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例1 抛掷一个正方体骰子.
(1)每一面朝上的可能性相等吗?
(2)出现点数为“1”或“3”的概率分别为多少?
(3)出现点数为奇数的概率为多少?
【思路导析】(1)这里正方体是均匀的,所以各面朝上的机会均等.(2)用概率的计算公式计算.(3)出现奇数有1,3,5三种情况,出现机会均等.
【请你解答】
(1)每一面朝上的可能性相等吗?
(2)出现点数为“1”或“3”的概率分别为多少?
(3)出现点数为奇数的概率为多少?
【思路导析】(1)这里正方体是均匀的,所以各面朝上的机会均等.(2)用概率的计算公式计算.(3)出现奇数有1,3,5三种情况,出现机会均等.
【请你解答】
答案
解：
(1) 由于正方体骰子质地均匀，六个面的大小、形状完全相同，因此每一面朝上的可能性相等。
(2) 抛掷正方体骰子，所有等可能出现的结果共有6种，分别是点数1、2、3、4、5、6。
其中出现点数为“1”的结果只有1种，出现点数为“3”的结果只有1种，
因此$P(\mathrm{出现点数为}1)=\frac{1}{6}$，$P(\mathrm{出现点数为}3)=\frac{1}{6}$。
(3) 出现点数为奇数的结果有1、3、5，共3种，
因此$P(\mathrm{出现点数为奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
(1) 由于正方体骰子质地均匀，六个面的大小、形状完全相同，因此每一面朝上的可能性相等。
(2) 抛掷正方体骰子，所有等可能出现的结果共有6种，分别是点数1、2、3、4、5、6。
其中出现点数为“1”的结果只有1种，出现点数为“3”的结果只有1种，
因此$P(\mathrm{出现点数为}1)=\frac{1}{6}$，$P(\mathrm{出现点数为}3)=\frac{1}{6}$。
(3) 出现点数为奇数的结果有1、3、5，共3种，
因此$P(\mathrm{出现点数为奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解题时可按小问逐一梳理思路：
(1) 判断每一面朝上的可能性是否相等时，结合均匀正方体骰子的属性分析：均匀的正方体骰子六个面的质地、大小、形状完全相同，因此抛掷时各面朝上的机会均等；
(2) 计算简单事件的概率需遵循古典概型的计算逻辑：先确定所有等可能的总结果数，再统计符合要求的结果数，代入公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的总结果数}$计算即可；
(3) 计算点数为奇数的概率时，先罗列出所有点数中的奇数，统计其数量后再代入上述概率公式计算，最终结果需化为最简分数。
【解析】
(1) 由于正方体骰子质地均匀，六个面的大小、形状完全相同，因此每一面朝上的可能性相等。
(2) 抛掷正方体骰子，所有等可能出现的结果共有6种，分别是点数1、2、3、4、5、6。
其中出现点数为“1”的结果只有1种，出现点数为“3”的结果只有1种，
因此$P(\mathrm{出现点数为}1)=\frac{1}{6}$，$P(\mathrm{出现点数为}3)=\frac{1}{6}$。
(3) 出现点数为奇数的结果有1、3、5，共3种，
因此$P(\mathrm{出现点数为奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 每一面朝上的可能性相等；
(2) 出现点数为“1”的概率为$\frac{1}{6}$，出现点数为“3”的概率为$\frac{1}{6}$；
(3) 出现点数为奇数的概率为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
等可能事件判断、古典概型概率计算、事件结果统计
【点评】
本题属于概率基础题型，侧重考查对基础概率计算方法的掌握，熟悉古典概型的计算步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时可按小问逐一梳理思路：
(1) 判断每一面朝上的可能性是否相等时，结合均匀正方体骰子的属性分析：均匀的正方体骰子六个面的质地、大小、形状完全相同，因此抛掷时各面朝上的机会均等；
(2) 计算简单事件的概率需遵循古典概型的计算逻辑：先确定所有等可能的总结果数，再统计符合要求的结果数，代入公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的总结果数}$计算即可；
(3) 计算点数为奇数的概率时，先罗列出所有点数中的奇数，统计其数量后再代入上述概率公式计算，最终结果需化为最简分数。
【解析】
(1) 由于正方体骰子质地均匀，六个面的大小、形状完全相同，因此每一面朝上的可能性相等。
(2) 抛掷正方体骰子，所有等可能出现的结果共有6种，分别是点数1、2、3、4、5、6。
其中出现点数为“1”的结果只有1种，出现点数为“3”的结果只有1种，
因此$P(\mathrm{出现点数为}1)=\frac{1}{6}$，$P(\mathrm{出现点数为}3)=\frac{1}{6}$。
(3) 出现点数为奇数的结果有1、3、5，共3种，
因此$P(\mathrm{出现点数为奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 每一面朝上的可能性相等；
(2) 出现点数为“1”的概率为$\frac{1}{6}$，出现点数为“3”的概率为$\frac{1}{6}$；
(3) 出现点数为奇数的概率为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
等可能事件判断、古典概型概率计算、事件结果统计
【点评】
本题属于概率基础题型，侧重考查对基础概率计算方法的掌握，熟悉古典概型的计算步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.9
例2 袋中装有3个红球和2个绿球，这些球除了颜色之外其余都相同，从袋中随机地摸出一个球，它是红色与绿色的可能性相等吗？两者的概率分别为多少？
【思路导析】两者机会不相等，摸到红球的机会大，绿球的机会小，运用 $ P(A)=\frac{m}{n} $ 分别计算。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 概率定义的应用
【思路导析】两者机会不相等，摸到红球的机会大，绿球的机会小，运用 $ P(A)=\frac{m}{n} $ 分别计算。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 概率定义的应用
答案
解：
袋中共有$3+2=5$个除颜色外其余都相同的球，从袋中随机摸出一个球，共有5种等可能的结果。
其中摸出红球的结果有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{3}{5}$
摸出绿球的结果有2种，同理可得：
$P(\mathrm{摸到绿球})=\frac{2}{5}$
因为$\frac{3}{5}≠\frac{2}{5}$，所以摸出红球与绿球的可能性不相等。
答：从袋中随机摸出一个球，它是红色与绿色的可能性不相等，摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$，摸到绿球的概率为$\frac{2}{5}$。
袋中共有$3+2=5$个除颜色外其余都相同的球，从袋中随机摸出一个球，共有5种等可能的结果。
其中摸出红球的结果有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{3}{5}$
摸出绿球的结果有2种，同理可得：
$P(\mathrm{摸到绿球})=\frac{2}{5}$
因为$\frac{3}{5}≠\frac{2}{5}$，所以摸出红球与绿球的可能性不相等。
答：从袋中随机摸出一个球，它是红色与绿色的可能性不相等，摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$，摸到绿球的概率为$\frac{2}{5}$。
解析
【分析】
要判断摸出红球和绿球的可能性是否相等，需先分别计算两个事件的概率再作比较。解题时首先确定袋中球的总个数，得到所有等可能的结果总数，再分别找出摸出红球、绿球对应的结果数，代入概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是总等可能结果数，$m$是事件$A$包含的结果数）计算两者概率，最后比较概率大小即可判断可能性是否相等。
【解析】
袋中球的总个数为$3+2=5$，所有球除颜色外其余都相同，因此从袋中随机摸出1个球，共有5种等可能的结果。
1. 摸出红球的结果有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{3}{5}$
2. 摸出绿球的结果有2种，同理可得：
$P(\mathrm{摸到绿球})=\frac{2}{5}$
因为$\frac{3}{5} ≠ \frac{2}{5}$，所以摸出红球与绿球的可能性不相等。
【答案】
从袋中随机摸出一个球，它是红色与绿色的可能性不相等，摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$，摸到绿球的概率为$\frac{2}{5}$。
【知识点】
概率公式应用；可能性大小判断
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题关键是准确识别等可能事件，找准总结果数和对应事件包含的结果数，代入公式计算即可，属于概率入门类题型。
【难度系数】
0.9
要判断摸出红球和绿球的可能性是否相等，需先分别计算两个事件的概率再作比较。解题时首先确定袋中球的总个数，得到所有等可能的结果总数，再分别找出摸出红球、绿球对应的结果数，代入概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是总等可能结果数，$m$是事件$A$包含的结果数）计算两者概率，最后比较概率大小即可判断可能性是否相等。
【解析】
袋中球的总个数为$3+2=5$，所有球除颜色外其余都相同，因此从袋中随机摸出1个球，共有5种等可能的结果。
1. 摸出红球的结果有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸到红球})=\frac{3}{5}$
2. 摸出绿球的结果有2种，同理可得：
$P(\mathrm{摸到绿球})=\frac{2}{5}$
因为$\frac{3}{5} ≠ \frac{2}{5}$，所以摸出红球与绿球的可能性不相等。
【答案】
从袋中随机摸出一个球，它是红色与绿色的可能性不相等，摸到红球的概率为$\frac{3}{5}$，摸到绿球的概率为$\frac{2}{5}$。
【知识点】
概率公式应用；可能性大小判断
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题关键是准确识别等可能事件，找准总结果数和对应事件包含的结果数，代入公式计算即可，属于概率入门类题型。
【难度系数】
0.9
例3 判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)从布袋中取出一只红球的概率是1,这句话的意思是说取出一个红球的可能性很大.
(2)在医院看病注射某药物时,为了防止过敏,要做皮试,假设该药物的过敏概率为0.05%,有人认为这个概率很小,一定不会发生在小明的身上.
(3)布袋中有红、白、黄三种颜色的橡皮球,球的大小均匀,甲同学对于取出一个红橡皮球没有把握,所以说:“从布袋中取出一个红橡皮球的概率为$\frac{1}{3}$.”
【探究点拨】理解概率的意义,理解试验频率与概率之间的联系与区别.
【规范解答】(1)这种说法是错误的,该事件的概率为1,该事件是必然事件.
(2)概率小,则认为不会发生在小明身上是不对的.概率小,但这个事件还是随机事件,在无数试验中发现每10 000人中有5人会发生过敏,所以必须做皮试.
(3)因为袋中只有三种颜色的小球,而每种球没有确定的数量,取出红橡皮球的概率无法计算,所以甲同学的说法不对.
变式探究
(1)从布袋中取出一只红球的概率是1,这句话的意思是说取出一个红球的可能性很大.
(2)在医院看病注射某药物时,为了防止过敏,要做皮试,假设该药物的过敏概率为0.05%,有人认为这个概率很小,一定不会发生在小明的身上.
(3)布袋中有红、白、黄三种颜色的橡皮球,球的大小均匀,甲同学对于取出一个红橡皮球没有把握,所以说:“从布袋中取出一个红橡皮球的概率为$\frac{1}{3}$.”
【探究点拨】理解概率的意义,理解试验频率与概率之间的联系与区别.
【规范解答】(1)这种说法是错误的,该事件的概率为1,该事件是必然事件.
(2)概率小,则认为不会发生在小明身上是不对的.概率小,但这个事件还是随机事件,在无数试验中发现每10 000人中有5人会发生过敏,所以必须做皮试.
(3)因为袋中只有三种颜色的小球,而每种球没有确定的数量,取出红橡皮球的概率无法计算,所以甲同学的说法不对.
变式探究
答案
解：
(1) 该说法错误。
理由：取出一只红球的概率是1，说明该事件是必然事件，意思是从布袋中取出的一定是红球，并非只是取出红球的可能性很大。
(2) 该说法错误。
理由：该药物的过敏概率为0.05%，说明过敏是随机事件，发生的可能性很小，但仍有发生的可能，因此不能判定该事件一定不会发生在小明身上。
(3) 该说法错误。
理由：布袋中红、白、黄三种颜色橡皮球的数量未知，不满足等可能条件，无法确定取出红橡皮球的概率，不能仅根据球有三种颜色就认定取出红橡皮球的概率为$\frac{1}{3}$。
(1) 该说法错误。
理由：取出一只红球的概率是1，说明该事件是必然事件，意思是从布袋中取出的一定是红球，并非只是取出红球的可能性很大。
(2) 该说法错误。
理由：该药物的过敏概率为0.05%，说明过敏是随机事件，发生的可能性很小，但仍有发生的可能，因此不能判定该事件一定不会发生在小明身上。
(3) 该说法错误。
理由：布袋中红、白、黄三种颜色橡皮球的数量未知，不满足等可能条件，无法确定取出红橡皮球的概率，不能仅根据球有三种颜色就认定取出红橡皮球的概率为$\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题考查概率相关概念的理解应用，解题思路如下：首先逐个分析三个说法，对应调用相关概率知识判断：①判断第一问时，明确概率为1的事件是必然事件，代表事件一定发生，而非可能性大；②判断第二问时，牢记小概率事件仍属于随机事件，仅代表发生可能性低，不代表不可能发生；③判断第三问时，回忆古典概型计算概率的前提是所有等可能结果已知，若三种颜色球的数量未知，无法确定取到红球的概率。
【解析】
(1) 该说法错误。理由：取出一只红球的概率是1，说明该事件是必然事件，意思是从布袋中取出的一定是红球，并非只是取出红球的可能性很大。
(2) 该说法错误。理由：该药物的过敏概率为0.05%，说明过敏是随机事件，发生的可能性很小，但仍有发生的可能，因此不能判定该事件一定不会发生在小明身上。
(3) 该说法错误。理由：布袋中红、白、黄三种颜色橡皮球的数量未知，不满足等可能条件，无法确定取出红橡皮球的概率，不能仅根据球有三种颜色就认定取出红橡皮球的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 错误，理由：取出红球概率为1是必然事件，说明取出的一定是红球，不是仅可能性很大；
(2) 错误，理由：过敏概率0.05%属于小概率随机事件，仍有发生可能，不能判定一定不会发生在小明身上；
(3) 错误，理由：三种颜色球数量未知，不满足等可能条件，无法确定取红球的概率，不能直接认定概率为$\frac{1}{3}$。
【知识点】
概率的意义，随机事件，古典概型条件
【点评】
本题侧重考查对概率本质的理解，易错点是容易把“概率大”和“必然发生”混淆、忽略古典概型的等可能性前提，熟练掌握这类基础概念题能有效避免概率相关的概念类错误。
【难度系数】
0.7
本题考查概率相关概念的理解应用，解题思路如下：首先逐个分析三个说法，对应调用相关概率知识判断：①判断第一问时，明确概率为1的事件是必然事件，代表事件一定发生，而非可能性大；②判断第二问时，牢记小概率事件仍属于随机事件，仅代表发生可能性低，不代表不可能发生；③判断第三问时，回忆古典概型计算概率的前提是所有等可能结果已知，若三种颜色球的数量未知，无法确定取到红球的概率。
【解析】
(1) 该说法错误。理由：取出一只红球的概率是1，说明该事件是必然事件，意思是从布袋中取出的一定是红球，并非只是取出红球的可能性很大。
(2) 该说法错误。理由：该药物的过敏概率为0.05%，说明过敏是随机事件，发生的可能性很小，但仍有发生的可能，因此不能判定该事件一定不会发生在小明身上。
(3) 该说法错误。理由：布袋中红、白、黄三种颜色橡皮球的数量未知，不满足等可能条件，无法确定取出红橡皮球的概率，不能仅根据球有三种颜色就认定取出红橡皮球的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 错误，理由：取出红球概率为1是必然事件，说明取出的一定是红球，不是仅可能性很大；
(2) 错误，理由：过敏概率0.05%属于小概率随机事件，仍有发生可能，不能判定一定不会发生在小明身上；
(3) 错误，理由：三种颜色球数量未知，不满足等可能条件，无法确定取红球的概率，不能直接认定概率为$\frac{1}{3}$。
【知识点】
概率的意义，随机事件，古典概型条件
【点评】
本题侧重考查对概率本质的理解，易错点是容易把“概率大”和“必然发生”混淆、忽略古典概型的等可能性前提，熟练掌握这类基础概念题能有效避免概率相关的概念类错误。
【难度系数】
0.7
1.从一只装有4个红球的口袋中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为$ P_1 $，摸到红球的概率为$ P_2 $，则有()
A.$ P_1=1,P_2=1 $
B.$ P_1=0,P_2=1 $
C.$ P_1=0,P_2=\frac{1}{4} $
D.$ P_1=P_2=\frac{1}{4} $
A.$ P_1=1,P_2=1 $
B.$ P_1=0,P_2=1 $
C.$ P_1=0,P_2=\frac{1}{4} $
D.$ P_1=P_2=\frac{1}{4} $
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确口袋中球的种类和数量，再结合事件发生的可能性判断对应概率：第一步先判断摸出白球的事件类型，口袋中没有白球，摸出白球是不可能事件，不可能事件的概率为0，即可得到$P_1$的取值；第二步判断摸出红球的事件类型，口袋中全是红球，摸出红球是必然事件，必然事件的概率为1，即可得到$P_2$的取值，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题意可知，口袋中只有4个红球，不存在白球。
1. 摸到白球是不可能发生的事件，不可能事件的概率为0，因此$P_1=0$；
2. 摸到红球是必然发生的事件，必然事件的概率为1，因此$P_2=1$。
综上可得$P_1=0,P_2=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
必然事件的概率；不可能事件的概率
【点评】
本题考查概率的基础应用，重点考查对必然事件、不可能事件概率取值的理解，属于基础题型，熟练掌握概率的基本含义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确口袋中球的种类和数量，再结合事件发生的可能性判断对应概率：第一步先判断摸出白球的事件类型，口袋中没有白球，摸出白球是不可能事件，不可能事件的概率为0，即可得到$P_1$的取值；第二步判断摸出红球的事件类型，口袋中全是红球，摸出红球是必然事件，必然事件的概率为1，即可得到$P_2$的取值，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题意可知，口袋中只有4个红球，不存在白球。
1. 摸到白球是不可能发生的事件，不可能事件的概率为0，因此$P_1=0$；
2. 摸到红球是必然发生的事件，必然事件的概率为1，因此$P_2=1$。
综上可得$P_1=0,P_2=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
必然事件的概率；不可能事件的概率
【点评】
本题考查概率的基础应用，重点考查对必然事件、不可能事件概率取值的理解，属于基础题型，熟练掌握概率的基本含义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
