1 [2024 江苏宿迁调研，中] 如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个人球孔，若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹)，则该球最后落入的球袋是()


A.1 号袋
B.2 号袋
C.3 号袋
D.4 号袋

1. D 【解析】如图所示，该球最后落入的球袋是4号袋.故选D.

2 [2025 江苏南京期末，较难] 如图，直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，AB = 5，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 边上的动点，则 DE + EF + FD 的最小值是()

A.2.5
B.3.5
C.4.8
D.6

2. C 【解析】如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，所以∠MCA=∠DCA，∠BCD=∠BCN.因为∠BCD + ∠ACD = 90°，所以∠DCN + ∠DCM = 180°，所以点M，C，N共线.根据对称的性质可知DE=EN，DF=MF，所以DF+DE+EF=FM+EF+EN.因为FM+EF+EN≥MN，所以当点F，E，M，N共线时，FM+EF+EN的值最小，即此时DF+DE+EF的值最小.由对称的性质可知CD=CN=CM，所以CM+CN=2CD.根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的值最小，所以当CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为2CD，此时$\frac{1}{2}$AB·CD=$\frac{1}{2}$BC·AC，所以CD=$\frac{3×4}{5}$=2.4，所以DE+EF+FD的最小值为4.8.故选C.

3 [中] 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 6，AC = 8，AB = 10，动点 P 在边 AB 上运动(不与端点重合)，点 P 关于直线 AC，BC 对称的点分别为 P₁，P₂，则在点 P 运动的过程中，线段 P₁P₂ 的长的最小值是。

3. 9.6
思路分析|利用轴对称的性质解决最值问题
连接CP，点P关于直线AC，BC对称的点分别为P₁，P₂
↓
CP₁=CP=CP₂；P₁，C，P₂三点共线
↓
P₁P₂=2CP，求CP的最小值
↓
由垂线段最短，转化为求AB边上的高
↓
S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AB·CP=$\frac{1}{2}$AC·BC，且AB=10，AC=8，BC=6
【解】连接CP.
因为点P关于直线AC，BC对称的点分别为P₁，P₂，所以P₁C=PC=P₂C，∠P₁CA=∠PCA，∠P₂CB=∠PCB，所以∠P₁CP₂=2∠ACB=180°，所以P₁，C，P₂三点共线，所以P₁P₂=2CP.如图所示，当CP⊥AB时，CP的长最小，此时线段P₁P₂的长最小.因为∠ACB=90°，BC=6，AC=8，AB=10，所以易得CP=$\frac{AC×BC}{AB}$=4.8，所以线段P₁P₂的长的最小值是9.6.

4 [2025 河北张家口期末，中] 如图，方格图中每个小正方形的边长为 1，点 A，B，C，M，N 都在格点上。
（1）画出△ABC 关于直线 MN 对称的△A₁B₁C₁；
（2）在直线 MN 上找一点 P，使 PB + PC 最小，在图形上画出点 P 的位置；
（3）在直线 MN 上找一点 Q，使 |QB - QA| 最大，直接写出这个最大值。

4. 【解】(1)如图(1)，△A₁B₁C₁即为所求作.

(2)如图(2)，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P.

(3)|QB - QA|的最大值为3.如图(3)，作点A关于直线MN的对称点A'，连接BA'并延长交MN于一点，该点即为所求作的点Q.

因为QA=QA'，所以|QB - QA|=|QB - QA'|.根据三角形的三边关系可得|QB - QA'|≤A'B = 3，当Q，A'，B三点共线时取等号，所以|QB - QA|的最大值为3.

5 核心素养 几何直观 [2024 浙江绍兴嵊州期末，较难] 如果两角之差的绝对值等于 60°，则称这两个角互为“等差角”，即若 |∠α - ∠β| = 60°，则称∠α 和∠β 互为“等差角”。(本题中所有角都是指大于 0°，且小于 180°的角)
(1)已知∠1 和∠2 互为“等差角”，若∠1 = 40°，则∠2 = ；若∠1 = 90°，则∠2 = 。
(2)如图(1)，将一长方形纸片沿着 EP 翻折(点 P 在线段 BC 上，点 E 在线段 AB 上)，点 B 落在点 B' 处。若∠EPB' 与∠B'PC 互为“等差角”，求∠BPE 的度数。
(3)再将纸片沿着 FP 翻折(点 F 在线段 CD 或 AD 上)，点 C 落在点 C' 处。如图(2)，若点 E，C'，P 在同一直线上，且∠B'PC' 与∠EPF 互为“等差角”，求∠EPF 的度数(翻折后，线段 PB' 在∠EPF 内部)。

]

5. 【解】(1)因为∠1和∠2互为“等差角”，∠1=40°，所以|40° - ∠2|=60°，所以40° - ∠2=60°或40° - ∠2=-60°，解得∠2=-20°(舍去)或100°.
因为∠1和∠2互为“等差角”，∠1=90°，所以|90° - ∠2|=60°，所以90° - ∠2=60°或90° - ∠2=-60°，解得∠2=30°或150°.故答案为100°，30°或150°.
(2)因为∠EPB'与∠B'PC互为“等差角”，所以当∠EPB'＜∠B'PC时，∠B'PC - ∠EPB'=60°，所以∠B'PC=∠EPB'+60°.
因为△BEP翻折得△B'EP，所以∠EPB=∠EPB'.因为∠EPB+∠EPB'+∠B'PC=180°，所以∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180°，解得∠EPB'=40°，所以∠EPB=40°.当∠EPB'＞∠B'PC时，∠EPB' - ∠B'PC=60°，同理可得∠EPB'=80°，所以∠EPB=80°.
综上所述，∠EPB的度数为40°或80°.
(3)因为点E，C'，P在同一直线上，且∠B'PC'与∠EPF互为“等差角”，∠B'PC'＜∠EPF，所以∠EPF - ∠B'PC'=60°，所以∠BPE=∠B'PE=∠EPF - 60°.
因为∠FPC=∠EPF，∠BPE+∠EPF+∠FPC=180°，所以∠EPF - 60°+∠EPF+∠EPF=180°，所以∠EPF=80°.