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1[2025黑龙江哈尔滨期中,中]如图,取两根木条a,b,将它们钉在一起,转动木条b,当∠1增大2°时,下列说法正确的是 (
A.∠2增大2°
B.∠3减小2°
C.∠4减小2°
D.∠4减小1°
C
)A.∠2增大2°
B.∠3减小2°
C.∠4减小2°
D.∠4减小1°
答案
1.C 【解析】因为∠1与∠3是对顶角,所以∠1=∠3,所以当∠1增大2°时,∠3增大2°.因为∠1与∠2是邻补角,∠1与∠4是邻补角,所以∠1+∠2=180°,∠1+∠4=180°,所以当∠1增大2°时,∠2减小2°,∠4减小2°.故选C.
2[2026江苏南京期末,中]如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∠BOE=36°,有下列结论:①∠AOC=72°;②∠EOF=90°;③∠AOD=2∠COF;④∠AOD=3∠BOE,其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.D 【解析】因为OE平分∠BOD,∠BOE=36°,所以∠DOE=∠BOE=36°,所以∠DOB=2∠BOE=∠AOC=36°×2=72°,故①正确.因为∠AOC=72°,所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-72°=108°.因为OF平分∠BOC,所以∠BOF=∠COF=108°÷2=54°,所以∠EOF=∠BOE+∠BOF=36°+54°=90°,故②正确.因为∠AOD=∠BOC,∠BOF=∠COF,所以∠AOD=2∠COF,故③正确.因为∠AOD=∠BOC=108°,∠BOE=36°,所以∠AOD=3∠BOE,故④正确.综上所述,正确的有4个.故选D.
3[中]如图是一把剪刀的示意图,手柄∠AOB=15°,要想使刀口的角度∠COD达到40°,那么手柄∠AOB应增加的度数是
25
°。答案
3.25 【解析】由于∠COD=∠AOB=40°,所以手柄∠AOB应增加的度数是40°-15°=25°,故答案为25.
4[中]两条直线相交所成的四个角中,有两个角分别是$2β-10°$和$110°-β$,则$β=$
40°或80°
.答案
4.40°或80° 【解析】两条直线相交所成的四个角中,对顶角相等,邻角互补,根据题意可得2β-10°=110°-β或2β-10°+110°-β=180°,解得β=40°或β=80°,故答案为40°或80°.
5[2025江苏无锡调研,中]如图,直线AB,CD交于点O,OE,OF分别在∠BOC,∠AOD内部,且OD平分∠BOF.
(1)∠AOC的对顶角是
(2)若∠BOF=40°,∠COE=100°,则∠BOE的度数为
(3)若OB平分∠EOF,∠AOC:∠AOF=1:3,求∠COE的度数;
(4)若∠AOE=∠EOF,∠BOE=60°,判断OB是否平分∠EOF,并说明理由.
(1)∠AOC的对顶角是
∠BOD
;(2)若∠BOF=40°,∠COE=100°,则∠BOE的度数为
60°
;(3)若OB平分∠EOF,∠AOC:∠AOF=1:3,求∠COE的度数;
(4)若∠AOE=∠EOF,∠BOE=60°,判断OB是否平分∠EOF,并说明理由.
答案
5.【解】(1)根据题意,∠AOC的对顶角是∠BOD.故答案为∠BOD.
(2)因为OD平分∠BOF,所以∠BOD=1/2∠BOF=20°,所以∠BOE=180°-∠BOD-∠COE=180°-20°-100°=60°.故答案为60°.
(3)因为∠AOC与∠BOD为对顶角,所以∠AOC=∠BOD,所以∠BOD:∠AOF=∠AOC:∠AOF=1:3,即∠AOF=3∠BOD.
因为OD平分∠BOF,所以∠DOF=∠BOD,所以∠AOF+∠DOF+∠BOD=3∠BOD+∠BOD+∠BOD=180°,所以∠BOD=36°,所以∠AOC=∠BOD=36°,∠BOF=2∠BOD=72°.又因为OB平分∠EOF,所以∠BOE=∠BOF=72°,所以∠COE=180°-∠AOC-∠BOE=180°-36°-72°=72°.
(4)OB平分∠EOF.理由如下:因为∠BOE=60°,所以∠AOE=120°.
因为∠AOE=∠EOF,所以∠EOF=120°,
所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=120°-60°=60°,所以∠BOE=∠BOF,
所以OB平分∠EOF.
(2)因为OD平分∠BOF,所以∠BOD=1/2∠BOF=20°,所以∠BOE=180°-∠BOD-∠COE=180°-20°-100°=60°.故答案为60°.
(3)因为∠AOC与∠BOD为对顶角,所以∠AOC=∠BOD,所以∠BOD:∠AOF=∠AOC:∠AOF=1:3,即∠AOF=3∠BOD.
因为OD平分∠BOF,所以∠DOF=∠BOD,所以∠AOF+∠DOF+∠BOD=3∠BOD+∠BOD+∠BOD=180°,所以∠BOD=36°,所以∠AOC=∠BOD=36°,∠BOF=2∠BOD=72°.又因为OB平分∠EOF,所以∠BOE=∠BOF=72°,所以∠COE=180°-∠AOC-∠BOE=180°-36°-72°=72°.
(4)OB平分∠EOF.理由如下:因为∠BOE=60°,所以∠AOE=120°.
因为∠AOE=∠EOF,所以∠EOF=120°,
所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=120°-60°=60°,所以∠BOE=∠BOF,
所以OB平分∠EOF.
6 核心素养 推理能力 [2026 江苏宿迁调研,较难]
(1)观察图中的各个角,寻找对顶角(不含平角):
①图(1)中共有
②图(2)中共有
③图(3)中共有
④若有n条直线相交于一点,则可形成
(2)n条直线两两相交于不同的点时,可形成
(3)请你将上述两种情形归纳一下.
(1)观察图中的各个角,寻找对顶角(不含平角):
①图(1)中共有
2
对对顶角；②图(2)中共有
6
对对顶角；③图(3)中共有
12
对对顶角；④若有n条直线相交于一点,则可形成
n(n-1)
对对顶角.(2)n条直线两两相交于不同的点时,可形成
n(n-1)
对对顶角.(3)请你将上述两种情形归纳一下.
答案
6.【解】(1)①题图(1)中对顶角有∠AOC与∠BOD,∠AOD与∠BOC,共有2对对顶角.
②题图(2)中对顶角有∠AOC与∠DOB,∠COF与∠DOE,∠BOF与∠AOE,∠AOF与∠BOE,∠BOC与∠AOD,∠DOF与∠COE,共有6对对顶角.
③题图(3)中有4条直线相交于O点,共有12对对顶角.
④根据以上总结:2条直线相交于一点,对顶角有2×(2-1)=2(对);
3条直线相交于一点,对顶角有3×(3-1)=6(对);
4条直线相交于一点,对顶角有4×(4-1)=12(对);…,
以此类推,n条直线相交于一点,可形成的对顶角对数为n(n-1).
故答案为①2,②6,③12,④n(n-1).
(2)3条直线两两相交于不同的点时,有1+2=3(个)交点,有6对对顶角;
4条直线两两相交于不同的点时,有1+2+3=6(个)交点,有12对对顶角;…,以此类推,
n条直线两两相交于不同的点时,有1+2+3+…+n-1 = n(n-1)/2 个交点,共有n(n-1)对对顶角.故答案为n(n-1).
(3)归纳结论:n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时,共形成n(n-1)对对顶角.
②题图(2)中对顶角有∠AOC与∠DOB,∠COF与∠DOE,∠BOF与∠AOE,∠AOF与∠BOE,∠BOC与∠AOD,∠DOF与∠COE,共有6对对顶角.
③题图(3)中有4条直线相交于O点,共有12对对顶角.
④根据以上总结:2条直线相交于一点,对顶角有2×(2-1)=2(对);
3条直线相交于一点,对顶角有3×(3-1)=6(对);
4条直线相交于一点,对顶角有4×(4-1)=12(对);…,
以此类推,n条直线相交于一点,可形成的对顶角对数为n(n-1).
故答案为①2,②6,③12,④n(n-1).
(2)3条直线两两相交于不同的点时,有1+2=3(个)交点,有6对对顶角;
4条直线两两相交于不同的点时,有1+2+3=6(个)交点,有12对对顶角;…,以此类推,
n条直线两两相交于不同的点时,有1+2+3+…+n-1 = n(n-1)/2 个交点,共有n(n-1)对对顶角.故答案为n(n-1).
(3)归纳结论:n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时,共形成n(n-1)对对顶角.
