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22.(本题6分)形如$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a}-\sqrt{b}$($a$,$b$为正有理数)的两个代数式,它们的积不含有根号,我们称这两个代数式互为有理化因式。
例如:因为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=1$,所以$\sqrt{3}+\sqrt{2}$与$\sqrt{3}-\sqrt{2}$互为有理化因式。
(1)判断$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是不是有理化因式,并说明理由;
(2)请直接写出$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式;
(3)请比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小。
例如:因为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=1$,所以$\sqrt{3}+\sqrt{2}$与$\sqrt{3}-\sqrt{2}$互为有理化因式。
(1)判断$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是不是有理化因式,并说明理由;
(2)请直接写出$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式;
(3)请比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小。
答案
22.解:(1)是;因为$(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2=-2$,所以$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是有理化因式；
(2)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$(只写一个不扣分)；
(3)因为$(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})=1$,$(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})=1$,而$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$,所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
(2)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$(只写一个不扣分)；
(3)因为$(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})=1$,$(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})=1$,而$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$,所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
解析
【分析】
首先明确有理化因式的定义：两个代数式相乘后积不含根号，则互为有理化因式。第(1)问需利用平方差公式计算两个代数式的乘积，判断是否不含根号；第(2)问根据平方差公式的结构，构造出乘积为有理数的代数式作为有理化因式；第(3)问比较两个正数的大小，采用倒数法：先求两个数的倒数，利用平方差公式化简倒数，再比较倒数大小，根据“正数的倒数越大，原数越小”得出结论。
【解析】
22. 解：
(1) $\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是有理化因式，理由如下：
根据平方差公式计算乘积：
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = 5 - 7 = -2$，
乘积为有理数，不含根号，因此它们互为有理化因式。
(2) 根据平方差公式，$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$）。
(3) 比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小：
因为两个数均为正数，先求它们的倒数：
$\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}} = \frac{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}{(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})} = \sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，
$\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}} = \frac{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}{(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})} = \sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
显然$\sqrt{2025}+\sqrt{2024} ＞ \sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
根据“正数的倒数越大，原数越小”，可得$\sqrt{2025}-\sqrt{2024} ＜ \sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$）；
(3) $\sqrt{2025}-\sqrt{2024} ＜ \sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
【知识点】
二次根式的有理化因式、平方差公式、实数大小比较
【点评】
本题围绕有理化因式的定义展开，考查平方差公式的应用及实数大小比较的倒数法，难度适中，需熟练掌握二次根式运算规则和比较大小的技巧。
【难度系数】
0.6
首先明确有理化因式的定义：两个代数式相乘后积不含根号，则互为有理化因式。第(1)问需利用平方差公式计算两个代数式的乘积，判断是否不含根号；第(2)问根据平方差公式的结构，构造出乘积为有理数的代数式作为有理化因式；第(3)问比较两个正数的大小，采用倒数法：先求两个数的倒数，利用平方差公式化简倒数，再比较倒数大小，根据“正数的倒数越大，原数越小”得出结论。
【解析】
22. 解：
(1) $\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是有理化因式，理由如下：
根据平方差公式计算乘积：
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = 5 - 7 = -2$，
乘积为有理数，不含根号，因此它们互为有理化因式。
(2) 根据平方差公式，$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$）。
(3) 比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小：
因为两个数均为正数，先求它们的倒数：
$\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}} = \frac{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}{(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})} = \sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，
$\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}} = \frac{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}{(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})} = \sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
显然$\sqrt{2025}+\sqrt{2024} ＞ \sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
根据“正数的倒数越大，原数越小”，可得$\sqrt{2025}-\sqrt{2024} ＜ \sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$）；
(3) $\sqrt{2025}-\sqrt{2024} ＜ \sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
【知识点】
二次根式的有理化因式、平方差公式、实数大小比较
【点评】
本题围绕有理化因式的定义展开，考查平方差公式的应用及实数大小比较的倒数法，难度适中，需熟练掌握二次根式运算规则和比较大小的技巧。
【难度系数】
0.6
23.(本题8分)某校在一次数学活动中,组织学生设计矩形花圃。花圃的一边可利用长为8米的围墙,另三边用篱笆围成,已知篱笆长20米。下面是小高和小周两位同学设计的方案(篱笆全部用完,篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计):
(1)如图1是小高同学设计的方案,花圃ABCD的一边AD靠墙(AD≤8米),另三边用篱笆围成。设AB的长为x米,
①求BC的长(用含x的代数式表示);
②当花圃ABCD面积为42平方米时,求x的值;
(2)如图2是小周同学设计的方案,花圃EFGH的一边EH由围墙(EM)和部分篱笆(MH)组成,另三边由剩余的篱笆围成。问花圃EFGH面积能达到50平方米吗?请通过计算说明。
(1)如图1是小高同学设计的方案,花圃ABCD的一边AD靠墙(AD≤8米),另三边用篱笆围成。设AB的长为x米,
①求BC的长(用含x的代数式表示);
②当花圃ABCD面积为42平方米时,求x的值;
(2)如图2是小周同学设计的方案,花圃EFGH的一边EH由围墙(EM)和部分篱笆(MH)组成,另三边由剩余的篱笆围成。问花圃EFGH面积能达到50平方米吗?请通过计算说明。
答案
23.解:(1)①$BC=(20-2x)$米；
②根据题意,得$x(20-2x)=42$,解得$x_1=3$,$x_2=7$。因为$20-2x≤8$,所以$x≥6$,所以$x=7$,所以x的值为7；
(2)设$EF=y$米,则$FG=(14-y)$米,根据题意,得$y(14-y)=50$,$y^2-14y+50=0$,因为$b^2-4ac=(-14)^2-4×1×50=-4＜0$,所以此方程无实数解,所以矩形花圃EFGH面积不能达到50平方米。
②根据题意,得$x(20-2x)=42$,解得$x_1=3$,$x_2=7$。因为$20-2x≤8$,所以$x≥6$,所以$x=7$,所以x的值为7；
(2)设$EF=y$米,则$FG=(14-y)$米,根据题意,得$y(14-y)=50$,$y^2-14y+50=0$,因为$b^2-4ac=(-14)^2-4×1×50=-4＜0$,所以此方程无实数解,所以矩形花圃EFGH面积不能达到50平方米。
解析
【分析】
本题围绕矩形花圃的篱笆长度与面积问题展开，需结合矩形周长、面积公式及实际约束条件求解。(1) 图1中AD靠墙，篱笆围三边，先通过总篱笆长表示BC，再结合面积公式列方程，同时注意AD的长度限制对解取舍；(2) 图2中EH由围墙和篱笆组成，需先推导FG的表达式，再通过一元二次方程根的判别式判断面积能否达到目标值。
【解析】
(1) ① 因为AB=CD=x米，总篱笆长20米，且AB+BC+CD=20，所以BC=20 - AB - CD=20 - 2x（米）。
② 根据矩形面积公式，花圃ABCD的面积为AB·BC，结合题意得：
$x(20 - 2x)=42$
整理为一元二次方程：$x^2 -10x +21=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=7$
又因为AD=BC≤8米，即$20 -2x ≤8$，解得$x≥6$，所以$x=3$不符合要求，舍去，故x的值为7。
(2) 设EF=y米，矩形EFGH中EF=GH=y，FG=EH。总篱笆长度为EF+FG+GH+MH=20，其中EH=EM+MH（EM为围墙长8米），即MH=FG -8，代入得：
$y + FG + y + (FG -8)=20$
化简得：$2(y + FG)=28$，即$FG=14 - y$
花圃EFGH的面积为EF·FG，结合题意得：
$y(14 - y)=50$
整理为：$y^2 -14y +50=0$
计算判别式：$\Delta=(-14)^2 -4×1×50=196 -200=-4＜0$，该方程无实数解，因此花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
【答案】
(1) ① $BC=(20-2x)$米；② $x=7$；(2) 花圃EFGH面积不能达到50平方米。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，需注意实际问题中的约束条件（如围墙长度限制），以及利用判别式判断方程解的合理性，体现数学与实际问题的结合，解题时需理清各边的篱笆使用关系，避免出错。
【难度系数】
0.5
本题围绕矩形花圃的篱笆长度与面积问题展开，需结合矩形周长、面积公式及实际约束条件求解。(1) 图1中AD靠墙，篱笆围三边，先通过总篱笆长表示BC，再结合面积公式列方程，同时注意AD的长度限制对解取舍；(2) 图2中EH由围墙和篱笆组成，需先推导FG的表达式，再通过一元二次方程根的判别式判断面积能否达到目标值。
【解析】
(1) ① 因为AB=CD=x米，总篱笆长20米，且AB+BC+CD=20，所以BC=20 - AB - CD=20 - 2x（米）。
② 根据矩形面积公式，花圃ABCD的面积为AB·BC，结合题意得：
$x(20 - 2x)=42$
整理为一元二次方程：$x^2 -10x +21=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=7$
又因为AD=BC≤8米，即$20 -2x ≤8$，解得$x≥6$，所以$x=3$不符合要求，舍去，故x的值为7。
(2) 设EF=y米，矩形EFGH中EF=GH=y，FG=EH。总篱笆长度为EF+FG+GH+MH=20，其中EH=EM+MH（EM为围墙长8米），即MH=FG -8，代入得：
$y + FG + y + (FG -8)=20$
化简得：$2(y + FG)=28$，即$FG=14 - y$
花圃EFGH的面积为EF·FG，结合题意得：
$y(14 - y)=50$
整理为：$y^2 -14y +50=0$
计算判别式：$\Delta=(-14)^2 -4×1×50=196 -200=-4＜0$，该方程无实数解，因此花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
【答案】
(1) ① $BC=(20-2x)$米；② $x=7$；(2) 花圃EFGH面积不能达到50平方米。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，需注意实际问题中的约束条件（如围墙长度限制），以及利用判别式判断方程解的合理性，体现数学与实际问题的结合，解题时需理清各边的篱笆使用关系，避免出错。
【难度系数】
0.5
