A,C)$、$(B,A)$、$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,A)$、$(C,B)$、$(C,C)$； (2) $P=\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法求概率、古典概型
【点评】
本题考查概率的基础应用，通过树状图清晰列举所有等可能结果，是解决概率问题的常用方法，属于初中数学概率部分的基础题型，注重对基本概念和解题方法的掌握。
【难度系数】
0.7