1. 如图所示的窗框需要总长为 24 m 的材料围成,其中三块长方形的面积相等,并且左右两块长方形的形状相同.若 AD 的长为$x\ \mathrm{m}$,则 AB 的长为（）


A.$\dfrac{24-3x}{4}\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{24-3x}{5}\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{24-3x}{8}\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{72-9x}{8}\ \mathrm{m}$

1. D 提示:如图,由题意,得 $AE=2BE$,设$BE=CF=y\ \mathrm{m}$,则 $AE=DF=2y\ \mathrm{m}$,则 $6y+2y+3x=24$,所以 $y=\dfrac{24-3x}{8}$,所以 $AB=3y=\dfrac{72-9x}{8}\ \mathrm{m}.$

【分析】
这道题的核心是先利用三块长方形面积相等的条件推导出竖直方向两段边长的比例关系，再统计所有窗框型材的总长度，结合总用料24m列等式求解。首先，因为三块面积相等，上方两个小长方形的水平宽度都是AD的一半，下方大长方形的水平宽度是AD，由此可以推出上方小长方形的竖直边长是下方大长方形竖直边长的2倍；接着设下方竖直边长为y，就能把所有型材的长度用x和y表示，根据总用料为24m解出y，最后把AB表示为3倍的y，代入化简就能得到AB的表达式，匹配对应选项即可。
【解析】
1. 由题意，三块长方形面积相等，且上方左右两个小长方形形状完全相同：
设下方大长方形的竖直边长$BE = y\ \mathrm{m}$，则上方单个小长方形的水平边长为$\frac{x}{2}\ \mathrm{m}$，设上方小长方形的竖直边长为AE。
根据面积相等：上方小长方形面积 = 下方大长方形面积，即
$ \frac{x}{2} · AE = x · y $约去不为0的x，可得AE = 2y。2. 计算所有窗框材料的总长度： 横向型材共3根，每根长度等于$AD=x\ \mathrm{m}$，横向总长度为$3x\ \mathrm{m}$； 竖向型材：左右两侧完整竖边长度均为$AB=AE+BE=3y\ \mathrm{m}$，中间的竖段仅分布在上半部分，长度为$AE=2y\ \mathrm{m}$，竖向总长度为$3y+3y+2y=8y\ \mathrm{m}$。3. 结合总用料为24m列方程： 3x + 8y = 24
解得$ y = \frac{24-3x}{8}$。
4. 计算AB的长度：
$ AB = 3y = 3×\frac{24-3x}{8} = \frac{72-9x}{8}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
矩形面积计算，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题的易错点在于两个地方：一是容易忽略三块面积相等的条件，无法推导出AE和BE的2倍关系；二是统计窗框型材总长度时容易数错横、竖段的数量，导致总长度的等式列错。解题时要先利用面积条件得到边长比例，再逐一清点所有用料段的长度，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.4

2. 如图,将$∠ COD$的直角顶点$O$放在直线$AB$上,过点$O$作$∠ BOC$的平分线$OE$.当$∠ AOC=24°$时,$∠ DOE=\_\_\_\_\_\_°$;$∠ COD$的边$OC$从与$OA$重合的位置开始,绕顶点$O$顺时针旋转,速度为每秒$4°$,旋转时间为$t\ \mathrm{s}(0＜ t ＜45)$,$OF$为$∠ COD$的平分线,当$∠ EOF=30°$时,$t$的值为
.

2. 12 7.5 或 37.5 提示:因为$∠AOC=24°$,所以$∠BOC=180°-∠AOC=156°$. 因为 $OE$ 平分$∠BOC$,所以$∠COE=\dfrac{1}{2}∠BOC=\dfrac{1}{2}×156°=78°$. 因为$∠COD=90°$,所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-78°=12°$. 当 $0＜ t ≤ 22.5$ 时,此时 $∠AOC=4t°$, 则$∠BOC=180°-4t°$, 因为 $OE$ 平分 $∠BOC$, 所以$∠COE=\dfrac{1}{2}∠BOC=\dfrac{1}{2}(180-4t)°=(90-2t)°$, 因为$OF$ 平分 $∠COD$, $∠COD = 90°$, 所以 $∠FOC=\dfrac{1}{2}∠COD=45°$, 则 $∠EOF=∠COE-∠FOC=(90-2t-45)°=(45-2t)°$, 因为 $∠EOF=30°$, 所以 $45-2t=30$, 解得 $t=7.5$; 当 $22.5＜ t ＜45$ 时, 此时 $∠AOC=4t°$,则 $∠BOC=180°-4t°$, 因为 $OE$ 平分 $∠BOC$, 所以$∠COE=\dfrac{1}{2}∠BOC=\dfrac{1}{2}(180-4t)°=(90-2t)°$, 因为$OF$ 平分 $∠COD$, $∠COD = 90°$, 所以 $∠FOC=\dfrac{1}{2}∠COD=45°$, 则 $∠EOF=∠FOC-∠COE=[45-(90-2t)]°=(2t-45)°$, 因为 $∠EOF=30°$, 所以 $2t-45=30$, 解得 $t=37.5$. 综上,$t$ 的值为 7.5 或 37.5.

【分析】
第一空的解题思路：首先AB是直线，因此∠AOB为180°的平角，已知∠AOC=24°，先通过邻补角关系算出∠BOC的度数；再利用OE是∠BOC的角平分线，得到∠COE为∠BOC的一半；结合∠COD是90°的直角，用∠COD减去∠COE即可得到∠DOE的度数。
第二空的动态问题思路：OC每秒顺时针旋转4°，t秒后∠AOC=4t°，先表示出∠BOC的度数，结合角平分线性质分别写出∠COE和∠COF的表达式；由于旋转过程中OE和OF的相对位置会发生变化，因此分两种情况讨论：第一种是∠COE大于∠COF，此时∠EOF=∠COE-∠COF；第二种是∠COF大于∠COE，此时∠EOF=∠COF-∠COE，分别代入∠EOF=30°列方程，结合t的取值范围验证解的合理性即可。
【解析】
1. 计算∠DOE的度数：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
已知∠AOC=24°，则∠BOC=180°-∠AOC=180°-24°=156°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}×156°=78°$，
又
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠DOE=∠COD - ∠COE=90°-78°=12°。
2. 计算t的值：
由旋转规则可知，t秒后∠AOC=4t°，则∠BOC=180°-4t°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}(180°-4t°)=(90-2t)°$，
∵ OF平分∠COD，∠COD=90°，
∴ ∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°。
分两种情况讨论：
① 当0＜t≤22.5时，∠COE≥45°，此时∠EOF=∠COE - ∠COF，
代入∠EOF=30°得：$90-2t - 45=30$，
解得t=7.5，符合取值范围；
② 当22.5＜t＜45时，∠COE＜45°，此时∠EOF=∠COF - ∠COE，
代入∠EOF=30°得：$45-(90-2t)=30$，
解得t=37.5，符合取值范围。
综上，t的值为7.5或37.5。
【答案】
12；7.5或37.5
【知识点】
平角性质，角平分线定义，动态角分类讨论
【点评】
本题前半部分是基础的角度和差计算，难度较低，后半部分结合旋转考察动态角度的计算，需要根据两条角平分线的相对位置分情况求解，很多同学容易遗漏第二种情况导致丢分，解题时要注意结合角度范围分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5

3.【概念理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何化为分数形式呢? 请看以下示例：$0.\dot{3}$是可以化成分数的，方法如下：令$a=0.\dot{3}$，则$10a=3.\dot{3}=3+0.\dot{3}=3+a$，即$9a=3$，解得$a=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$，所以$0.\dot{3}$可以化成分数$\dfrac{1}{3}$。
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(以下计算结果均用最简分数表示)
(1) 用分数表示：$0.\dot{7}=$；
$0.\dot{5}\dot{1}=$。
【灵活应用】
(2) 两个正整数相除，结果发现余数是14，商的整数部分是$m$，小数部分是循环小数$0.\dot{6}\dot{3}$，请用含有$m$的代数式表示被除数。
【实践探索】
(3) 星辰号飞船在启动时需要指挥长输入一个六位数密码，打开飞船日志记载才发现：为了保密，这个六位数密码是这样设置的：
①先计算$0.\dot{3}3\dot{0} × 0.1\dot{1}\dot{2}$的分数值，分母记为$a$，分子记为$b$；
②把$10a+b$作为密码的前三位数，把$10a-b$作为密码的后三位数。
求这个六位数密码。

3. (1) $\dfrac{7}{9}$ $\dfrac{17}{33}$ 提示:设 $x=0.\dot{7}$,则 $10x=7.\dot{7}=7+0.\dot{7}$,$10x=7+x$,解得 $x=\dfrac{7}{9}$; 设 $x=0.\dot{5}\dot{1}=0.515\ 151···$①,则 $100x=51.\ 515\ 1···$②,②$-$①,得$99x=51$,解得 $x=\dfrac{17}{33}.$
(2) 解:小数部分 $0.\dot{6}\dot{3}=\dfrac{63}{99}=\dfrac{7}{11}$,设被除数为 $N$,除数为 $d$,则 $N=md+14$,且$\dfrac{14}{d}=\dfrac{7}{11}$,解得 $d=22$,代入,得 $N=22m+14.$
(3) 解: $0.\dot{3}3\dot{0}=\dfrac{330}{999}=\dfrac{110}{333}$, $0.1\dot{1}\dot{2}=\dfrac{112-1}{990}=\dfrac{111}{990}=\dfrac{37}{330}$,$\dfrac{110}{333}×\dfrac{37}{330}=\dfrac{1}{27}$,故 $a=27$,$b=1$,所以 $10a+b=271$,$10a-b=269$,故密码为 271269.

【分析】
这是一道材料迁移类探究题，解题思路可以分层推进：
1. 第(1)问直接模仿题干给出的化循环小数为分数的示例方法：纯循环小数的循环节有n位，就将原数乘10ⁿ，再和原数做差消去循环部分，构造一元一次方程求解，约分后就能得到对应最简分数。
2. 第(2)问先把循环形式的小数部分化成分数，再结合除法的核心关系“余数÷除数=商的小数部分”，先求出除数，再代入“被除数=商×除数+余数”的公式，就能得到用m表示的被除数。
3. 第(3)问先分别处理两个循环小数（三位纯循环、混循环），将它们都化为最简分数后相乘，得到的最简分数的分母是a、分子是b，最后按要求拼接前三位和后三位，就能得到六位数密码。
【解析】
(1) ①设$x=0.\dot{7}$，两边同乘10得$10x=7.\dot{7}$，而$7.\dot{7}=7+0.\dot{7}=7+x$，因此$10x=7+x$，移项得$9x=7$，解得$x=\frac{7}{9}$，即$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$。
②设$x=0.\dot{5}\dot{1}=0.515151···$，两边同乘100得$100x=51.515151···$，两式相减得$99x=51$，解得$x=\frac{51}{99}=\frac{17}{33}$，即$0.\dot{5}\dot{1}=\frac{17}{33}$。
(2) 先将小数部分$0.\dot{6}\dot{3}$化成分数：设$x=0.\dot{6}\dot{3}$，$100x=63.\dot{6}\dot{3}$，得$99x=63$，化简得$x=\frac{63}{99}=\frac{7}{11}$。
设被除数为$N$，除数为$d$，根据除法关系可得：$N = m· d +14$，且商的小数部分等于余数除以除数，即$\frac{14}{d}=\frac{7}{11}$，解得$d=22$。
将$d=22$代入$N$的表达式，得$N=22m+14$。
(3) 分别将两个循环小数化成分数：
设$x=0.\dot{3}3\dot{0}$，$1000x=330.\dot{3}3\dot{0}$，得$999x=330$，化简得$x=\frac{330}{999}=\frac{110}{333}$。
设$y=0.1\dot{1}\dot{2}$，$10y=1.\dot{1}\dot{2}$，$1000y=112.\dot{1}\dot{2}$，两式相减得$990y=111$，化简得$y=\frac{111}{990}=\frac{37}{330}$。
两数相乘：$\frac{110}{333} × \frac{37}{330} = \frac{1}{27}$，因此最简分数的分母$a=27$，分子$b=1$。
计算前三位：$10a+b=10×27+1=271$，后三位：$10a-b=10×27-1=269$，拼接得到六位数密码为271269。
【答案】
(1) $\dfrac{7}{9}$；$\dfrac{17}{33}$ (2) $22m+14$ (3) 271269
【知识点】
无限循环小数化分数；除法各部分关系；有理数乘法运算
【点评】
本题属于梯度设置合理的材料探究题，从基础方法模仿到实际应用再到综合运算，重点考察学生对给定规则的迁移运用能力，解题时要注意区分纯循环、混循环小数化分数时的移位位数，避免约分错误。
【难度系数】
0.4