24. (12 分)如图1,矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为(6,8),D 是 AB 边上一点(不与点 A,B 重合),将△BCD 沿直线 CD 翻折,使点 B 落在点 E 处.
(1)求直线 AC 的表达式;
(2)如图2,当点 E 恰好落在矩形的对角线 AC 上时,求点 D 的坐标;
(3)如图3,当以 O,E,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出△OEA 的面积.

24. 【点拨】本题考查矩形的性质与判定,勾股定理及一次函数.
【解析】(1)$\because$ 点 $B$ 的坐标为 $(6,8)$ 且四边形 $OABC$ 是矩形,
$\therefore$ 点 $A,C$ 的坐标分别为 $(6,0)$,$(0,8)$.
设直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = kx + b$.
把 $A,C$ 两点的坐标分别代入上式得 $\begin{cases}6k + b = 0,\\b = 8,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k = -\frac{4}{3},\\b = 8,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AC$ 的表达式为 $y = -\frac{4}{3}x + 8$.
(2)$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(6,0)$,点 $C$ 的坐标为 $(0,8)$,
$\therefore OA = 6$,$OC = 8$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOC$ 中,$AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
$\because$ 四边形 $OABC$ 是矩形,$\therefore ∠ B = 90°$,$BC = 6$,$AB = 8$.
由折叠的性质得,$∠ CED = 90°$,$BD = DE$,$CE = 6$,
$\therefore ∠ AED = 90°$,$AE = 4$.
设 $BD = DE = a$,则 $AD = 8 - a$.
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中,由勾股定理得 $AE^2 + DE^2 = AD^2$,
$\therefore 4^2 + a^2 = (8 - a)^2$,解得 $a = 3$,$\therefore AD = 5$,
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(6,5)$.
(3)如图,过点 $E$ 分别作 $x$ 轴,$y$ 轴的垂线,垂足分别为 $M,N$.
$\because EN ⊥ OC$,$EM ⊥ OA$,$OC ⊥ OA$,
$\therefore ∠ ENO = ∠ NOM = ∠ OME = 90°$,
$\therefore$ 四边形 $OMEN$ 是矩形,$\therefore EM = ON$.
①当 $EC = EO$ 时,
$\because EC = EO$,$NE ⊥ OC$,$\therefore ON = \frac{1}{2}OC = 4 = EM$,
$\therefore △ OEA$ 的面积 $= \frac{1}{2} × OA × EM = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$;
②当 $OE = OC$ 时,
$\because EN ⊥ OC$,$\therefore ∠ ENC = ∠ ENO = 90°$.
设 $ON = b$,则 $CN = 8 - b$.
在 $\mathrm{Rt}△ NEC$ 中,$NE^2 = EC^2 - CN^2$.
在 $\mathrm{Rt}△ ENO$ 中,$NE^2 = EO^2 - ON^2$,
即 $6^2 - (8 - b)^2 = 8^2 - b^2$,解得 $b = \frac{23}{4}$,则 $EM = ON = \frac{23}{4}$,
$\therefore △ OEA$ 的面积 $= \frac{1}{2} × OA × EM = \frac{1}{2} × 6 × \frac{23}{4} = \frac{69}{4}$.
故 $△ OEA$ 的面积为 $12$ 或 $\frac{69}{4}$.

【分析】
本题是矩形折叠的综合题，分三小问逐步突破：
1. 求直线AC表达式：利用矩形性质确定A、C坐标，用待定系数法设直线表达式，代入两点坐标求解系数即可。
2. 求点D坐标：借助折叠性质得对应边相等，结合矩形边长算出AC长度，进而得AE长度，设未知线段，在直角三角形中用勾股定理列方程求解，确定D点坐标。
3. 求△OEA面积：以O、E、C为顶点的等腰三角形需分情况讨论，过E作坐标轴垂线构造矩形，利用等腰三角形性质和勾股定理求E到OA的距离，再用三角形面积公式计算结果。
【解析】
(1)
∵ 四边形OABC是矩形，点B坐标为(6,8)，
∴ 点A坐标为(6,0)，点C坐标为(0,8)。
设直线AC的表达式为$y = kx + b$，将A(6,0)、C(0,8)代入得：
$\begin{cases}6k + b = 0 \\ b = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3} \\ b = 8\end{cases}$，
∴ 直线AC的表达式为$y = -\frac{4}{3}x + 8$。
(2) 在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，由勾股定理得$AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
由折叠性质知：$CE = BC = 6$，$∠ CED = 90°$，$BD = DE$，
∴ $AE = AC - CE = 10 - 6 = 4$，$∠ AED = 90°$。
设$BD = DE = a$，则$AD = AB - BD = 8 - a$，
在Rt△AED中，由勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
即$4^2 + a^2 = (8 - a)^2$，解得$a = 3$，
∴ $AD = 8 - 3 = 5$，即点D的坐标为$(6,5)$。
(3) 过点E分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，
∵ $EN ⊥ OC$，$EM ⊥ OA$，$OC ⊥ OA$，
∴ 四边形OMEN是矩形，故$EM = ON$。
分两种情况讨论：
① 当$EC = EO$时，
∵ $EN ⊥ OC$，
∴ $ON = \frac{1}{2}OC = 4$，即$EM = 4$，
∴ $△ OEA$的面积$= \frac{1}{2} × OA × EM = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$；
② 当$OE = OC$时，设$ON = b$，则$CN = 8 - b$，
在Rt△NEC中，$NE^2 = EC^2 - CN^2 = 6^2 - (8 - b)^2$，
在Rt△ENO中，$NE^2 = EO^2 - ON^2 = 8^2 - b^2$，
∴ $6^2 - (8 - b)^2 = 8^2 - b^2$，解得$b = \frac{23}{4}$，即$EM = \frac{23}{4}$，
∴ $△ OEA$的面积$= \frac{1}{2} × 6 × \frac{23}{4} = \frac{69}{4}$。
综上，$△ OEA$的面积为12或$\frac{69}{4}$。
【答案】
12或$\frac{69}{4}$
【知识点】
矩形性质、一次函数表达式、勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的综合题，融合了待定系数法求函数解析式、折叠性质、等腰三角形分类讨论等知识点，需熟练运用矩形和折叠性质，分类讨论要全面，对学生逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5